雙星模型三星模型四星模型

1、雙星模型、三星模型、四星模型天體物理中的雙星,三星,四星,多星系統(tǒng)是自然的天文現(xiàn)象,天體之間的相互作用遵循萬有引力的規(guī)律,他們的運(yùn)動規(guī)律也同樣遵循開普勒行星運(yùn)動的三條根本規(guī)律.雙星、三星系統(tǒng)的等效質(zhì)量的計(jì)算,運(yùn)行周期的計(jì)算等都是以萬有引力提供向心力為出發(fā)點(diǎn)的.雙星系統(tǒng)的引力作用遵循牛頓第三定律：F '= F ,作用力的方向在雙星間的連線上,角速度相等, 1=2-'【例題1】天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星.雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍.利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動特征可推算出它們的總質(zhì)量.某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動

2、,周期均為T,兩顆恒星之間的距離為 r ,試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量.引力常量為G【解析】：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m、做圓周運(yùn)動的半徑分別為ri、角速度分別為 3八3 2.根據(jù)題意有仍1 =切2ri 2 :mm22G2=m1w1rlr根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律,有-mim22-G-2- = m1w2r1r聯(lián)立以上各式解得m2r r1二 m m2根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知2二叫=切2 = T"聯(lián)立式解得【例題2】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律.天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時(shí),發(fā)現(xiàn)了 LMCX3雙星系統(tǒng),它 由可見星A和不可見的暗

3、星B構(gòu)成,兩星視為質(zhì)點(diǎn),不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動,它們之間的距離保持不變,如圖4-2所示.引力常量為G, 由觀測能夠得到可見星 A的速率v和運(yùn)行周期T.1可見星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m'的星體視為質(zhì)點(diǎn)對它的 引力,設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2,試求m'用m1、m2表示.2求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式;(3)恒星演化到末期,如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量 ms的2倍,它將有可能成為黑洞.假設(shè)可見星A 的速率v=2.7M05 m/s,運(yùn)行周期T=4.7冗X 1s,質(zhì)量mi=6ms,試通

4、過估算來判斷暗星 B有 可能是黑洞嗎(G=6.67X10-11 N m2/kg2, ms=2.0 X030 kg)解析：設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為1曲,由題意知,A、B做勻速圓周運(yùn)動的角速度相同,設(shè)其為 份o由牛頓運(yùn)動定 2 一2 一 一律,有 FA=m1(or1, Fe=m28r2, Fa = Fb設(shè)a、b間距離為,那么r = r1 + r2由以上各式解得r =rm2由萬有引力定律,有Fac m1 m2二G r,代入r得fa = g22(m1m2)3令Fa =G,通過比較得m' =1g m2)(2)由牛頓第二定律,有mG 2r2v=m1 而可見星A的軌道半徑r1vT3m2(m1 m2

5、)2(3)將m1 = 6ms代入上式得3m2(6ms m2)2v3T2 G3代入數(shù)據(jù)彳導(dǎo) 一m-二3.5ms(6ms m2)2設(shè) m2 = nms (n a 0),將其代入上式得 =n ms = 3.5ms(6ms m2(6 . 1)2n3可見, m2的值隨耳的增大而增大,試令 n = 2,得(6ms m2)2可見,假設(shè)使以上等式成立,那么 丹必大于2,即暗星B的質(zhì)量ms必大于2ms,由此可得出結(jié)論：暗星 B有可能是黑洞.【例題3】天體運(yùn)動中,將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星,它們在萬有引力作用下間距始終保持不變,并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運(yùn)動,設(shè)雙星間距為L,質(zhì)量分別為周期. 15.解

6、析：雙星繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動,即：M、M,試計(jì)算1雙星的軌道半徑2雙星運(yùn)動的M 1M 222G= M1 . L1 = M 2 L2.L1 L2 =LM 2M 2.由以上兩式可得：Li =L , L2 =LM1M2M1M2又由2M 1M 24 二G ：2=M1yLi.L得：T =2L G(M1 M2)【例題4】我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質(zhì)量不等的星體 S1和&構(gòu)成,兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動.由天文觀察測得其運(yùn)動周期為 T,S1到C點(diǎn)的距離為1,&和&的距離為r,引力常量為A.G由此可求出2 2 /4

7、冗 r (r - r1)GT2&的質(zhì)量為2 3B. 4GT22 3C-2 2D 4" r1U.2GT2答案：解析雙星的運(yùn)動周期是一樣的,選Si為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得Gm1m2r24春、1GT2.故正確選項(xiàng)D正確.【例題5】如右圖,質(zhì)量分別為 m和M的兩個星球 A和B在引力作用下都繞 O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動,星球A和B兩者中心之間距離為 L.A、B的中央和O三點(diǎn)始終共線,A和B分別在O的兩側(cè).引力常數(shù)為 G 求兩星球做圓周運(yùn)動的周期. 在地月系統(tǒng)中,假設(shè)忽略其它星球的影響,可以將月球和地球看成上述星球 A和B,月球繞其軌道中央運(yùn)行為的周期記為T1.但在近似處理問

8、題時(shí),常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動的,這樣算得的運(yùn)行周期丁2.地球和月球的質(zhì)量分別為5.98 M 024kg和7.35 1 022kg.求T2與T1兩者平方之比.結(jié)果保存3位小數(shù)【答案】T 二2二L3G(M m) 1.01A和B的向心力相等.【解析】 A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動,它們之間的萬有引力提供向心力,那么始終共線,說明 A和B有相同的角速度和周期.因此有22m ,M ,m© r=M.R, r + R = L,連立解得 R =L, r=Lm Mm M對A根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得GMm = m()2 LL2T M m化簡得 T =2;L3,G(M m)將地月看成雙星,由得

9、T1 =2L3G(M m)將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得GMm= m(L2T)2l化簡得t2 =2二L3GM一 ,、,T2、所以兩種周期的平方比值為(?)Ti24222 m M 5.98 107.35 105.98 1024= 1.01【例題6】【2021?江西聯(lián)考】如右圖,三個質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為 m、m2、M (M>m, M>m).在c的萬有引力作用下,a、b在同一平面內(nèi)繞 c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動,它們的周期之比 T, ： Tb=1 ： k；從圖示位置開始,在 b運(yùn)動一周的過程中,那么A.a、b距離最近的次數(shù)為B.a、b距離最近的次數(shù)為k

10、+1次C.a、b、c共線的次數(shù)為2kD.a、b、c共線的次數(shù)為2k-2【解析】在b轉(zhuǎn)動一周過程中,a、b距離最遠(yuǎn)的次數(shù)為k-1次,a、b距離最近的次數(shù)為k-1次,故a、b、c共線的次數(shù)為2k-2 ,選項(xiàng)D正確.【例題7】宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種根本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行.設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m(1)試求第一種形式下,星體運(yùn)動的線速度和周期(2)假

11、設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動周期相同,第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少31答案 v,5GmR 4 J (2) ()3R2R5Gm5解析 (1)對于第一種運(yùn)動情況,以某個運(yùn)動星體為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有：Gm2Gm2Fi=二F22R2(2R)2Fi+F2=mG/R運(yùn)動星體的線速度:v二速mR2R周期為T,那么有丁二竺 vT=4兀R3,5Gm(2)設(shè)第二種形式星體之間的距離為那么：個星體做圓周運(yùn)動也半皆為.F合=mT2R'R =JL/Lcos 30由于星體做圓周運(yùn)動所需要的向心力靠其它兩個星體的萬有引力的合力提供,由力的合成和牛頓運(yùn)動定律有:2GnF 合=2 cos30 r所以a【例題8】(2021?湖北百校聯(lián)考)宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星差統(tǒng),四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn),通?？珊雎云渌求w對四星系統(tǒng)的引達(dá)作用.已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種根本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為 a的正方形儂個頂點(diǎn)上,均圍繞正方形對角線的交由做勻速圓周運(yùn)動,其運(yùn)動周期為Ti；另一種形式是有三顆星位于邊長為a的等邊三角形七個項(xiàng)點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行,其運(yùn)動周期為4,而第四顆星剛好位于三角形的電心不動.試求兩種形式下,星體運(yùn)動的周期之比