定積分典型例題

1、定積分典型例題例1求lim4r(3/n212+2n2+j|+Vn(maxx , xdx =(0 xdx + ().Jn分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限.若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間0,1n等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數(shù)與積分上下限.解將區(qū)間0,1n等分，則每個小區(qū)間長為“i=1,然后把J2=l1的一個因子-乘nnnnn入和式中各項.于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分.即lim-12(3/n2+3/2n2+|+33)=lim-(3!-+2十|+：|曰)=3/xdx=3.nnn二nn.n,n042例20v2x-xdx=.2ccc解法1由定

2、積分的幾何意義知，.0J2xx2dx等于上半圓周(x-1)2+y2=1(y之0)與x軸所圍成的圖形的面積.故jj2x_x2dx=Z.022例18計算JJx|dx.分析解被積函數(shù)含有絕對值符號，應(yīng)先去掉絕對值符號然后再積分.0a522202x2(Jx|dx=f(-x)dx+J0xdx=2注在使用牛頓-萊布尼茲公式時，應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件.如134dx=-3=-,則是錯誤的.錯誤的原因則是由于被積函數(shù)-1在x=0處間斷且在被2x2x6x2積區(qū)間內(nèi)無界.22例19計算.0maxx,xdx.分析被積函數(shù)在積分區(qū)間上實際是分段函數(shù)x2f(x)=X1：x20x1x2dx1717=-r=2

3、36例20設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)=x+3,0f(t)dt，則f(x)=分析本題只需要注意到定積分b(f(x)dx是常數(shù)(a,b為常數(shù)).a11解因f(x)連續(xù)，f(x)必可積，從而(f(t)dt是常數(shù)，記f(t)dt=a,則f(x)=x+3a,且1(x+3a)dx=1f(t)dtw.所以1211-x+3axo=a,IP-+3a=a,，一1.3從而a=_，所以f(x)=x-.443x20：x：1x例21設(shè)f(x)=，F(xiàn)(x)=f(t)dt,0x2,求F(x),并討論F(x)5-2x,1MxM20的連續(xù)性.分析由于f(x)是分段函數(shù)，故對F(x)也要分段討論.解(1)求F(x)的表達式.

4、F(x)的定義域為0,2.當xW0,1時，0,xu0,1,因此_x_x_2_3_x3F(x)=j0f(t)dt=J03tdt=t=x.當xw(1,2時，0,x=0,1J1,x,因此，則1 2x312y2F(x)=13t2dt+1(52t)dt=t30+5t1 F(x)在0,1)及(1,2上連續(xù)，在x=1處，由于；=4+5x-x2, 3x ,F(x)=-3 5x0x ：11MxM2xim+F(x)=ximQ一2-35x-x)=1,F(1)=1.因此，F(xiàn)(x)在x=1處連續(xù)，從而F(x)在0,2上連xu2例22計算烏二2dx.11-x分析由于積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性._

5、2_212xx12x1xdx=dxdx“11f2A1,1-x211-1f2,2x2,j.由于一2x是偶函數(shù)，而11-x212是奇函數(shù)，有L22dx=0,于是11-x11-x2.212xx1x2dx=40211f11-xdx=40x(1.21x-)dx=40dx-401-x2dxx由定積分的幾何意義可知f5x2dx,故0412x2xji111-x2dx=4Idx-4=4一瓦.,04例23計算eze：dxx ln x(1 -ln x)分析被積函數(shù)中含有1及l(fā)nx,考慮湊微分.x3e4e；dx3ed(lnx)xlnx(1lnx)e.lnx(1-lnx)3eNe2d(Inx)3e42d(Jnx)1:l

6、nx1-(Jnx)*2e1-(.lnx)224計算26解法13=2arcsin(lnx)e：e94sinxLdx-01sinx4siix,dx=01sin4sinx(1-sinx)01-sin2x4dcosx0cos2x0dx=Ji.nsinxo-0cosx4/2(secx-1)dxJi4.2,dxtanxdxa計算01=-cosxdx7Tr4-tanx-x(4=-2，、24xa2令x=asint,，其中aA0.adx)x,“a一 2u2u 4 -4 du =22duu2 40 u2 4-x2002殷dt12122 (sintcost)(cost-sin%sintcost:1(sintcost

7、)dtsintcost注如果先計算不定積分dxxa2-x2雜，由此可看出定積分與不定積分的差別之一.,再利用牛頓萊布尼茲公式求解，則比較復例27計算edx.)e3u2Vu = 2。2分析被積函數(shù)中含有根式，不易直接求原函數(shù)，考慮作適當變換去掉根式.解設(shè)u=dex-1,x=ln(u2十1),dx=2udu，則u122=2du-8-1du=4-r:u4例29計算/xsinxdx.n n-cox;： ) /-( xodsx )分析被積函數(shù)中出現(xiàn)募函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法.TLH解：xsinxdx=03xd(-cosx)x二9,3二=一一八cosxdx=6026例30計算ln(1+

8、x)dx.0(3-x)分析被積函數(shù)中出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法.1 dx(1 x)11n(1x)111i112-dx=ln(1-x)d()=ln(1-x)o-0(3-x)03-x3x(3x)_ 11=In 2 IS )dx(1)令 x =sint,貝U11=ln2ln3.24n例31計算exsinxdx.分析被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法._JT解由于rexsinxdx=sinxdex=exsinx2excosxdx(1)ntl=e2-1excosxdx,而JIJUJIJJ-2excosxdx=2cosxdex=excosx,2-2ex(-si

9、nx)dx(2)我=f2exsinxdx-1,0將(2)式代入(1)式可得_JTJTo2exsinxdx=e2-2exsinxdx-1,故,1esinxdx=-(e2+1).1例32計算xarcsinxdx.分析被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與募函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法.1xarcsinxdx 二1220arcsinxd(1)=11xarcsinx0d(arcsinx)021x2dx二1.1-x202r_snJ_dsint01-sin212sin21costdtcost=:sin2tdt將(2)式代入(1)2：1-cos2tt=0-2dt=2式中得sin2t2(2)xarcsinxdx=一8

10、例33設(shè)f (x)在0, ji上具有二階連續(xù)導數(shù),=3 且 107r f (x) + f (x)cos xdx = 2 ,求(0).分析被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解.解由于f (x)f (x)cosxdx =,7107Tf (x)d sin x +cosxdf x)=If(x)sinx0-0f(x)sinxdxf(x)cosx110f(x)sinxdx=_f_f(0)=2.故f(0)=-2_fn)=2-3=-5.例35(00研)設(shè)函數(shù)f(x)在0,n上連續(xù)，且0f(x)dx=0,0f(x)cosxdx=0.試證在(0,n)內(nèi)至少存在兩個不同的點酊邑使得f(；)=f(

11、；)=0.x分析本題有兩種證法：一是運用羅爾定理，需要構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(t)dt,找出F(x)的三個零點，由已知條件易知F(0)=F(兀)=0,x=0,x=n為F(x)的兩個零點，第三個零點的存在性是本題的難點.另一種方法是利用函數(shù)的單調(diào)性，用反證法證明f(x)在(0,71)之間存在兩個零點.x證法1令F(x)=j0f(t)dt,0x-2x3j2t33例37計算吃.32:一2(x-1).x-2x朝：dx二dx,3sec二tan,解=x_1=seci2-2du3(x-1)2x2-2x3(x-1)2(x-1)2-1gsecitanu例384計算2分析3 dx.一2 i -3dx.(x二2)(4

12、二x)cos id 1-1 一2該積分為無界函數(shù)的反常積分，且有兩個瑕點，于是由定義，當且僅當x 2)(4x )4f dx 一均收斂時:原反常積分才是收斂的.3 (x-2)(4-x)解由于3 dx.(x -2)(4 -x)3dx一 3 d(x-3)a嗎 a . (x -2)(4 -x) a呼 a . 1 - (x -3)23 二=glimarcsin( x -3)a = ；dx= lim :dx= lim3 . (x -2)(4 -x) b 4 (x2)(4x) b 4一b_d(x二 3)_ 3 .1 -(x-3)2b 二=limarcsin( x -3)1= 4 dx只所以=-+ =ji2

13、. (x -2)(4 -x) 22例39計算分析此題為混合型反常積分，積分上限為代，下限0為被積函數(shù)的瑕點.解令=t,則有dx0x(x1)5二2tdt)5t(t*21產(chǎn)=20(t2dt再令t=tane,于是可得dt)5(t2132sec2 id 10 sec512dtan05(tan (x)11)2:cosx0d0=仔(1-sin20)cos0d02(1-sin2u)dsin1=sinsin3=1 x .4dx.1 x1例40計算J解由于11x2-21x4dx=-2x2idx二1d(x)x21-2，2(x-)x當XT 0一時,0時，tT -00 ;._人1可令t=x,則當x=72時,當x=1時

14、，t=0;故有1 1 x2-21 x40dx 二Fd(x-)x22+(x-)2x1d(x-)察0:dt-二2t21(n+arctan).22注有些反常積分通過換元可以變成非反常積分，如例32、例37、例39;而有些非反常積分通過換元卻會變成反常積分，如例40,因此在對積分換元時一定要注意此類情形.分析若選x為積分變量，需將圖形分割成三部分去求,2 /yA圖522 2S = 2(.8 -v - 2)dy=8 4cos2 d - 8 = - 2二, 可3 34S2 =8n A, = 6n ,于32一3 一3二 2-S2 會一 49二-26.1. 3例43 求心形線 P=1+cosH與圓P=3cos

15、日所圍公共 部分的面積.分析 心形線P=1十cos日與圓P=3cos9的圖形如圖5-3所示.由圖形的對稱性，只需計算上半部分的面積即 可.解 求得心形線 P=1+cos0與圓P=3cos日的交點為(P0) = (3,-),由圖形的對稱性得心形線P=1+cosH與23圓P=3cos 8所圍公共部分的面積為圖5 3:1. 9 . o 1.0.5A = 2一 (1 +cos13) d日 + f4(3cos 6) dO =-n：.0 2與 241例41求由曲線y=x,y=3x,y=2,y=1所圍成的2圖形的面積.如圖5-1所示，此做法留給讀者去完成.下面選取以y為積分變量.解選取y為積分變量，其變化范

16、圍為y1,2,則面積元素為11、，dA=|2yy|dy=(2yy)dy.33于是所求面積為215A=(2y-y)dy=-132222例42拋物線y=2x把圓x+y=8分成兩部分，求這兩部分面積之比.222解拋物線y=2x與圓x+v=8的交點分別為(2,2)與(2,-2)，如圖所示5-2所示，拋物線將圓分成兩個部分A,A2,記它們的面積分別為S1,$,則有例44求曲線y=lnx在區(qū)間（2,6）內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線x =2 , x =6和曲線y =ln x所圍成平面圖形的面積最?。ㄈ鐖D5- 4所示）.分析要求平面圖形的面積的最小值，必須先求出面積的表達式.解 設(shè)所求切線與曲線y =ln

17、x相切于點（c,ln c）,則切線方1程為y lnc =（xc）.又切線與直線x =2, x=6和曲線 cy =ln x所圍成的平面圖形的面積為.6 14A= f -(x -c) +ln c -In xdx= 4( 1) +4ln c+4 -61n 6 +2ln 2 .2 cc由于竺=4 4 = dc c cc),dA“dAdAdAdc令一=0,解得駐點c=4.當c4時4時一0.故當c=4時，A取得dcdcdc極小值.由于駐點唯一.故當c=4時，A取得最小值.此時切線方程為:1y=x-1+1n4.4例45求圓域x2十（y-b）2a）繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.解如圖5-5所示，選取x為積分變量，得上半圓周的方程為y2;ba2-x2,下半圓周的方程為y=bfa2-x2則體積元素為dV=（ny；ny；）dx=4兀bja2-x2dx.于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積為V=4nbJaVa2-x2dx=8nb(Ja2-x2dx=8nb注可考慮選取y為積分變量，請讀者自行完成.圖56例46過坐標原點作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.（1）求D的面積A;計算，如圖56所示.解(1)設(shè)切點橫坐標為X0,則曲線y=inx在點(%,ln%)處的切線方程是1，、y=lnX0+(x-xo).