專題九解三角形典型例題及詳解

1、專題九解三角形的必備知識(shí)和典型例題、知識(shí)必備：1 .直角三角形中各元素間的關(guān)系：在AB8, J 90 , AB= c, AC b, BJ a.(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2.(勾股定理)(2)銳角之間的關(guān)系：A+ B= 90° ;(3)邊角之間的關(guān)系：(銳角三角函數(shù)定義)sin A= cos B= a , cos A= sin B= b , tan A=. ccb2 .斜三角形中各元素間的關(guān)系：在4ABC中,A、B C為其內(nèi)角,a、b、c分別表示 A、B、C的對(duì)邊.(1)三角形內(nèi)角和：A+ B+ C=冗.(2)正弦定理：在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等a _ bs

2、in A sin BsinC=2R(R為外接圓半徑)(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的c2= a2+ b2 2abcosC.余弦的積的兩倍a2= b2+ c2 2bccosA；b2 = c2+ a2- 2cacos B；(1)(2).三角形的面積公式：Sa = 1aha= 1bhb= che (ha、hb、hc分另U表示 a、222-111S4= absin C= bcsin A= acsin B；b、c上的高)；中的三個(gè)元素(其中至少有這里所說(shuō)的元素還可以包括三角4 .解三角形：由三角形的六個(gè)元素(即三條邊和三個(gè)內(nèi)角)一個(gè)是邊)求其他未知元素的問(wèn)題

3、叫做解三角形.廣義地, 形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等.主要類型:(1)兩類正弦定理解三角形的問(wèn)題：第1、兩角和任意一邊,求其他的兩邊及一角第2、兩角和其中一邊的對(duì)角,求其他邊角(2)兩類余弦定理解三角形的問(wèn)題：第1、三邊求三角.第2、兩邊和他們的夾角,求第三邊和其他兩角5 .三角形中的三角變換三角形中的三角變換,除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外,還要注意三角形自身的 特點(diǎn).(1)角的變換由于在 ABC 中,A+B+C,所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= tanC.AB C A B . Csin= cos, co

4、s= sin ；2222(2)判定三角形形狀時(shí),可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化,統(tǒng)一成邊的形式或角的 形式.6.求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)分析：分析題意,弄清和所求；(2)建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,寫出與所求,并畫出示意圖；(3)求解：正確運(yùn)用正、余弦定理求解；(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義.二、典例解析題型1:正、余弦定理例 1.(1)在 AABC 中, A=32.00, B=81.80, a= 42.9cm,解三角形；(2)在AABC中,a=20cm b=28cm, a=40° ,解三角形(角度精確到 10, 邊長(zhǎng)精確到1cm).解：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定

5、理,C =180O-(A + B) =1800-(32.0°+81.80) =66.2°；asinB 42.9sin81.80 * 、根據(jù)正弦te理,b 80.1(cm);sinAsin32.00根據(jù)正弦定理,:74.1(cm)._asinC _42.9sin66.20一 sinA - sin32.00(2)根據(jù)正弦定理,bsin AsinB 二一a28sin400二 200.8999.由于 00 V B < 1800 ,所以 B%640 ,或 B%1160當(dāng) B 定 640 時(shí),C=1800 (A+B)生1800 (400 +640)=760 ,asinCsin A

6、20sin760sin40030(cm).當(dāng)Bx116°時(shí),ooooo asinC 20sin24°C =180 -(A B) 180 -(40 116 )=24 , c0-： 13©m).sinA sin40點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用正弦定理時(shí)1應(yīng)注意兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),可能有兩解的情形；2對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器o題型2:三角形面積例 2.在 AABC 中,sinA+cosA =立,AC = 2 , AB = 3 ,求 tan A 的值和 AABC 的 2面積.解法一：先解三角方程,求出角 A的值.2 sin A cos A - . 2 cos(A -

7、45 )= 21.cos(A - 45 )= 一 . 2又0 ：A；180, . A-45：60'；,A =105.1 - 3 3.tan A =tan(45" 60') = 2 -t；3 ,1 一 .32 . 6 sinA=sin105 =sin(45 60)= sin45 cos50 cos45 sin60 =-S ABC =AC AB sin A = 1 2 326224sin A + cos A 的值.解法二：由sin A + cos A計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式,2 sin A cos A =22.(sin A cosA)12sin AcosA = -一 2：0&#

8、176; ：二 A ：180. sin A 0,cosA ： 0.,.八八、23(sin A - cosA) = 1 - 2sin AcosA =-6.sin A - cosA = 2+得sin A =上2_6得cosA= 2 - 6sin A . 2 . 6cosA 4從而 tan A =以下解法略去.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等根本知識(shí),著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算 水平,是一道三角的根底試題.兩種解法比擬起來(lái),你認(rèn)為哪一種解法比擬簡(jiǎn)單呢?題型3:三角形中的三角恒等變換問(wèn)題例3.在ABC43, a、b、c分別是/ A / B、/C的對(duì)邊長(zhǎng), a、b、c成等比數(shù)歹U,的值.2 2b

9、sin B且a c =ac- bc,求/ A的大小及c分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系,要求/ A,需找/ A與三邊的關(guān)系,故可用余弦定理.由b2=ac可變形為 一=a,再用正弦定理可求cbsin B的值.2解法一：二 a、b、c成等比數(shù)列,b=ac.又 a2 c2=ac bc,b2+c2 a2=bc.在ABC3,由余弦定理得：cosA=.222 b c - abc 12bc/ A=60在ABC,由正弦定理得 sin B=bsin A , = b2=ac, aZA=60° ,bsin B b2 sin 60、3=sin60 =.cac2解法二：在 ABCK由面積公式得 1 b

10、csin A= 1 acsin B. 22b2=ac, / A=60 ,bcsin A=b2sin B.b sin B =sin A=.c2評(píng)述：解三角形時(shí),找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理,找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.題型4:正、余弦定理判斷三角形形狀例 4.在 ABC3,假設(shè) 2cosBsin A= sinC ,那么 ABCW形狀一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sin AcosB= sin C =sin A+ B =sinAcosB+cosAsinB.sin A B =0,A= B另解：角化邊點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的根本性質(zhì),要求通過(guò)

11、觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向,通暢解題途徑題型5:正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例6. 2021遼寧卷文,理如圖, A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B, D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面a處測(cè)得b點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角分別為 750, 300,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為 600, AC=0.1kmi試探究圖中B, D間距離與另0.01km,2 -1.414 ,IIF加外哪兩點(diǎn)間距離相等,然后求B, D的距離計(jì)算結(jié)果精確到解：在 4ABC 中,/ DAC=30 , A ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又/BCD=180 -60° -60

12、° =60° ,故CB是ACAD底邊AD的中垂線,所以 BD=BA在ABC中,ABACACsin60 3.2 , 6sin/BCA - sin NABC '即 AB= sin15： -20,3, 2、6因此,BD= 20：0.33km.故B, D的距離約為 0.33km.點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來(lái)學(xué)習(xí),又近年增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低,對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問(wèn)題伸展,但也不可太難,只要掌握根本知識(shí)、概念,深刻理解其中根本的數(shù)量關(guān)系即可過(guò)關(guān).三、思維總結(jié)1.解斜三角形的常規(guī)思維方法是：(1)兩角和一邊(如 A B.,由A+BC=兀求C,由正弦定理求 a、b;(2)兩邊和夾角(如 a、b、c),應(yīng)用余弦定理求 c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角,然后利用 A+B+C=兀,求另一角；(3)兩邊和其中一邊的對(duì)角(如a、b、A),應(yīng)用正弦定理求 B,由A+B+C=兀求C,再由正弦定理