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文檔簡介
1、解析幾何總結(jié)第七章 直線和圓的方程【概念】一、直線的方程直線的傾斜角與斜率1. 直線方程的概念:以一個方程的解為坐標(biāo)的點都是某條直線上的點,反過來,這條直線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解,這時,這個方程就叫做這條直線的方程,這條直線叫做這個方程的直線.2. 直線的傾斜角與斜率:在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為,那么就叫做直線的傾斜角.傾斜角不是的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率,常用k表示.說明:當(dāng)直線和x軸平行或重合時,我們規(guī)定直線的傾斜角為;直線傾斜角的取值范圍是;傾斜角是的直線沒有斜率.3. 斜率公式:
2、經(jīng)過兩點、的直線的斜率公式:(x1x2)推導(dǎo):設(shè)直線P1P2的傾斜角是,斜率是k,向量的方向是向上的(如圖73(1)(2).向量的坐標(biāo)是.過原點作向量=,則點P的坐標(biāo)是,而且直線OP的傾斜角也是.根據(jù)正切函數(shù)的定義, 即(x1x2)。 同樣,當(dāng)向量的方向向上時也有同樣的結(jié)論.4. 斜率公式的形式特點及適用范圍:斜率公式與兩點的順序無關(guān),即兩點的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的前后次序可同時顛倒;斜率公式表明,直線對于x軸的傾斜程度,可以通過直線上任意兩點坐標(biāo)表示,而不需求出直線的傾斜角;斜率公式是研究直線方程各種形式的基礎(chǔ),必須熟記,并且會靈活運用;當(dāng)x1=x2,y1y2(即直線和x軸垂直)時,直線的
3、傾斜角等于,沒有斜率.直線的方程1. 直線方程的點斜式:其中為直線上一點坐標(biāo), k為直線斜率.推導(dǎo):若直線l經(jīng)過點,且斜率為k,求l方程.設(shè)點 P(x,y)是直線上不同于點P1的任意一點,根據(jù)經(jīng)過兩點的直線的斜率公式,得,可化為.說明:這個方程是由直線上一點和斜率確定的;當(dāng)直線l的傾斜角為0°時,直線方程為;當(dāng)直線傾斜角為90°時,直線沒有斜率,它的方程不能用點斜式表示.這時直線方程為:.2. 直線方程的斜截式:說明:b為直線l在y軸上截距;斜截式方程可由過點(0,b)的點斜式方程得到;當(dāng)時,斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.3. 直線方程的兩點式:其中是直線兩點的坐標(biāo).推
4、導(dǎo):因為直線l經(jīng)過點,并且,所以它的斜率.代入點斜式,得,.當(dāng).4. 直線方程的截距式:,其中a,b分別為直線在x軸和y軸上截距.5. 直線方程的一般式: 其中A、B不同時為0.6. 直線和二元一次方程的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中,對于任何一條直線,都有一個表示這條直線的關(guān)于x,y的二元一次方程.因為在平面直角坐標(biāo)系中,每一條直線都有傾斜角,在90°和=90°兩種情況下,直線的方程可分別寫成及這兩種形式.它們又都可變形為的形式,且A、B不同時為0.在平面直角坐標(biāo)系中,任何關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線.因為x、y的二元一次方程的一般形式是,其中A、B不同時為0,在B0和
5、B=0的兩種情況下,一次方程可分別化成直線的斜截式方程和表示與y軸平行或重合的直線方程.兩條直線的位置關(guān)系1直線到的角兩條直線和相交構(gòu)成四個角,它們是兩對對頂角,我們把直線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時所轉(zhuǎn)的角,叫做到的角.在圖713中,直線到的角是1, l2到的角是2.2直線到的夾角:如圖713, 到的角是1, 到的角是-1,當(dāng)與相交但不垂直時,和-僅有一個角是銳角,我們把其中的銳角叫兩條直線的夾角.當(dāng)直線時,直線l1和l2的夾角是.說明:10,20,且1+2=3直線l1到l2的角的公式:.推導(dǎo):設(shè)直線l1到l2的角,.如果如果,設(shè)l1、l2的傾斜角分別是1和2,則.由圖(1)和圖(2)分別可知
6、于是.4直線l1和l2的夾角公式:.這一公式由夾角定義可得.5兩直線是否相交的判斷:設(shè)兩條直線的方程是如果這兩條直線相交,由于交點同時在這兩條直線上,交點的坐標(biāo)一定是這兩個方程的唯一公共解,那么以這個解為坐標(biāo)的點必是直線l1和l2的交點,因此,兩條直線是否有交點,就要看這兩條直線方程所組成的方程組是否有唯一解.6在平面直角坐標(biāo)系中,如果已知某點P的坐標(biāo)為(x0,y0),直線l的方程是,怎樣由點的坐標(biāo)和直線的方程直接求點P的直線l的距離呢?方案一:根據(jù)定義,點P到直線l的距離d是點P到直線l的垂線段的長(如右圖).設(shè)點P到直線l的垂線段為PQ,垂足為Q,由PQl可知直線PQ的斜率為,根據(jù)點斜式可
7、寫出直線PQ的方程,并由l與PQ的方程求出點Q的坐標(biāo);由此根據(jù)兩點距離公式求出,得到點P到直線l的距離d.師:此方法雖思路自然,但運算較繁. 下面介紹另一種求法.方案二:設(shè)A0,B0,這時l與x軸、y軸都相交,過點P作x軸的平行線,交l于點R(x1,y0);作y軸的平行線,交l于點S(x0,y2),由所以,由三角形面積公式可知:所以,.可證,當(dāng)A=0或B=0時,以上公式仍適用,于是得到點到直線的距離公式: .二、圓的方程1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:其中圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r推導(dǎo):如圖732,設(shè)M(x,y)是圓上任意一點,根據(jù)定義,點M到圓心C的距離等于r,所以圓C就是集合由兩點間的距離公式,點M適
8、合的條件可表示為把式兩邊平方,得2圓的一般方程:(0)3二元二次方程表示圓的充要條件:由二元二次方程的一般形式:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圓的一般方程的系數(shù)比較,啟發(fā)學(xué)生歸納如下結(jié)論:(1)x2和y2的系數(shù)相同,且不等于0,即A=C0;(2)沒有xy項,即B=0;(3)D2+E24AF0.4參數(shù)方程與普通方程:一般地,在取定的坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù),即.并且對于t的每一個允許值,由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上,那么方程組就叫這條曲線的參數(shù)方程.其中t叫參變數(shù),簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程來說,前面學(xué)過的直接給出曲線上點的坐標(biāo)關(guān)系
9、的方程,叫曲線的普通方程.說明:參數(shù)方程中的參數(shù)可以有物理、幾何意義,也可以沒有明顯意義.(1)圓的參數(shù)方程:圓心在原點,半徑為r的圓的參數(shù)方程:推導(dǎo):設(shè)圓O的圓心在原點,半徑是r,圓O與x軸的正半軸的交點是P0(圖736)設(shè)點在圓O上從點P0開始按逆時針方向運動到達點P,P0OP=,若點P坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得 即圓心為(a,b),半徑為r的圓的參數(shù)方程: (為參數(shù))推導(dǎo):圓心為O1(a,b)、半徑為r的圓可以看成由圓心為原點O、半徑為r的圓按向量=(a,b)平移得到.即對于圓O上任意一點P1(x1,y1),在圓O1上必有一點P(x,y),使因為,即(x,y)=(x1,y
10、1)+(a,b)所以,由于點P1(x1,y1)在以原點為圓心,r為半徑的圓上,所以存在參數(shù),使 所以.(2)圓的參數(shù)方程化普通方程:方程組 由得 xa=rcos 由得 yb=rsin 2+2得:(xa)2+(yb)2=r2即圓的普通方程.三、簡單的線性規(guī)劃1二元一次不等式表示平面區(qū)域:一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.說明:二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域且包括邊界;作圖時,不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實線.推導(dǎo):舉例說明.2判斷二元一次不
11、等式表示哪一側(cè)平面區(qū)域的方法:方法:取特殊點檢驗;原因:由于對在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)的所有點(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得到的實數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0),從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地,當(dāng)C0時,常取原點檢驗.3線性規(guī)劃的有關(guān)概念:線性約束條件:在上述問題中,不等式組是一組變量x、y的約束條件,這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式,故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù):關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式,叫線性目標(biāo)函數(shù)
12、線性規(guī)劃問題:一般地,求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解:滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解4線性規(guī)劃在實際中的應(yīng)用:例:要將兩種大小不同的鋼板截成、三種規(guī)格,每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示:規(guī)格類型鋼板類型規(guī)格規(guī)格規(guī)格第一種鋼板第二種鋼板今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊,問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品,且使所用鋼板張數(shù)最少?解:設(shè)需截第一種鋼板x張,第二種鋼板y張,則作出可行域(如右圖):
13、(陰影部分)目標(biāo)函數(shù)為z=x+y作出一組平行直線x+y=t,其中經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最近的直線,經(jīng)過直線x+3y=27和直線2x+y=15的交點A(),直線方程為x+y=.由于都不是整數(shù),而最優(yōu)解(x,y)中,x,y必須都是整數(shù),可行域內(nèi)點()不是最優(yōu)解.經(jīng)過可行域內(nèi)的整點且與原點距離最近的直線是x+y=12,經(jīng)過的整點是B(3,9)和C(4,8),它們都是最優(yōu)解.答:要截得所需三種規(guī)格的鋼板,且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種:第一種截法是截第一種鋼板3張.第二種鋼板9張;第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張.兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張.【例題】例1:如右圖,直線
14、l1的傾斜角,直線、l2的斜率.解:例2:求經(jīng)過A(2,0)、B(5,3)兩點的直線的斜率和傾斜角.解:,就是因此,這條直線的斜率是1,傾斜角是例3:已知三點A、B、C,且直線AB、AC的斜率相同,求證這三點在同一條直線上.證明:由直線的斜率相同,可知AB的傾斜角與AC的傾斜角相等,而兩個角有共同的始邊和頂點,所以終邊AB與AC重合.因此A,B,C三點共線.例4:一條直線經(jīng)過點P1(-2,3),傾斜角=45°,求這條直線方程,并畫出圖形.解:這條直線經(jīng)過點P1(-2,3),斜率是:.代入點斜式方程,得這就是所求的直線方程,圖形如圖中所示例5:已知直線l與x軸的交點為(a,0),與y軸
15、的交點為(0,b),其中a0,b0,求直線l的方程.解:因為直線l經(jīng)過A(a,0)和B(0,b)兩點,將這兩點的坐標(biāo)代入兩點式,得:例6:三角形的頂點是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求這個三角形三邊所在直線的方程.解:直線AB過A(-5,0)、B(3,-3)兩點,由兩點式得整理得:,即直線AB的方程.直線BC過C(0,2),斜率是,由點斜式得:整理得:,即直線BC的方程.直線AC過A(-5,0),C(0,2)兩點,由兩點式得:整理得:,即直線AC的方程.例7:已知直線經(jīng)過點A(6,-4),斜率為,求直線的點斜式和一般式方程.解:經(jīng)過點A(6,-4)并且斜率等于的直線方程的點斜式
16、是:化成一般式,得.例8:把直線l的方程化成斜截式,求出直線l的斜率和它在x軸與y軸上的截距,并畫圖.解:將原方程移項,得兩邊除以2,得斜截式因此,直線l的斜率,它在y軸上的截距是3,在上面的方程中令y=0,可得x=-6,即直線l在x軸上的截距是-6.由上述內(nèi)容可得直線l與x軸、y軸的交點為A(-6,0)、B(0,3),過點A、B作直線,就得直線l.(如右圖). 例9:求以C(1,3)為圓心,并且和直線3x4y7=0相切的圓的方程.解:因為圓C和直線3x4y7=0相切,所以半徑r等于圓心C到這條直線的距離.根據(jù)點到直線的距離公式,得因此,所求的圓的方程是解:如圖733,設(shè)切線的斜率為k,半徑O
17、M的斜率為k1,因為圓的切線垂直于過切點的半徑,于是k=.經(jīng)過點M的切線方程是:整理得:因為點M(x0,,y0)在圓上,所以所求切線方程為:當(dāng)點M在坐標(biāo)軸上時,上述方程同樣適用.例11: 圖734是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長度(精確到0.01m).解:建立直角坐標(biāo)系如圖734所示.圓心在y軸上,設(shè)圓心的坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r,那么圓的方程是x2+(yb)2=r2因為P、B都在圓上,所以它們的坐標(biāo)(0,4)、(10,0)都是這個圓的方程的解.于是得到方程組. 解得b=10.5, r2=14.52
18、所以這個圓的方程是:x2+(y+10.5)2=14.52把點P的橫坐標(biāo)x=2代入圓方程得答:支柱A2P2的長度約為.例12: 求過三點O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求這個圓的半徑和圓心坐標(biāo).解:設(shè)所求圓的方程為用待定系數(shù)法,根據(jù)所給條件來確定D、E、F、因為O、M1、M2在圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)依次代入上面的方程,可得 解得于是所求圓方程為:x2+y28x+6y=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x4)2+y(3)2=52所以圓半徑r=5,圓心坐標(biāo)為(4,3)例13:已知一曲線是與兩個定點O(0,0)、A(3,0)距離的比為的點的軌跡,求此曲線的方程,并畫出
19、曲線.解:在給定的坐標(biāo)系里,設(shè)點M(x,y)是曲線上的任意一點,也就是點M屬于集合.由兩點間的距離公式,點M所適合的條件可以表示為, 將式兩邊平方,得化簡得x2+y2+2x3=0 化為標(biāo)準(zhǔn)形式得:(x+1)2+y2=4所以方程表示的曲線是以C(1,0)為圓心,2為半徑的圓,它的圖形如圖735所示.例14: 如圖738,已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點,點A是x軸上的定點,坐標(biāo)為(12,0)當(dāng)點P在圓上運動時,線段PA的中點M的軌跡是什么?解:設(shè)點M的坐標(biāo)是(x,y).因為圓x2+y2=16的參數(shù)方程為所以可設(shè)點P的坐標(biāo)為(4cos,4sin).由線段中點坐標(biāo)公式得點M的軌跡的參數(shù)方程為
20、所以,線段PA的中點M的軌跡是以點(6,0)為圓心,2為半徑的圓.例15:求直線的夾角(用角度制表示)解:由兩條直線的斜率得利用計算器計算或查表可得:71°34.例16:等腰三角形一腰所在直線l1的方程是,底邊所在直線l2的方程是,點(-2,0)在另一腰上(圖715),求這條腰所在直線l3的方程.解:設(shè)l1,l2, l3的斜率分別為k1,k2, k3, l1到l2的角是1, l2到 l3的角是2,則因為l1,l2, l3所圍成的三角形是等腰三角形,所以1=2,即將代入得解得因為l3經(jīng)過點(-2,0),斜率為2,寫出其點斜式方程為,得:.即直線l3的方程.例17:求下列兩條直線的交點.
21、解:解方程組所以,l1與l2的交點是M(-2,2).如圖716所示.例18:求經(jīng)過原點且經(jīng)過以下兩條直線的交點的直線的方程: 解:解方程組所以, l1與l2的交點是(2,2).設(shè)經(jīng)過原點的直線方程為,把點(2,2)的坐標(biāo)代入以上方程,得,所以所求直線方程為例19:求點P0(-1,2)到下列直線的距離:(1)解:(1)根據(jù)點到直線的距離公式得(2)因為直線平行于y軸,所以例20:求平行線和的距離.解:在直線上任取一點,例如取P(3,0),則點P(3,0)到直線的距離就是兩平行線間的距離.因此:.例21:畫出不等式2x+y-6<0表示的平面區(qū)域.解:先畫出直線2x+y-6=0(畫成虛線).取
22、原點(0,0),代入2x+y-6,因為2×0+0-6=-60所以,原點在2x+y-6<0表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式2x+y-6<0表示的區(qū)域如圖721表示.例22:畫出不等式組表示的平面區(qū)域解:不等式xy0表示直線xy0上及右下方的點的集合,xy0表示直線x+y=0上及右上方的點的集合,x3表示直線上及左方的點的集合,所以,不等式組表示的平面區(qū)域如圖722所示第八章 曲線的方程【概念】一、橢圓 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1橢圓定義:我們把平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點,兩焦點的距離叫橢圓的焦距.2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:形
23、式一:說明:此方程表示的橢圓焦點在x軸上,焦點是F1(c,0)、F2(c,0),其中c2=a2b2.形式二:說明:此方程表示的橢圓焦點在y軸上,焦點是F1(0,c),F(xiàn)2(0,c),其中c2=a2b2.兩種形式中,總有a>b>0;兩種形式中,橢圓焦點始終在長軸上;a、b、c始終滿足c2=a2b2;遇到形如Ax2+By2=C,只要A、B、C同號,就是橢圓方程,推導(dǎo):建立直角坐標(biāo)系xOy,使x軸經(jīng)過點F1、F2,并且O與線段F1F2的中點重合.設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點,橢圓的焦距為2c(c0),那么焦點F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0),(c,0).又設(shè)M與F1和F2的距離的和等于
24、常數(shù)2a.由橢圓定義,橢圓就是集合P=MMF1+MF2=2a因為MF1=MF2=所以得:+=2a整理得:(a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2).由橢圓的定義可知:2a2c,即ac,故a2c20.令a2c2=b2,其中b0,代入上式整理得:橢圓的簡單幾何性質(zhì)1范圍:橢圓位于直線和所圍成的矩形里原因:由標(biāo)準(zhǔn)方程可知,橢圓上的點的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式即,2對稱性:橢圓關(guān)于y軸、x軸和原點都對稱原因:在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程里,以-x代x,或以-y代y,或以-x,-y分別代x、y,方程都不變3頂點:橢圓和它的對稱軸有四個交點,這四個交點叫橢圓的頂點其中(-a,0),A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交
25、點;(,b),B1(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點線段、分別叫橢圓的長軸和短軸,它們的長分別為2a和2b,a和b分別叫橢圓的長半軸長和短半軸長4離心率:橢圓的焦距與長軸長的比,叫做橢圓的離心率說明因為所以e越接近,則c越接近a,從而越小,因此橢圓越扁;反之,e越接近于,c越接近于,從而b越接近于a,這時橢圓就接近于圓;當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,c=0,這時兩焦點重合,圖形變?yōu)閳A二、雙曲線雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1雙曲線的定義:我們把平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.說明常數(shù)小于;這兩個定點叫做雙曲線的焦點;這兩焦點的距離叫雙曲線的焦距.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:形式
26、一: (a>0,b>0)說明:此方程表示焦點在x軸上的雙曲線.焦點是F1(c,0)、F2(c,0),這里c2=a2+b2.形式二: (a>0,b>0)說明:此方程表示焦點在y軸上的雙曲線,焦點是F1(0,c)、F2(0, c),這里c2=a2+b2.推導(dǎo):如圖812,建立直角坐標(biāo)系xOy,使x軸經(jīng)過點F1、F2,并且點O與線段F1F2的中點重合.設(shè)M(x,y)是雙曲線上任意一點,雙曲線的焦距為2c(c>0),那么,焦點F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0).又設(shè)M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a.由定義可知,雙曲線就是集合因為所以得 將方程化簡得(
27、c2a2)x2a2y2=a2(c2a2).由雙曲線的定義可知,2c>2a,即c>a,所以c2a2>0,令c2a2=b2,其中b>0,代入上式得 (a>0,b>0).雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1范圍: 雙曲線在不等式xa與xa所表示的區(qū)域內(nèi). 2對稱性: 雙曲線關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都對稱,這時,坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸,原點是雙曲線的對稱中心,雙曲線的對稱中心叫雙曲線中心. 3頂點: 雙曲線和它的對稱軸有兩個交點A1(a,0)、A2(a,0),它們叫做雙曲線的頂點. 線段A1A2叫雙曲線的實軸,它的長等于2a,a叫做雙曲線的實半軸長;線段B1B2叫雙曲線的虛軸,它的長
28、等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長. 4漸近線 我們把兩條直線y=±叫做雙曲線的漸近線;從圖816可以看出,雙曲線的各支向外延伸時,與直線y=±逐漸接近.“漸近”的證明:先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進行證明.這一部分的方程可寫為y=>a).5雙曲線的準(zhǔn)線:當(dāng)點M到一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e=(e>1)時,這個點的軌跡是雙曲線.定點是雙曲線的焦點,定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)e是雙曲線的離心率.準(zhǔn)線方程:x=其中x=相應(yīng)于雙曲線的右焦點F(c,0);x=相應(yīng)于左焦點F(c,0). 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線的定義:平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l
29、的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:推導(dǎo)過程:如圖820,建立直角坐標(biāo)系xOy,使x軸經(jīng)過點F且垂直于直線l,垂足為K,并使原點與線段KF的中點重合.設(shè)|KF|=p(p0),那么焦點F的坐標(biāo)為(,準(zhǔn)線l的方程為設(shè)點M(x,y)是拋物線上任意一點,點M到l的距離為d.由拋物線的定義,拋物線就是集合將上式兩邊平方并化簡,得y2=2px 方程叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上,坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式:圖 形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程(p0)(p0)(p0)(p0)拋物線的簡單幾何性質(zhì)1范圍當(dāng)x的值增大
30、時,也增大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.(但應(yīng)讓學(xué)生注意與雙曲線一支的區(qū)別,無漸近線).2對稱性拋物線關(guān)于x軸對稱.我們把拋物線的對稱軸叫拋物線的軸.3頂點拋物線和它的軸的交點叫拋物線的頂點.即坐標(biāo)原點.4離心率拋物線上的點M與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比,叫拋物線的離心率,用e表示.由拋物線定義可知,e=1.【例題】例1:求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別是(4,0),(4,0),橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10;(2)兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0,2)、(0,2),并且橢圓經(jīng)過點.解:(1)因為橢圓的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2a=10, 2c=
31、8a=5, c=4b2=a2c2=5242=9所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)因為橢圓的焦點在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓的定義知:2a=a=,又c=2 b2=a2c2=6所以所求橢圓方程為例2 已知B、C是兩個定點,BC=6,且ABC的周長等于16,求頂點A的軌跡方程.解:如右圖,建立坐標(biāo)系,使x軸經(jīng)過點B、C,原點O與BC的中點重合.由已知AB+AC+BC=16,BC=6,有AB+AC=10,即點A的軌跡是橢圓,且2c=6, 2a=166=10c=3, a=5, b2=5232=16但當(dāng)點A在直線BC上,即y=0時,A、B、C三點不能構(gòu)成三角形,所以點A的軌跡方程是例3:如圖,已知
32、一個圓的圓心為坐標(biāo)原點,半徑為2,從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP,求線段PP中點M的軌跡.解:設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),點P的坐標(biāo)為(x0,y0),則x=x0, y=.因為P(x0,y0)在圓x2+y2=4上,所以x02+y02=4. 將x0=x, y0=2y代入方程, 得x2+4y2=4 即 + y2=1所以點M的軌跡是一個橢圓.(如圖)例4:已知F是橢圓25x2+16y2=400在x軸上方的焦點,Q是此橢圓上任意一點,點P分所成的比為2,求動點P的軌跡方程.解:把已知橢圓方程變?yōu)閺亩裹cF的坐標(biāo)為(0,3)設(shè)點P坐標(biāo)為(x,y),Q點的坐標(biāo)為(x1,y1),則 25x12+16y1
33、2=400 由P分所成比為2,得x1=3x, y1=3y6 代入得:225x2+144y2576y+176=0.例5:求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo),并用描點法畫出它的圖形解:把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程這里a=,b=4,所以因此,橢圓的長軸和短軸的長分別是2a=10和2b=8,離心率,兩個焦點分別是(,)和(,),橢圓的四個頂點是(,),(,),(,)和(,)將已知方程變形為,根據(jù)在范圍算出幾個點坐標(biāo):x012345y43.93.73.22.40先描點畫出橢圓的一部分,再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓例6:求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:()經(jīng)過點(,)、(,);()長軸的長等于,
34、離心率等于解:()由橢圓的幾何性質(zhì)可知,以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點就是橢圓的頂點,所以點、分別是橢圓長軸和短軸的一個端點,于是得a=3,b=2.又因為長軸在x軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()由已知,2a=20,由于橢圓的焦點可能在x軸上,也可能在y軸上,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或例7:如圖,我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道,是以地心作為一個焦點的橢圓已知它的近地點距地面km,遠(yuǎn)地點距地面km,并且、在同一直線上,地球半徑約為km,求衛(wèi)星運行的軌道方程(精確到km)解:如圖,建立直角坐標(biāo)系,使點、在x軸上,為橢圓的右焦點(記為左焦點)因為橢圓的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則
35、,解得:用計算器求得因此,衛(wèi)星的軌道方程是例8:已知P(x0,y0)是橢圓(ab0)上的任意一點,F(xiàn)1、F2是焦點,求證:以PF2為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.證明 設(shè)以PF2為直徑的圓心為A,半徑為r.F1、F2為焦點,所以由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(ar)連結(jié)OA,由三角形中位線定理,知|OA|=故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切.例9:設(shè)P是橢圓(ab0)上的一點,F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點,且F1PF2=90°,求證:橢圓的率心率e證明 P是橢圓上的點,F(xiàn)1、F2是焦點,由橢圓的定義,
36、得|PF1|+|PF2|=2a 在RtF1PF2中, 由2,得|PF1|·|PF2|=2(a2c2) 由和,據(jù)韋達定理逆定理,知|PF1|·|PF2|是方程z23az+2(a2c2)=0的兩根,則=4a28(a2c2)0,()2,即e.例10:P為橢圓(ab0)上的點,F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點,e為離心率.若PF1F2=,PF2F1=,求證:證明 由橢圓定義,知|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c由正弦定理,得|PF1|=2Rsin,|PF2|=2Rsin,|F1F2|=2Rsin(+)例11:P是橢圓(ab0)上的任意一點,F(xiàn)1、F2是焦點,半短軸為b,且F1P
37、F2=.求證:PF1F2的面積為證明 由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a,又|F1F2|=2c.在PF1F2中,由余弦定理,得例12:已知雙曲線兩個焦點的坐標(biāo)為F1(5,0)、F2(5,0),雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:因為雙曲線的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為: (a>0,b>0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為例13:已知雙曲線的焦點在y軸上,并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標(biāo)分別為(3,)、(),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:因為雙曲線的焦點在y軸上,所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)
38、準(zhǔn)方程為: (a>0,b>0) 因為點P1、P2在雙曲線上,所以點P1、P2的坐標(biāo)適合方程.將(3,)、()分別代入方程中,得方程組解得:a2=16,b2=9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:例14:一炮彈在某處爆炸,在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2 s.(1)爆炸點應(yīng)在什么樣的曲線上?(2)已知A、B兩地相距800 m,并且此時聲速為340 m/s,求曲線的方程.解(1)由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時間差,可知A、B兩處與爆炸點的距離的差,因此爆炸點應(yīng)位于以A、B為焦點的雙曲線上.因為爆炸點離A處比離B處更遠(yuǎn),所以爆炸點應(yīng)在靠近B處的一支上.(2)如圖814,建立直角坐標(biāo)系xOy,使A、B兩點在x軸上,并且點O與線段AB的中點重合.設(shè)爆炸點P的坐標(biāo)為(x,y),則即2a=680,a=340.又2c=800,c=400,b2=c2a2=44400.x>0.所求雙曲線的方程為: (x>0).例15:雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,它的最小半徑為12 m,上口半徑為13 m,下口半徑為25 m,高55 m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出此雙曲線的方程(精確到1m).解:如圖817,建立直角坐標(biāo)系xOy,使A圓的直徑AA在x軸上,圓心與原點重合.這時上、下口的直徑CC、BB平行于x軸,且=13×2 (
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