2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版必修1學(xué)案：3.2.1　幾類不同增長的函數(shù)模型 Word版含解析

1、3.2 函數(shù)模型及其應(yīng)用32.1幾類不同增長的函數(shù)模型目標(biāo) 1.了解和體會函數(shù)模型在社會生活及科研中的廣泛應(yīng)用；2.理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義以及三種函數(shù)模型性質(zhì)的比較；3.會分析具體的實際問題，能夠建模解決實際問題重點 幾類不同函數(shù)模型增長的含義及差異難點 如何選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題.知識點三類不同增長的函數(shù)模型的比較填一填1三類函數(shù)模型的性質(zhì)2.函數(shù)yax(a>1)，ylogax(a>1)或yxn(n>0)增長速度的對比(1)對于指數(shù)函數(shù)yax(a>1)和冪函數(shù)yxn(n>0)，在區(qū)間(0，)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會

2、小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就會有ax>xn.(2)對于對數(shù)函數(shù)ylogax(a>1)和冪函數(shù)yxn(n>0)，在區(qū)間(0，)上，盡管在x的一定范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就會有l(wèi)ogax<xn.(3)在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)yax(a>1)，ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上隨著x的增大，總會存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就會有l(wèi)ogax<

3、xn<ax.答一答1函數(shù)yx2與y2x在(0，)上增大情況有何區(qū)別？提示：在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y2x和yx2的圖象，如圖：觀察歸納結(jié)論：從圖上可觀察到y(tǒng)2x與yx2有兩個交點，有時2x>x2，有時x2>2x，但是當(dāng)自變量越來越大時，可以看到2x的值快速增長，x2比起2x來，幾乎是微不足道的y2x與yx2圖象在(0，)上有兩個交點(2,4)，(4,16)當(dāng)x>4時，y2x的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于yx2的增長速度2在函數(shù)y3x，ylog3x，y3x，yx3中增長速度最快的是哪一個函數(shù)？提示：y3x.3當(dāng)0<a<1，n<0時，如何比較ax，logax，xn的大小

4、？提示：總會存在一個x0，使x>x0時，logax<ax<xn，而當(dāng)x<x0時，ax，logax，xn的大小不確定類型一函數(shù)模型增長差異的比較例1函數(shù)f(x)2x和g(x)x3的大致圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1<x2.(1)指出曲線c1，c2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，比較f(8)，g(8)，f(2 011)，g(2 011)的大小分析解(1)曲線c1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)x3，曲線c2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)2x.(2)g(1)1，f(1)2，g(2)8，f(2)4，g(9)729，f(9)512，g(10)

5、1 000，f(10)1 024，f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，1<x1<2,9<x2<10，x1<8<x2<2 011.由圖象可知，當(dāng)x1<x<x2時，f(x)<g(x)；當(dāng)x>x2時，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，)上是增函數(shù)，f(2 011)>g(2 011)>g(8)>f(8)除了根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進(jìn)行判斷，還可以根據(jù)圖象進(jìn)行判斷.,根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函

6、數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù). 變式訓(xùn)練1四個物體同時從某一點出發(fā)向前運動，其路程fi(x)(i1,2,3,4)關(guān)于時間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系是f1(x)x2，f2(x)2x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果它們一直運動下去，最終在最前面的物體具有的函數(shù)關(guān)系是(d)af1(x)x2bf2(x)2xcf3(x)log2x df4(x)2x解析：對比四種函數(shù)的增長速度，當(dāng)x充分大時，指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快，因而最終物體4會在最前面，故選d.類型二函數(shù)增長模型差異的應(yīng)用例2某學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備

7、制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達(dá)到5萬元時，按生源利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？分析解借助工具作出函數(shù)y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的圖象(如圖所示)觀察圖象可知，在區(qū)間5,60上，y0.2x，y1.02x的圖象都有一部分在直線y3的上方，只有ylog5x的圖象始終在y3和y0.2x的下方，這說明只有按模型ylog5x進(jìn)行獎勵才符合學(xué)校的要求不同的函數(shù)增長模型能刻畫現(xiàn)實世界中不同的變化規(guī)

8、律：(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律；(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律；(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律.因此，需抓住題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地建立相應(yīng)變化規(guī)律的函數(shù)模型來解決實際問題.變式訓(xùn)練2一天，李先生打算將1萬元存入銀行，當(dāng)時銀行提供兩種計息方式：一是單利，即只有本金生息，利息不再產(chǎn)生利息，年利率為4%；二是復(fù)利，即第一年所生的利息第二年也開始計息，年利率為3.6%.已知利息稅率為20%(即所產(chǎn)生的利息中應(yīng)扣除作為利息稅上交國家的部分)，問李先生應(yīng)選用哪種計息方

9、式？解：若年利率為r，則扣除利息稅后，實際利率為0.8r.按單利計息，則第n年的本息為10 000(1n×0.8×0.04)10 000(10.032n)(元)；按復(fù)利計息，則第n年的本息為10 000(13.6%×0.8)n10 000×1.028 8n(元)，列表如下(單位：元)從上表可以看出，若存款年數(shù)不超過8年，應(yīng)選用單利計息；若存款年數(shù)超過8年，則應(yīng)選用復(fù)利計息1當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的是(a)ay2xby1 000x50cyx100 dylog100x解析：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)增長速度最快知，當(dāng)x越來越大時，y2x的增長速度最快2

10、能反映如圖所示的曲線的增長趨勢的是(c)a一次函數(shù) b冪函數(shù)c對數(shù)函數(shù) d指數(shù)函數(shù)解析：從函數(shù)圖象可以看出，隨自變量的增大，函數(shù)增長越來越慢，因此是對數(shù)函數(shù)圖象3某航空公司規(guī)定，乘客所攜帶行李的質(zhì)量(kg)與其運費(元)由如圖所示的一次函數(shù)確定，那么乘客可免費攜帶行李的最大質(zhì)量為(a)a19 kg b16 kgc25 kg d30 kg解析：將點(30,330)與(40,630)代入ykxb得得k30，b570，y30x570.令y0得x19.4當(dāng)2<x<4時，log2x,2x，x2的大小關(guān)系是x2>2x>log2x.解析：令x3得x2>2x>log2x.5

11、根據(jù)函數(shù)f(x)2x，g(x)2x，h(x)log2x給出以下命題：f(x)，g(x)，h(x)在其定義域上都是增函數(shù)；f(x)的增長速度始終不變；f(x)的增長速度越來越快；g(x)的增長速度越來越快；h(x)的增長速度越來越慢其中正確的命題序號為.解析：f(x)2x的增長速度始終不變，g(x)的增長速度越來越快，而h(x)的增長速度越來越慢，故只有正確本課須掌握的兩大問題1三類函數(shù)增長的比較在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)yax(a>1)，ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上隨著x的增大，yax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxn(n>0)的增長速度，而ylogax(a>1)的增長速度則會越來越慢，總會存在