分式方程培優(yōu)講義

1、分式方程拔高講練一、含有參數(shù)方程1 .假設(shè)關(guān)丁 x的分式方程竺蘭_旦_的解為非負(fù)數(shù),貝U a的取值范圍是x-2 22.分式方程=1 -的根為x+1且使關(guān)丁 y的不等式組a的和為2(y-a)<0的解集為y<- 2,那么符合條件的所有整數(shù)3. 假設(shè)數(shù)a使關(guān)丁 x的分式方程+_=4的解為正數(shù), x-1 1-1二、方程無解1 .假設(shè)關(guān)丁 x的方程空L-峰E =- 1無解、那么m的伯是 x-33-z2.假設(shè).J-=0無解、那么m的值是x-4 4-x3.假設(shè)關(guān)丁 x的分式方程二孑一= /無解,求 a=x-23-x /-5工+6三、有增根1、如果解關(guān)丁 x的分式方程工-冬=1時(shí)出現(xiàn)增根,那么m的

2、值為x-2 2-x2、關(guān)丁 x的分式方程'肖q有增根,那么增根為x-l X-13、假設(shè)關(guān)丁 x的方程 f 山有增根,那么m的值是 x-2 x-24、解關(guān)丁 x的方程_4+芒_產(chǎn)生增根,那么常數(shù)a= k-2 x2-4 x+2四、整體代入解方程1 .在方程x2+2x+ 了 =3中,如果設(shè)y=x2+2x,那么原方程可化為關(guān)丁 y k'+2k的整式方程是.2、用換元法解方程 T - 2?冒+1 +1= 0時(shí)應(yīng)設(shè)y=2x+l x-23.如果實(shí)數(shù)x滿足x口2 - x+【-2=0,那么x的值是XXX四、實(shí)際問題1 .某服裝店用10000元購進(jìn)一批某品牌夏季襯衫假設(shè)干件,很快售完；該店乂用14

3、700元錢購進(jìn)第二批這種襯衫,所進(jìn)件數(shù)比第一批多 40%每件襯衫的進(jìn)10元,求第一批購進(jìn)多少件襯衫設(shè)第一批價(jià)比第一批每件襯衫的進(jìn)價(jià)多 購進(jìn)x件襯衫,那么所列方程為A.rn- 10U- x (1+40%) xC.10000“ 14700八一1010000, s 14700+10=I (1+40%) k10000 14700-7+10=.2 .一艘輪船在靜水中的最大航速為 35km/h,它以最大航速沿江順流航行120km所用時(shí)間,與以最大航速逆流航行90km所用時(shí)間相等.設(shè)江水的流速為vkm/h,那么可列方程為A.迺= 耍B .地=叢C.地=以D .迪=Jv+35 v-35357 35+vv-35

4、 v+3535+v 3573 .甲、乙二人做某種機(jī)械零件,甲每小時(shí)比乙多做6個(gè),甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙60個(gè)所用的時(shí)間相等.設(shè)甲每小時(shí)做 x個(gè)零件,下面所列方程正確的 是A.地理B .絲理 C衛(wèi)翌 D .多翌x x-6x x+6x-6 x x+6 x4. 20XX年,在創(chuàng)立文明城市的進(jìn)程中,烏魯木齊市為美化城市環(huán)境,方案種植樹木30萬棵,由丁志愿者的參加,實(shí)際每天植樹比原方案多20%結(jié)果提前5天完成任務(wù),設(shè)原方案每天植樹 x萬棵,可列方程是A.笠5?=5 x (1+20%)xC.+5=工20%k x笠一=5一=5. 1+20% k5.西寧市創(chuàng)立全國(guó)文明城市已經(jīng)進(jìn)入倒計(jì)時(shí)！垃圾,調(diào)用甲車3小時(shí)

5、只活理了一半垃圾,為了加快進(jìn)度,再調(diào)用乙車,兩車合作1.2小時(shí)活理完另一半垃圾.設(shè)乙車單獨(dú)活理全部垃圾的時(shí)間為x小時(shí),根據(jù)題意可列出方程為A L + , =1 6 x某環(huán)衛(wèi)公司為清理衛(wèi)生死角內(nèi)的C . 1+1 =1D .-=13x23 x【同步練習(xí)】1 .如果關(guān)丁 x的不等式組2一4<3乂一2的解集為x>1,且關(guān)丁 x的分式方程曇+法=3有非負(fù)整數(shù)解,那么符合條件的伽所有值的和是A. - 2 B . - 4 C . - 7 D . - 82.從-2、- 1、0、2、5這一個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為 m假設(shè)數(shù)m使關(guān)丁 x 的不等式組K>ID+? 無解,且使關(guān)丁 x的分式方程土

6、+ 答9=- 1有非負(fù)-2z-l>4nH-lx-2 2-x整數(shù)解,那么這一個(gè)數(shù)中所有滿足條件的m的個(gè)數(shù)是A. 1 B . 2 C . 3 D . 43 .假設(shè)關(guān)于x的分式方程土+3喧無解,那么實(shí)數(shù)m=4 .假設(shè)關(guān)丁 x的分式方程至也也 =3的解為正實(shí)數(shù),貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是.x_2 2_x5. 甲、乙工程隊(duì)分別承接了 160米、200米的管道鋪設(shè)任務(wù),乙比甲每天 多鋪設(shè)5米,甲、乙完成鋪設(shè)任務(wù)的時(shí)間相同,問甲每天鋪設(shè)多少米設(shè)甲每 天鋪設(shè)X米,根據(jù)題意可歹0出方程： .6. 某市為綠化環(huán)境方案植樹 2400棵,實(shí)際勞動(dòng)中每天植樹的數(shù)量比原方案多 20%結(jié)果提前8天完成任務(wù).假設(shè)設(shè)原方案每

7、天植樹 x棵,那么根據(jù)題意可列方 程為.7. 關(guān)于 X 的方程：X+=C+與勺解是 Xi=C, X2 ； X - Lc-【的解是 Xi=C, X2=X CC X c-JL,貝u X+J=C+U的解是 Xi=C, X2=.c x-3c-3 8 .假設(shè)數(shù)a使關(guān)丁 x的不等式組亍+2有且僅有四個(gè)整數(shù)解,且使關(guān)丁 y的分式方程J+里=2有非負(fù)數(shù)解,那么所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是y-2 2-y( )A. 3 B. 1 C. 0 D . - 39. 如圖,Rt ABC, Z B=90° , AB=3cm BC=4cm 點(diǎn) D在 AC上,AD=1cm 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C

8、出發(fā),沿 ABtAtC的路徑勻速 運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),在B點(diǎn)處首次相遇后,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度每秒提升了 2cm, 并沿Bt C A的路徑勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q保持速度不變,并繼續(xù)沿原路徑勻速運(yùn)動(dòng), 兩點(diǎn)在D點(diǎn)處再次相遇后停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn) P原來的速度為xcm/s.(1) 點(diǎn)Q的速度為 cm/s (用含x的代數(shù)式表示).(2) 求點(diǎn)P原來的速度.12.定義新運(yùn)算：對(duì)丁任意實(shí)數(shù)a, b (其中a冬0),都有a?b -主玉,等式右 a a邊是通常的加法、減法及除法運(yùn)算,例如 2?3* -卒44=1-2 2 2 2(1)求(-2) ?3的值； (2)假設(shè)x?2=1,求x的值.20XX年12月02日峰尚的初中數(shù)學(xué)組卷

9、參考答案與試題解析一 .選擇題共14小題1 .假設(shè)關(guān)丁 x的分式方程空蘭_旦_的解為非負(fù)數(shù),貝U a的取值范圍是 x-2 2A. a> 1B. a> 1 C. a> 1 且 a4D. a> 1 且 a4【解答】解：去分母得：2 2x-a =x- 2,解得：x=ML3由題意得：2日?0且2豐2,3 3解得：a> 1且a4,應(yīng)選：C.2.假設(shè)數(shù)a使關(guān)丁 x的分式方程一1+=4的解為正數(shù),且使關(guān)丁 y的不等式組 x-1 l-i,3 2的解集為y< - 2,那么符合條件的所有整數(shù)a的和為2y-a<0A. 10 B. 12 C. 14 D. 16【解答】解：分式

10、方程 ；+4=4的解為x=T且x豐1,x-1 1-X4關(guān)丁 x的分式方程+圣=4的解為正數(shù),x-1 1-X>0且B a v 6 .日 a 乒 2.琴耳>12(y-a)<0解不等式得：y< - 2；解不等式得：y< a.美丁 y的不等式組3 2的解集為y< - 2,2(y-aX0二 a» - 2. - 2<a<6且 a2.a為整數(shù),. .a=-2、- 1、0、1、3、4、5,(-2) + (- 1) +0+1+3+4+5=10應(yīng)選A.x23 .假設(shè)數(shù)a使關(guān)丁 x的不等式組亍+2有且僅有四個(gè)整數(shù)解,且使關(guān)丁 ?x4-4>-a的分式方程

11、 圣-+業(yè)-=2有非負(fù)數(shù)解,那么所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是 y-2 5又3ITA. 3 B. 1C. 0 D. - 3【解答】解：解不等式組-2% 2*,可得,Jx+4>-a不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解,. 1w a+4 < 07 4< a v 3,解分式方程圣-+胃-=2,可得y=【a+2, y-22乂 分式方程有非負(fù)數(shù)解,y>0,且 y豐2,即 a+2 >0, 1 a+2丈 2,2 2解得a> - 2且a2,- 2<a<3,且 a2,.滿足條件的整數(shù)a的值為-2, -1, 0, 1, 3,.滿足條件的整數(shù)a的值之和是1.應(yīng)選：B.4.分式方

12、程 ,3=1 _的根為k+1A. - 1 或 3 B. - 1 C . 3D. 1 或一3【解答】解：去分母得：3=x2+x - 3x,解得：x= - 1或x=3,經(jīng)檢驗(yàn)x=- 1是增根,分式方程的根為x=3, 應(yīng)選C5.如果解關(guān)丁【解答】解:x的分式方程工-冬=1時(shí)出現(xiàn)增根,那么m的值為 x-22-xC. 4D. - 4三里=1,x-2 2-x去分母,方程兩邊同時(shí)乘以x - 2,得：m+2x=x- 2,由分母可知,分式方程的增根可能是 2,當(dāng) x=2 時(shí),m+4=2 2,m= 4,應(yīng)選D.6 .某服裝店用10000元購進(jìn)一批某品牌夏季襯衫假設(shè)干件,很快售完；該店乂用 14700元錢購進(jìn)第二批

13、這種襯衫,所進(jìn)件數(shù)比第一批多40%每件襯衫的進(jìn)價(jià)比第一批每件襯衫的進(jìn)價(jià)多10元,求第一批購進(jìn)多少件襯衫設(shè)第一批購進(jìn)x件襯衫,那么所列方程為(1+10= 3x (1+40%)瓦+10= L(1-40%) K XB.A «一 10= 14700 x (1+40%) xD.C. 1000° -10=1 (ITQN)x kx件襯衫,那么聽列方程為:【解答】解：設(shè)第一批購進(jìn)irn+10= 1啊o .X(1 + 4 K應(yīng)選：B.7 .一艘輪船在靜水中的最大航速為 35km/h,它以最大航速沿江順流航行120km 所用時(shí)間,與以最大航速逆流航行90km所用時(shí)間相等.設(shè)江水的流速為v km

14、/h, 那么可列方程為()A. 旦b2O_=J2_v4-35 v-3535-v 35+vC. "： = D."：=v-35 v+3535+v 35r【解答】解：設(shè)江水的流速為vkm/h,根據(jù)題意得：=：.,35+v 35-v 應(yīng)選：D.8 .甲、乙二人做某種機(jī)械零件,甲每小時(shí)比乙多做 6個(gè),甲做90個(gè)所用的時(shí)間 與乙60個(gè)所用的時(shí)間相等.設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件,下面所列方程正確的選項(xiàng)是( )a 9.60D 90 60八 90 60 90 60ABCDx x-6 x x+o x-6 x k+6 x【解答】解：設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件,那么乙每小時(shí)做(x-6)個(gè)零件,由題意得,塵業(yè)%

15、.X x-o應(yīng)選A.9. 20XX年,在創(chuàng)立文明城市的進(jìn)程中,烏魯木齊市為美化城市環(huán)境,方案種植 樹木30萬棵,由丁志愿者的參加,實(shí)際每天植樹比原方案多20%結(jié)果提前5天完成任務(wù),設(shè)原方案每天植樹 x萬棵,可列方程是()A. 必一 _=5 B. 憩-一-=5x (1+20%)xx 20%xC 30 +51 d =5C 2.版 5x D (l+20%)x x 5【解答】解：設(shè)原方案每天植樹x萬棵,需要乎天完成,實(shí)際每天植樹x+0.2x 萬棵,需要一賣一天完成, 1+20% k.,提前5天完成任務(wù), =5,x 1+20% X應(yīng)選A10. 西寧市創(chuàng)立全國(guó)文明城市已經(jīng)進(jìn)入倒計(jì)時(shí)！某環(huán)衛(wèi)公司為活理衛(wèi)生死

16、角內(nèi)的_!+' = D. " + " =13x23 x垃圾,調(diào)用甲車3小時(shí)只活理了一半垃圾,為了加快進(jìn)度,再調(diào)用乙車,兩車合 作1.2小時(shí)活理完另一半垃圾.設(shè)乙車單獨(dú)活理全部垃圾的時(shí)間為 x小時(shí),根據(jù) 題意可列出方程為A -二+,' =1 B -二+ ' ' = C.6 x6x2【解答】解：由題意可得,12 ,12 16 T"2 ?應(yīng)選B.11 .假設(shè)關(guān)丁 x的方程室四M =- 1無解,貝U m的值是x-33-xA. m直 B. m=3 C m或 1 D. m直或 33 33【解答】解：去分母得：3- 2x+mx- 2=-x+3,整

17、理得：m- 1 x=2,當(dāng)m- 1=0,即m=1時(shí),方程無解；當(dāng)m- 1丈1時(shí),x-3=0,即x=3時(shí),方程無解,此時(shí)一-=3,即m&, m-13應(yīng)選C12.假設(shè) 一-=0無解,M m的值是x-4 4-xA. - 2 B . 2 C. 3 D. - 3【解答】解：方程兩邊都乘x - 4得：m+1 x=0,.方程無解,x 4=0,即 x=4,m+1 4=0,即m=3應(yīng)選C.>013 .如果關(guān)丁 x的不等式組,2的解集為x > 1,且關(guān)丁 x的分式方程x-4< 3 l2竺+工=3有非負(fù)整數(shù)解,那么符合條件的 m的所有值的和是 2-x x-2A. - 2 B. -4 C.

18、- 7 D. - 8【解答】解:號(hào) >. x-4<3x-2'"解得x> m解得x>1.不等式組的解集是x > 1,那么n 1.解方程+. =3,2-i x-2去分母,得 1 - x - m=3 2 - x,去括號(hào),得1- x - m=& 3x,移項(xiàng),得-x+3x=6 - 1+m合并同類項(xiàng),得2x=5+m系數(shù)化成1得x=&皿.2.分式方程 也_+工=3有非負(fù)整數(shù)解, 2-i x-25+n> 0,n - 5,- 5< 術(shù) 1 ,m=- 5, - 3, 1,符合條件的m的所有值的和是-7,應(yīng)選C.14.從-2、-,1、0、2

19、、5這一個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為 mi假設(shè)數(shù)m使關(guān)丁 x的不等式組無解,且使關(guān)丁 x的分式方程工足=-1有非負(fù)L-2x-lJ>4m+1x-2 2-x整數(shù)解,那么這一個(gè)數(shù)中所有滿足條件的 m的個(gè)數(shù)是A. 1B. 2 C. 3 D. 4【解答】解：不等式組整理得：fx+2 ,xS；-2n-l由不等式組無解,得到 m+涉-2m- 1,解得：倫-1,即 m=- 1, 0, 2, 5,分式方程去分母得：x - m+2= x+2,即x-m,把m=-1代入得：x= y ,不符合題意；把m=0弋入得：x=0,符合題意；把m=2代入得：x=1,符合題意；把m=5弋入得：x=2.5 ,不符合題意,那么所有

20、滿足條件m的個(gè)數(shù)是2,應(yīng)選B二.填空題共15小題15.假設(shè)關(guān)丁 x的分式方程-L+3世-無解,M實(shí)數(shù)m= 3或7 x-1x-1【解答】解：方程去分母彳：7+3 x - 1 =mx整理,得m- 3 x=4,當(dāng)整式方程無解時(shí),m- 3=0, m=3當(dāng)整式方程的解為分式方程的增根時(shí),x=1,n 3=4, m=7m的值為3或7.故答案為3或7.16. 假設(shè)關(guān)丁 x的分式方程 匝+業(yè)=3的解為正實(shí)數(shù),貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是mx-2 2-iV 6 且 m 2 .【解答】解：耍+冬=3, x-2 2-x方程兩邊同乘x- 2得,x+葉2m=3x- 6,解得,x=與,2.典冬2,2nm 2,由題意得,典0,2解

21、得,RK 6,故答案為：RK6且護(hù)2.17. 甲、乙工程隊(duì)分別承接了 160米、200米的管道鋪設(shè)任務(wù),乙比甲每天 多鋪設(shè)5米,甲、乙完成鋪設(shè)任務(wù)的時(shí)間相同,問甲每天鋪設(shè)多少米設(shè)甲每天 鋪設(shè)x米,根據(jù)題意可列出方程： 址甄 .一x +5一x+5故答案是：坷半.x x+5【解答】解：設(shè)甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)x米,貝U乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)x+5米,由題 音徂.160 20018. 某市為綠化環(huán)境方案植樹 2400棵,實(shí)際勞動(dòng)中每天植樹的數(shù)量比原方案多20%結(jié)果提前8天完成任務(wù).假設(shè)設(shè)原方案每天植樹 x棵,那么根據(jù)題意可列方程 為竺四二纓土.【解答】解：設(shè)原方案每天植樹x棵,那么實(shí)際每天植樹1+20% x=1

22、.2x,根據(jù)題意可得：2鄴 2400 =8, x 1.2x故答案為：四匝一空四=8.K 1.2x19. 假設(shè)關(guān)丁 x的分式方程 旦=2的解為非負(fù)數(shù),那么m的取值范圍是 n1且mK-1豐1.nv 1=2 (x - 1),【解答】解：去分母得,x="2.方程的解是非負(fù)數(shù),m+U 0 即 n - 1乂由于x- 1丈0,- *豐 1,1, 2nm 1,那么m的取值范圍是- 應(yīng)選：m 1且m 1.20.假設(shè)關(guān)丁 x的分式方程 些土= 2有整數(shù)解,整數(shù)m的值是 1,3, 4, 一 2、 x-2 x-26 .【解答】解：去分母得：mx- 1+1=2x- 4,整理得：m- 2 x=- 4,解得：x=

23、 -m_2由分式方程有整數(shù)解,得到 m- 2=- 1 , 1, -2, 2, -4, 4,且x - 2丈0,解得：m=1 3, 4, -2, 6,故答案為：1, 3, 4, -2, 621 .在方程x2+2x+ 了 =3中,如果設(shè)y=x2+2x,那么原方程可化為關(guān)丁 y的整式方程是 y2 3y+2=0 .【解答】解：設(shè)y=x2+2x,貝U原方程可化為y+里=3, y去分母,得寸-3y+2=0.故答案是：y2 - 3y+2=0.22 .用換元法解方程'E - 2?絲土+1= 0時(shí)應(yīng)設(shè)y=2x+l x-22x+l 【解答】解：設(shè)y= *一2,那么原方程變?yōu)閥- +1=0,2x+ly故答案為

24、：勇.2x+l23.如果實(shí)數(shù)x滿足x+【2- x+【-2=0,那么x+【的值是 2 XXX【解答】解：設(shè)x+【=u,原方程等價(jià)丁 u2- u - 2=0,解得u=2或u=- 1,x+【=2或x+【=-1 不符合題意,舍,XX故答案為：2.24 .關(guān)丁 x的分式方程有增根,那么增根為x=1 .X-l K-1【解答】解：L.原方程有增根,.,最簡(jiǎn)公分母x - 1=0,解得x=1.故答案為x=1.25. 假設(shè)關(guān)丁 x的方程乂+2二有增根,貝U m的值是 4 .x-2 x-2【解答】解：方程兩邊都乘x - 2,得 x+2=m.原方程有增根,最簡(jiǎn)公分母x- 2 =0,解得x=2,當(dāng) x=2 時(shí),m=2+

25、2+4故答案為：4.26. 假設(shè)分式方程二的解為正數(shù),那么a的取值范圍是av8,且a4【解答】解：分式方程去分母得：x=2x- 8+a,解得：x=8 - a,根據(jù)題意得：8 - a>0, 8 - a4,解得：a<8,且a4.故答案為：a<8,且a4.上的解是x1=c, x2= c27.關(guān)于 x 的方程：x+=cd的解是 x=c, x2; x - =c- X CCK_【,貝U x+一=c+的解是 x1=c, x2= 3+.c x_3c3c3【解答】 解：x+【=cd的解是x1=c, x2=【；x - =c-的解是x1=c, x2=-X CC X ccx+=c+可化為 x - 3

26、=c- 3+, x_3c3x3c_3x+=c+的解是 xi=c, x2=3,I-3c_3c_3故答案為3+工.c328 .假設(shè)關(guān)丁 x的分式方程無解,求a= - 1或2 x-23-x xZ-5x+6【解答】解：去分母得：3-x- a x-2 =-2,即a+1 x=2a+5,當(dāng)a=- 1時(shí),顯然方程無解；當(dāng) a- 1 時(shí),xtL,a+1當(dāng)x=2時(shí),a不存在；當(dāng) x=3 時(shí),a=2,綜上,a的值為-1或2.故答案為-1或2.29 .解關(guān)丁 x的方程2 + ? 芒_產(chǎn)生增根,那么常數(shù)a= 4或6 x-2 s2-4 x+2【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x- 6,由分式方程有增根,得到x+2

27、x - 2 =0,即x=2或x=-2,把 x=2 代入得：8+2a=0,即 a= - 4;把 x=- 2 代入得：-2a=- 12,即 a=6,綜上,常數(shù)a=- 4或6,故答案為：-4或6 三.解做題共6小題30.如圖,Rt ABC中,Z B=90° , AB=3cm BC=4cm 點(diǎn) D在 AC上,AD=1cm 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿 ABtAtC的路徑勻速 運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),在B點(diǎn)處首次相遇后,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度每秒提升了 2cm, 并沿Bt AA的路徑勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q保持速度不變,并繼續(xù)沿原路徑勻速運(yùn)動(dòng), 兩點(diǎn)在D點(diǎn)處再次相遇后停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn) P原來的速度為xcm/s.1點(diǎn)Q的速度為#x一cm/s 用含x的代數(shù)式