圓錐曲線(xiàn)秒殺法

1、圓錐曲線(xiàn)秒殺法吳磊研究高考作文之余,本人也研究高考數(shù)學(xué)的秒殺方法,主要包括 隱函數(shù)求導(dǎo)、柯西不等式、仿射、參數(shù)方程、極點(diǎn)極線(xiàn)一、圓錐曲線(xiàn)局部小題用到的方法1、橢圓C: xZ8+y22=1與斜率K=1/2的直線(xiàn)l相切,那么切點(diǎn)坐標(biāo)為注:傳統(tǒng)方法我就不講了,講兩種秒殺法法一、隱函數(shù)求導(dǎo)直接對(duì)C: x2/8+yZ2=1求關(guān)于X導(dǎo)數(shù)可得x/4+yy'=0, 帶入K=1/2, x=-2y,帶入橢圓方程,很容易解出切點(diǎn)為(-2,1)和(2,- 1)；法二、縮放坐標(biāo)將橢圓縮放成圓利用圓的性質(zhì)快速解題,將 X軸壓縮為原來(lái)的1/2, 即x=2x'(這里不是導(dǎo)數(shù),只表示一個(gè)未知數(shù))；斜率K'

2、;=2K=1 ,橢圓 化為圓C': x'a y'2=2;很容易求得I'與C相切于(-1,1)和(1,-1),復(fù)原, 可知I與C相切于(-2,1)和(2,-1)2、橢圓C: xZ4+yZ3=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)L:x-2y-1=0距離的取值范圍為:法一、直接用柯西不等式 橢圓和直線(xiàn)相交,最小距離為 0,最大距離為橢圓C與l平行的切 線(xiàn)l'與l的距離,l'= x-2y+b=0;構(gòu)造柯西不等式可知(xZ4+y2/3) (4+12) >(x-2y)2;-4< b<4;把4和-4代入l'再利用平行線(xiàn)距離公式求I和1'距離,最大距

3、 離為,5所以0<0,5法二、縮放坐標(biāo)系橢圓和直線(xiàn)相交,最小距離為0,最大距離為橢圓C與1平行的切線(xiàn)1'與1的距離.1'= x-2y+b=0 ;縮放 y=v3/2 y'橢圓 C 縮放前方程 C'為：x2+y2=4; 1' 縮放后表達(dá)式為1''=x- v3y+b=0, C與1相切,利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離為 半徑,容易求的b=4和-4;再利用平行線(xiàn)距離公式很容易求得范圍 為 0<d<V53、過(guò)定點(diǎn)(4、0)的直線(xiàn)1與橢圓C: x2/4+y2=1有公共點(diǎn),那么直線(xiàn)1 斜率K取值范圍為:法一、直接用柯西不等式1:my=x-4,那么 x

4、-my=4;構(gòu)造柯西不等式,(x2/4+y21 (22+ m2) >(x-my)2可得,m2A12,注意是反設(shè)斜率,故k= 1/m;很容易解出k的范圍為-v3/6<k<A3/6法二、縮放坐標(biāo)1:my=x-4 , x=2x 'C': x' a y' 2=1; I ':m y'=2 x'-4, 用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式,d=4/ v(4+ m 2)W1;可解的m2A12,注意是反設(shè)斜率,故 k= 1/m;很容易解出k的范圍為-v3/6<k<A3/6、柯西不等式柯西不等式在高中數(shù)學(xué)提升中非常重要,是高中數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容之一,

5、是求某些 函數(shù)最值中和證實(shí)某些不等式時(shí)經(jīng)常使用的理論根據(jù),技巧以拆常數(shù),湊常值為主.柯西不等柯西不等式-方和積不小于積和方222aia2L anbi22ai b a2 b2L an bn當(dāng)且僅當(dāng)bib2 Lbn0或亙電L 2時(shí)取等bi b2bn柯西不等式的主要變形公式變形公式1ai 匕a2b2Lanbna匕a2b?L anbna|La2 ?b22Lb2取等條件同變形公式2_ 一 _ _ 2,ai也 a2 ,b2L ,an,bnaa2L an gbb2Lbn變形公式3a； a2 La2, b2不等式三角公式L b：aibia2b2L2_bnSSL變形公式2Lanbn24噸L取等條件同bib2 L

6、bn變形公式52史也L 曳一以電La取等條件同hb2bna bi a2 b2 L a0、仿射仿射變換罌典型.次向境的你灌方程4i將比桶照m標(biāo)班方程i衽形式上模為段近胭的標(biāo)就力程 T M甲 h? + .r-r< “送 訓(xùn),我的著直郡還利用仿射彩演用摘屁壹攪力圓.再利用圓的良好幾何件或解決同理 的方法.*i X - d. W對(duì)橢肥的標(biāo)宸力即=4 = = 1.獨(dú)打K要4 >軸進(jìn)行仲豳交換!A 得利方看二+ 1=1一了 tr卜 Da' p'仲期變模不會(huì)改變tt蛇與網(wǎng)錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)救、也不強(qiáng)改變#鴕紋段K度的比何關(guān)系.平行和直線(xiàn)共 立美系等等.但是即端生啞改變抄段的粒度,法宙超

7、弓1起充分眄注電I將占1倍引殳換t Alling Trinskutr是一箱二跣史痣到二推生標(biāo)之I此的地金堂拽-保持二年圖彩 的“半亢鵬,件江：用di&ht恥制,券變換后直線(xiàn)注是魚(yú)乳不防利用.國(guó)弧逕是胤姐6/ 檸他-4法：2i*恥IncH,其實(shí)是指保二雄蜀都司的相計(jì)長(zhǎng)夏英系不更一中行成正是十. 致.而立埋上息的祖置卻年不支.另特奧京地行號(hào)向更由叮髓套女生史化一年染史溟耳比 再4一索列明再于變低的聶今之現(xiàn),也指二平樓TraflsUlioti上喈攻< Swltk朝輪【Flip L 虬特Koution 1 和借切 I Shear <Lfr法1衣伸縮及胡下.憚圈才樞E二二十二=1變?yōu)?/p>

8、圖E；/ + 4 =rL布畫(huà)上的點(diǎn)尸事.mJ變?yōu)?a' bp ； 4 ,巴卜 圖此過(guò)畫(huà)£ 土一國(guó)尸的浦附加建才我為：* - 3, = */ b .心1信it用通it伸腐作戰(zhàn)機(jī)可以祥打過(guò)岫! E上一皮尸的喃周灼切我方和L4jt+0乂j/=#即 b "經(jīng)換前變換扁/ l'a方竹 丁4'+ y2» aj橫坐標(biāo)¥X X織里標(biāo)Vr HV = 一 F觸上=¥* OiV v用后Ad Av h向枳¥=?打的'5* =2A/ W 土 § 2 b卜而是優(yōu)射變換同后此中二主對(duì)悔美系:艾 K i = Ji + l -

9、 Av_ 招/,m .碩t平行關(guān)系g共線(xiàn)段段比例關(guān)系：點(diǎn)分幽的比,熟悉仿射射交w, toil=1, .嘀®r的.出為】十=1("bo,公尸的坐尿?yàn)?-0,可.h(D一百線(xiàn)y=4i*p叱橢rr、D芭依.： = K： 干八E. 一& =鼻證實(shí)：£為(7)的中點(diǎn)：對(duì)r嘴囪上的點(diǎn)c(ug?疝©)"5)七頭箱/上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)小a滿(mǎn)足匹)可二10,寫(xiě)出求作點(diǎn)&. 2的步驟.【解折】作仿闿交換、悵31療程先為一+=,&'= 1:C八OE、極定理,£0的中點(diǎn) 十是£是CD的中點(diǎn).如下用.求作上£

10、;,八的步來(lái)為；I以.為司心,相司的長(zhǎng)軸太.為豐冷作同：2.迂.作右線(xiàn).貨Q站五方向劃過(guò)盤(pán)線(xiàn)的角為夕、書(shū)我與©文子0,3.4國(guó)與?軸正向的攵點(diǎn)作V轉(zhuǎn)的垂或,過(guò)畫(huà)與x躺負(fù)向的支點(diǎn)作x作的圣我.而務(wù)看我文于上4.連姑,取井中KA"191jC：樣:-M .一 邛S號(hào)與豐"W/第耳'p?？涨?y耳mo譽(yù) o i"一二0.料城VH修白工封丫工條自妙川務(wù)華芬斗.回“冬邛響"1為.¥3屏M*名田仆億領(lǐng) :融?我書(shū)、3同電不導(dǎo)上冬書(shū)3區(qū)出承于卒4市督9本女也rw法【耳格】dd+ /=付"Ud = M=&Or.4環(huán)下力;勺加吊

11、忸.好中8玄爺¥窄外¥冬時(shí)供丁丐,取;Y才肝五%/印.“切節(jié)打c仔多,=£時(shí)¥籽第3：小夕辨'/人捫1號(hào)洋岳書(shū)也可：的寸邛以'?甲,回M2 ,笫牛?耶"船?“箏投9X W4EI '茶V3耳手NO什拈NN '人.琳亨,4伊 a "=+/可%*/¥耳優(yōu)卜 彳漱¥住力 £ "、坤3,= 丫不聲,節(jié)耳/工京印方伊,某叮后.ea羊【用制】 一 一 ' 一 !聞丫理班冷以807東太4琳印/篡H居.產(chǎn)地w,2 ,、了審印引:；J 1-"1配弱&,-1.

12、“善如修；1rJMYY：tj2io： ；M 4,施三款印觴四率黑芍丫出箱底力WZLK? .紂4浙h,1區(qū)而甭取三燈吊同時(shí)幻K1F冷不和力PR里薊哥卯M,1-1二.4再'怎出國(guó)丁努?學(xué)箏耳8.第早 上1城后：0,之二下. 化皿燈鄲這甲歹k*既«1切0號(hào)1M03*M '格修器M材同/符甲既K '廿口切爵甲丁 'J有"典節(jié)即用/工,小慎那卜U t"口百0|叩! 忸蜘 "冽門(mén),戶(hù),中勒W 在山含.正U粉UD *",尸R所審草川犯 尸尸+ja可U中|他/比?10 依聿孝號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)取味因此/.3后?的武大值為g.薛習(xí)2201

13、.年郵 機(jī)工已如桓質(zhì)L + : = 吶接.角物/*. IL頂點(diǎn)'的標(biāo)4%6 243所在直線(xiàn)的斜率為岑.當(dāng)48.的面積最大時(shí),求直鐵-8的方程.c坐標(biāo)力G6；宜城 直代/川§、“.“諛宜我45的方量為x-j+m=0,那么0到點(diǎn)我/史的龍用為造"/夕卜,當(dāng)工3 .昨刖-工"時(shí)Sgy取得最大值3, 此時(shí)直林,8'妁方社為0.因此S 9的病火臨勺*.此時(shí)4R的方程力/門(mén)# = 1縹習(xí)32021年版匕.模J晨:,他1三小二1的乩右頂蟲(chóng)分加為.4、H.過(guò)曲星為1的儂父桂前于另一由5,企林洞r t的r滿(mǎn)足：八K彳的而林為g.試推定點(diǎn)7的個(gè)收.2【解析】杵怖21逵

14、過(guò)仿哥左捺|交式國(guó)./,產(chǎn)=4 fsm-2S*,.y*2y5九2八2.即"-"4 = 0囚7外直線(xiàn)4S的跑為力京,花長(zhǎng)/fS-2,2!-方三行,r <«J包線(xiàn)AS1的花離力- = TI 4 4$3飛由于/.在仇必上杼在兩個(gè)T點(diǎn) 又由于力2. .,衣/藍(lán)上不存在r*,x. 即:上.上,的人數(shù)也即名r的個(gè)會(huì)是2.練習(xí)42021年齊武一播文有線(xiàn)/：2/尸2 = 0.楊網(wǎng)丁十二二1的交力為/、B.求使 W 的面4枳力:的£的個(gè)般：【解析】工Q練習(xí)52021年杓城模設(shè)有線(xiàn),.怖禺;-廣二交J/, B西乩艮以46為由?的同過(guò)怖國(guó)的右頂亙C,求AMC面枳的尺八值

15、.【解析媯出相史標(biāo)系燉3中珞身那么供3方攝發(fā)為匕整,產(chǎn)=|4、：+6*9爐=0.沒(méi)立找AB盟方以為；r -叫+ 明 止或立支妙方保芻mDO方經(jīng)#人6K上把+ ,即9.團(tuán)上,l + 3o axj a x a而人上二 -l. 9+l + £ = 0, “ = -,日比CD = ±X .r.aSS將例S通過(guò)變快: 二 ：變力/ +尸=9. JNS“ = !$wc v -3r3HO'到/"的無(wú)街為 d .- J 2& d,J,Ji/,9 j12,當(dāng)且僅當(dāng)=98,“取肉最大值!X千足S-收.=-S/r W:,即A46C面猊的雙上伍力-.12 "&q

16、uot; 88利用用射射換系理弦弦,?£*2021升立小 而畝,占誦麗C的中央,匚,z ,、GkU/、前T；前EISc的is梏為MV, lie；. 6的離心本程為e.比錢(qián)/±MN, /與C；交十兩點(diǎn),響點(diǎn), 這四點(diǎn)按縱性標(biāo)從大到小正次為,.BX.D.I|設(shè)-2,求B.與卜修的出值； 2當(dāng)e變化時(shí),是否存在1或八使得BO/AN,理4.的也國(guó),作為時(shí)交換H = f時(shí)飾21的作仿好交楝尸,-2=y財(cái)C；： /十/80 ：' A* o 編=hv o I-3 5 = / ： "、0 答=設(shè)里£(acosA.dsin0)(.“工).irv = -cos 夕

17、If= =-更c(diǎn)os-l= icos,costf = !e(-l.I)%8s81-yQJt 昨(f.0)U(2. + s)伙)/No,2 .,方0.?巫片.不存在：S史H.存在. e IA利用偽射變及凸顯四府幾何條件利用仍見(jiàn)變換可以稱(chēng)一些越H中“平凡的條件特化為對(duì)前他很有利的符妖條件,比方：X利用儕射攵換可以改變斜的從一可以使用某些與楠國(guó)相關(guān)的平行四邊市轉(zhuǎn)化為矩杉,從而笥化 向鼠同用僅時(shí)變化可以珞樹(shù)網(wǎng)變?yōu)閲?guó).從而可以使裝叫.眄阮和美的丫療四邊形轉(zhuǎn)化為更形.從而荷 化何世鍬 2021年莫慶齦匚匚1. 4 2D理科設(shè)動(dòng)4/滿(mǎn)足:麗=麗+而,其中M、WD國(guó)上曲乩直線(xiàn)OM與ON的網(wǎng),率之聯(lián)、d &qu

18、ot;"曬個(gè)£. 4.便叫歷|,|%|為定值 ；.求百,月的坐:L林：假設(shè)不存在,說(shuō)引盤(pán)由.i義科諛動(dòng)良,滔足：麗三廂+ 2萬(wàn).其中M. N顯機(jī)身上的點(diǎn). H我OU與.、的, 制W之積為H：是否存在立.殳存點(diǎn)P到內(nèi)e的川商R到直線(xiàn)X：,/而的距因之比為, 定值?假設(shè)存住,求尸的華林：假設(shè)不存在說(shuō)明母由. 一一 一 *« 一.一 一 一-一 一 一 *« 一 . 一一 一 一 一 一 一 *« 一 一一 « 一一;【解析】作優(yōu)射史,M網(wǎng)國(guó)方程變?yōu)?/ + 2=4.JLOV'IOV.伸科四邊招OWQV為正方影.t«.|O

19、F| = |WV|=2V?,產(chǎn)點(diǎn)的機(jī)逆方福為回/十/=8,因此P點(diǎn)的械方程為一網(wǎng),* = .,.存&合題意的點(diǎn)£,. +標(biāo)為t2.0.琳國(guó)眄用卜媒名I文科四邊出OWP V力矩格. I加|=|MV|=2有,.點(diǎn)的叱方程力固/+ /= 20,因此P&恰如4方行為/+£ = ?«.即上一二二1 1720 10存在括合題意的點(diǎn)尸,上林力而.0.即用口的右熬點(diǎn).練習(xí)12021年海淀 線(xiàn)陽(yáng)X戰(zhàn)/:產(chǎn)H + rw平|； 而網(wǎng)? +J = |川文于/、8兩點(diǎn),以錢(qián)及04.6為加邊作平行四邊形."6 .其中頂點(diǎn)布桶回.匕.為?1<弧點(diǎn).求|.1的取

20、侑范禮【解析】用體封交報(bào)蛾圈痔化為田于是平行四邊壽.鏟8支為乏彩017>8'由K|W：和號(hào)根據(jù)“用時(shí)角互相擊立,子;因此gWL- v3也就是河Hl=k/wi*3目此團(tuán)的取色弟?chē)?guó)是I6.孚.練習(xí)2 2021溝淀模理 L如比線(xiàn)點(diǎn) > 二h-明.書(shū)畫(huà)G：二1交J/. 5兩點(diǎn),有線(xiàn)/、： “h+他制產(chǎn)m：與描14G交C.兩點(diǎn).用M = |CC|,如下列圖.1證實(shí)；網(wǎng)+ J叫=0；21求四邊字48c 的面積$的總大值.【解析】考慮用傷身變耀.,BQ為粕囹內(nèi)提平行四邊招,作竹豺交核自變?yōu)镮E內(nèi)我不行內(nèi)過(guò)彩,為齊影.臼JU十角線(xiàn)為立在,七式是運(yùn)幅因內(nèi)拄T行口邊杉的升角蝶£如分子

21、原白,手是啊.桁一0;3內(nèi)接短影當(dāng)且區(qū)當(dāng)花稱(chēng)力止方形時(shí)如積最大,黃大值為4,十是帕面內(nèi)接手行四邊形如枳的病之佰為3 = ?J"6【&泣】也可以著作杞關(guān)支段問(wèn)題議直我二£所與的21文十四點(diǎn)4、8,那么【£文五錢(qián)與方粗,#I+:卜:ZJbnx + m：-1-0i - .“倒=677.芋價(jià)于川；:叫,又刷尸嗎,叫股+碼=o由648與CD關(guān)于的夕H#.可邊形/BCD為討知中央4氏及的牛行日邊形不桁段叫0r ;4 ,4 1 g7 L */-l m 4",2入Y 而入Y222明川 *74Y親,29當(dāng)JL優(yōu)當(dāng)嗎!二犬十!吁取群孑號(hào)內(nèi) 也22,田邊號(hào)408的面積

22、S的最大小是26.原 已二M為慨y = :"而吟+千=1在第呆限內(nèi)的文點(diǎn),四與OM皆討而畋于 力、"兩點(diǎn).求證k找Ml.左線(xiàn)；/B與x軸陶成的三角形是圖膛三角形.過(guò)作*14的全線(xiàn). ,文isr+y二8于點(diǎn)m刈易如、2,-2.,.¥2,-2, AO.W iaVe "“/ ,.丫148根梃學(xué)徑定理.學(xué)分覽/以,于是"A.是N/W9的平分先干艮4三乂門(mén)：2%",即義MH1.P. .,乙1.0是等匿三角彩.證聚【備注】2021年密云一橫理加圉所示,幡國(guó)的中7在原點(diǎn),熱點(diǎn)在工轉(zhuǎn)上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)足短轉(zhuǎn)式的3倍. 且紅土工"3.1.平身于.M的

23、直線(xiàn)/在曲上的或無(wú)為用加*0,且文的圖于/, 8兩不 FI息.-38的方杈;求成的取假定田：束隹.直我M4. Mb與,軸始絳國(guó)成L個(gè)等接三角機(jī)【解析】S+2L.j； 18 2設(shè)之我,：p = +M“市0 對(duì) rnw -2. 0U0, 2|；現(xiàn)為丑強(qiáng)套jt問(wèn)地的推廣其用份毋爻扶均年解決.362021年四中方二胡中考邢己加點(diǎn)2,1便扁國(guó)工+匕=1上點(diǎn),直線(xiàn)弓椅一交于4.S兩點(diǎn).求AM4B的內(nèi)心的物型標(biāo).【解行】*用出的也去與本補(bǔ)的問(wèn)處.考慮使用仿叁變換居利區(qū)外化為15加以解決. 在3中,容務(wù)證實(shí)A/0是NOMd的十分式.千足時(shí)0定/陰的十分找. 囚北人,£"的內(nèi)的耀生彌為的橫生

24、杯,電也是2.綜合 例6 12021年山東己如動(dòng)亙線(xiàn)/.桶l(fā)aic： 9十/二1文丁川占,8,0'. 2為不同乩且N0的而伙工叫勺,其中.為坐櫬鼠乩1一明：M+U和鼻'人均為定值;2出線(xiàn)收收的中點(diǎn)為必,求mH%的顯大值：觸&-j在二ND.E,G.仗丹$二肌$/-5_/*?4在,WiDEG 的形狀：假設(shè)不在在,請(qǐng)說(shuō)明理也.【解析】8周、作仿布殳按K=i,玉=玉,那么料用C史力BIC： K., c 6 c 3r 二了 二5設(shè).到女4.0的距離為d.也那3-/"="解算公與.十足|產(chǎn)0|=onog.因比X? = yJ, I：二而OC2 f二4 + x；=“

25、 + x： 3,后y-j/! + h：|-2.造也的材*為匕如.的樸為 士'l°M 同=3 、4；.卜(' S 一 一<> 0 0一飾 巳娜18|4+?1上的兩點(diǎn)/, 6關(guān)于x軸對(duì)移,P(4.0)是腦GI長(zhǎng)軸所在自或 憶4 3點(diǎn).我上線(xiàn)PR.弧網(wǎng)網(wǎng)至7D,證實(shí) 1. -1；1二.» ： _比-S2； _ 5(«, 一£, ' Sjwe - S&g S w _ 7LL,daic中,£ UG、EG所片的Bpu均為力,r 四北.不存在漏為典忠的三角杉.練習(xí)7(2021上京呂平二慎國(guó))如除£+?1g

26、"O)的長(zhǎng)軸為/8.過(guò)點(diǎn)8的宜線(xiàn),與軸電工桁區(qū)的需心 / b幸日,夕為帕同的左隹"且|"|附1=1.(I)求此機(jī)眼的方程:設(shè)P足此機(jī)愎上升丁4A的任意 點(diǎn),P"l"軸,為 垂足,第K/翎點(diǎn)0使得-0.追接4.井廷K交 111也A為M8的IS、,用定口線(xiàn)QNb以.48為 苴徑的國(guó).的位亮關(guān)系.【備注】設(shè)10號(hào)佛國(guó)文于2./?,用AA芻泊鳴如切,北建與助可以引用仿針交掖解決.利用仿射變換將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題MM1將攜II通過(guò)伸館交發(fā)力財(cái)需證實(shí)：假設(shè)點(diǎn)4, 8為關(guān)于回的有在RG對(duì)柞朽而點(diǎn),出所去五級(jí)上的一點(diǎn)P均8點(diǎn)的連就交國(guó)于., 元,4.與丹/文十

27、定點(diǎn)E.法用*下：如圖,連轉(zhuǎn)北1 2.設(shè)力與團(tuán)交手C.3 EH；G為孤CD和松仙晌中點(diǎn)八；, AG.,分別是4*歐7的十分戰(zhàn) 而XX71D"."G是NEDP的牛分伐.而4EDE二EG KH 邦交位定理,APDP= AP P=汽；PH 切劃線(xiàn)定理“EG EH EG EG 仙 EG PGI A.? - PG-PH K PG EH PH生為定依在木例中力1任為定值 E力定尤在本的中 1,0薛習(xí)8設(shè)百城八戶(hù)h + m.梅團(tuán);-y：T相交于M. I兩戊.F是楠出為方住點(diǎn),TOFV rjF 線(xiàn)卬的斜率互為相反數(shù).求證：角線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】或我/過(guò)文42, 0.本府與

28、間題相凡應(yīng)習(xí)9 2021年江於如困,在平山 向坐I球血中,'-工=1的1 1點(diǎn)為才、8.A也口為卜 設(shè)討由9,即的且線(xiàn).用與此桶府分別交 mA,！,、*Y：,K.乂中 川0.Mo,%?0.設(shè)J = 9求證：有線(xiàn)M/V必過(guò)X軸的定點(diǎn),其%棕.川無(wú)美.z筆一一)g qq jr sa 、,警2«(7¥聞- -* ry7應(yīng)力小 ,丁 U ru J Cj f心匕% "二力二華陽(yáng)二名"四k一 IX/、而、KF W .J f NL / t NFA JJV 9UI-777 不 7TTT 身"始 4M 4 wmi AA VIJ “ W7 P A J iq

29、 </r朝務(wù)8 )7“¥仃8卜T可手一24在咐令多 掌,ZX卞1*8八.w芋F04HF* Ar 'M+h«otit in 上甘'?一零到T、$Tkm手,卜0夕/ o點(diǎn)在耳夕#/"；3安明例學(xué)J中«野秫不uW總5中91/芋的節(jié)£廣行#3X冷,q -.工*朝1硬'0二/Dtnwi-彳*七團(tuán)“曾工位 |時(shí)工件茶w修'半如國(guó),工用【畀?！?產(chǎn)r-r»及 AC -4u . Z FAC - a,乙YdC - D * AT - . AM - luma , BT - BN - 2acus0 C6“cos/?及乙U

30、OC-2",乙NOC =邛、那么OCWOF的角力a-,以0為k& OC為極經(jīng),那么五撥AW6方但力(a夕)卜d(O,MV),PPpcos 9 (a f)卜d8 coe(a+夕)工*.c AB cos(a4夕)cosacos/T smasi"I - tmaunfl1 UD - AB ABcus(tf -0)cusacus.+sina 疝i.It vmu uui/7而 / nc N ZMAB - - ZMOB - a , ZNAB-Z.VO5-/J,.i江ACBe,Un/? = unZBfC =2JJlOP=于是點(diǎn).力定點(diǎn).四、參數(shù)方程橢圓參數(shù)方程吳磊一、沒(méi)吃過(guò)豬肉,你

31、還沒(méi)見(jiàn)過(guò)豬跑x=acos8; y=bsin 9是一組我們熟悉而又陌生的方程,可問(wèn)題是你真懂 他們的含義嗎 9究竟是個(gè)什么東東,和圓參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程中9是一個(gè)意思嗎1、從一道百分之九十以上人都做錯(cuò)的簡(jiǎn)單題展開(kāi)例1、P是橢圓C上一點(diǎn)：x= 4 cos p y=2 v3sin 8且在第一象限OO為原點(diǎn)P的傾斜角為九/3,那么P點(diǎn)的坐標(biāo)為經(jīng)典錯(cuò)法：由于傾斜角為冗/3, x= 4cos 0;y=2 v3sin q所以x= 4cos 兀/3=2;y=2 Tsin 兀/3 =3求得 P 坐標(biāo)2、3正解：橢圓參數(shù)方程e是旋轉(zhuǎn)而成的圓心角而不是傾斜角由于OP的傾斜角為冗/3,故OP的斜率K= tan 7t/

32、3=v3;v3=y/x2V3sin /4cos =v3 1sin盼cosa 82=12 聯(lián)立二式,P在第一象限,可解cos 9=v5/5 sin =2v5/5P 點(diǎn)坐標(biāo)為4V/5、4V15/5 2、橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)和含義解釋1切J r陽(yáng) I I*1 - LX h；£131 *匕、 夕?另U 舊上 . I < ii- -1>- 4f > >t -I"“TT 同*針皿. 與生n 圮 人團(tuán)I 產(chǎn)1資.a 1 j j-MU 口勺 女兒底工工人 M 八 z l c. f后 JUL * Xztnfli rfcM _i_ 八 z 用 JUL>1/%;.派r

33、、F彳#£人學(xué)是<,迄4-tH J /A< M /J為九.i力便一故 yj #V .珀可： iAt aio l Aox Vj xii *< > a.jZlrrj ihyrj >反c Aj段金收,iWW3、橢圓參數(shù)方程的設(shè)法可能有的同學(xué)會(huì)根據(jù)焦點(diǎn)在X軸:x=acos .y=bsin 9焦點(diǎn)在Y軸:x=b cos 8; y=asin 0去記憶,老師告訴你別這么理解,你只要記住 cos 8對(duì)應(yīng)的系數(shù)是a和b中大的,cos和擴(kuò) 大諧音,參數(shù)方程復(fù)原主要看 cos 8前的系數(shù),它一定是大的,焦點(diǎn)在哪個(gè)軸,他在哪個(gè)下面二、橢圓參數(shù)方程妙用1、橢圓內(nèi)內(nèi)接面積問(wèn)題口知】

34、橢圓為7十六<jI7J妾比照A&CD.1:二技 X,人 Hi 不只解:可設(shè) A( 10 cos 9; 8sin 9 ),利用對(duì)稱(chēng)性可知 B( 10 cos 8 ; - 8sin 9 )C( -10 cos 8; - 8sin 0 ) ； D( -10 cos 8; 8sin 0 )AB長(zhǎng)度為16 sin 9 ; AD長(zhǎng)度為20 cos 9 ,矩形面積S=160 sin2 9,由三角函數(shù)知識(shí)可知,面積最大為160例2:設(shè)橢圓二+=1和x的正半軸的交點(diǎn)為A,d b-和V的止半軸的交點(diǎn)為B, P為第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn),那么四邊形OAPB面積的最大值為解：要使Soap跟大,由圖可知SOA

35、B為定值,需求出P到直線(xiàn)AB距離,距離最大 時(shí)Sbpa大,從而SoapbJ大,用橢圓參數(shù)方程設(shè) P為 x=acos 0 ; y=bsin 0用P到AB的距離公式可以求得距離最大為直線(xiàn)AB的方程為:x/a+y/b=1 ab(v2-1)2, SoAPB=abv2/22、橢圓相關(guān)距離問(wèn)題例1:點(diǎn)P在杯有I回+ P2 = 1上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q4在圓 z+(y-10 =3 上運(yùn)動(dòng), 求pq的最大值,O|Mg + |/a|= |a | +/2所以只婪求1"工|白勺顯大值解：用橢圓參數(shù)方程設(shè)P為 x=2 cos q y=sin f A(0,3/2)由點(diǎn)到距離公式可知AP最大為5/2,所以PQ最大值為3例

36、2:橢圓約束下二次型最值問(wèn)題 2)廠 V-假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(xzy)在曲線(xiàn) + yv= 1 S >0)上運(yùn)動(dòng), 4 b-那么x2+2y的最大值為解：用橢圓參數(shù)方程解,轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)最值問(wèn)題.由于 b牙口 4大小未知,顯 然需要分類(lèi)討論0Vb<2,時(shí) P(x=2 cos q y=bsin為轉(zhuǎn)化成求4 cos 2什2bsin 8最大值 可求得最大值為(bZ4)+4b >2P( x=b cos 0; y=2sin 隊(duì) 轉(zhuǎn)化成求 b2sos 2什4sin 8最大值可求得最大值為2b3、橢圓與向量求范圍、求值問(wèn)題橢圓E:,A在E上(1,1/2 ),假設(shè)點(diǎn)P在E上滿(mǎn)足(1)求t的范圍(2)過(guò)原

37、點(diǎn)O的直線(xiàn)交E于BC求SA BCA的最大值解：l) ) Ft2 cos sin.= (V3- 2cos sinDO rI滬o&m亡工=cos 2 一 m) = L mi n = -2c os or, sin 43"), C(i 2 cos- sm q)= £1 2 cos slaM-' ICZz4 = <1 + 2 cos d + sin a=1|=| ad-bc1- 2cos a1 + 2 cos 盤(pán)1 .sm a:.卜4-sin. a2max= v2五、極點(diǎn)極線(xiàn)圓錐曲線(xiàn)的極點(diǎn)與極線(xiàn)理論在高考中應(yīng)用較多,原因有二：其一,有高等數(shù) 學(xué)背景,結(jié)論非常完美

38、；其二,運(yùn)用高中知識(shí)解決問(wèn)題,能夠考查學(xué)生思維、計(jì) 算多方面水平.掌握有關(guān)極點(diǎn)與極線(xiàn)的根本性質(zhì),才能“識(shí)破試題中蘊(yùn)含的有 關(guān)極點(diǎn)與極線(xiàn)的知識(shí)背景,做題事半功倍.1 .從幾何角度看極點(diǎn)與極線(xiàn)定義1如圖1,設(shè)P是不在圓錐曲線(xiàn)上的一點(diǎn),過(guò) P點(diǎn)引 兩條割線(xiàn)依次交圓錐曲線(xiàn)于四點(diǎn) E,F,G, H ,連接EH ,FG 交于N ,連接EG,FH交于M ,那么直線(xiàn)MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線(xiàn). 假設(shè)P為圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn),那么過(guò) P點(diǎn)的切線(xiàn)即為極線(xiàn).由圖1同理可知,PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線(xiàn),PN為點(diǎn)M所 對(duì)應(yīng)的極線(xiàn).因而將MNP稱(chēng)為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線(xiàn)MN交圓錐曲線(xiàn) 于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),那么PA,PB恰為圓錐曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn).定理

39、1 (1)當(dāng)P在圓錐曲線(xiàn) 上時(shí),那么點(diǎn)P的極線(xiàn)是曲線(xiàn)在P點(diǎn)處的切線(xiàn)；(2)當(dāng)P在 外時(shí),過(guò)點(diǎn)P作 的兩條切線(xiàn),設(shè)其切點(diǎn)分別為 A,B,那么點(diǎn)P的極 線(xiàn)是直線(xiàn)AB (即切點(diǎn)弦所在的直線(xiàn))；(3)當(dāng)P在 內(nèi)時(shí),過(guò)點(diǎn)P任作一割線(xiàn)交于A, B,設(shè) 在A, B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)Q ,那么點(diǎn)P的極線(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡.定理2如圖2,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線(xiàn) 的極線(xiàn)為l ,過(guò)點(diǎn)P任作一割線(xiàn)交于PA PBA,B ,交l于Q ,那么上 工2；反之,假設(shè)有成立,那么稱(chēng)點(diǎn) P,Q調(diào)和分割線(xiàn)段 AQ BQAB,或稱(chēng)點(diǎn)P與Q關(guān)于 調(diào)和共食,或稱(chēng)點(diǎn) P(或點(diǎn)Q)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)一7P的調(diào)和共輾點(diǎn)為點(diǎn)Q (或點(diǎn)P).點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的調(diào)和共

40、食點(diǎn)是一條直線(xiàn),這條直線(xiàn)就是點(diǎn)P的極線(xiàn).I、/B 一推論1如圖2,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的調(diào)和共輾,一 .,211點(diǎn)為點(diǎn)Q ,那么有三 ；反之,假設(shè)有成立, PQ PA PB那么點(diǎn)P與Q關(guān)于調(diào)和共食.可以證實(shí)與是等價(jià)的.事實(shí)上,由有AQ BQ PQ PAPA PBPAPB PQPBPQPA1 1曳PB11PQ ( ) 2PA PB211PQ PA PB特別地,我們還有推論2如圖3,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于有心圓錐曲線(xiàn)PQ連線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓錐曲線(xiàn)的中央,那么有 OR2 OP Q關(guān)于調(diào)和共食.設(shè)其中央為OQ證實(shí)：設(shè)直線(xiàn)PQ與的另一交點(diǎn)為R ,那么O的調(diào)和共食點(diǎn)為點(diǎn) Q,反之假設(shè)有此式成立,那么點(diǎn) P與PR PRRQ RQO

41、P OR OP OR ,化簡(jiǎn)OR OQ OR OQ即可得OR2 OPOQ .反之由此式可推出PR PR 口口一,即點(diǎn)RQ RQP與Q關(guān)于調(diào)和共食.R 臼推論3如圖4, A,B圓錐曲線(xiàn) 的一條對(duì)稱(chēng)軸l上的兩點(diǎn)不在 上,假設(shè)A,B關(guān)于 調(diào)和共食,過(guò)B任作 的一條割線(xiàn),交于P,Q兩點(diǎn),那么PAB QAB .證實(shí):關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),故在 上存在P,Q的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P ,Q .假設(shè)P與Q重合,那么Q與P也重合,此時(shí)P,Q關(guān)于l對(duì)稱(chēng),有 PAB QAB假設(shè)P與Q不重合,那么Q與P也不重合,由于A, B關(guān)于調(diào)和共食,故A, B為上完全四點(diǎn)形PQ QP的對(duì)邊交點(diǎn),即Q在PA上,故AP, AQ關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),也有 PA

42、B QAB .定理3 (配極原那么)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的極線(xiàn)p經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q 點(diǎn)Q關(guān)于 的極線(xiàn)q經(jīng)過(guò)點(diǎn)P ;直線(xiàn)p關(guān)于 的極點(diǎn)P在直線(xiàn) q上 直線(xiàn)q關(guān)于 的極點(diǎn)Q在直線(xiàn)p上.由此可知,共線(xiàn)點(diǎn)的極線(xiàn)必共點(diǎn)；共點(diǎn)線(xiàn)的極點(diǎn)必共線(xiàn).以上未加證實(shí)的定理,可參閱有關(guān)高等幾何教材,如【1】,其中定理1的初等證法可參閱文【2】.2 .從代數(shù)角度看極點(diǎn)與極線(xiàn)定義2圓錐曲線(xiàn)：Ax2 Cy2 2Dx 2Ey F 0 ,那么稱(chēng)點(diǎn)P(x0,y0)和直線(xiàn)l:Ax0x Cy0y D(x x0) E(y y0) F 0是圓錐曲線(xiàn) 的一對(duì)極點(diǎn)和極線(xiàn).事實(shí)上,在圓錐曲線(xiàn)方程中,以 x°x替換x2,以x替換x,以y°y

43、替換y2 ,2以 里上替換y即可得到點(diǎn)P(Xo, y°)的極線(xiàn)方程.2特別地：22(1)對(duì)于橢圓今 冬 1,與點(diǎn)P(xo,y.)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程為 曾岑 1; a ba b22(2)對(duì)于雙曲線(xiàn)、41,與點(diǎn)P(xo,yo)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程為 W 誓 1; a ba b(3)對(duì)于拋物線(xiàn)y2 2px,與點(diǎn)P(x0, y0)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程為 y0y p(x0 x).22(4)如果圓錐曲線(xiàn)是橢圓x7 匕 1,當(dāng)P(xo,yo)為其焦點(diǎn)F(c,0)時(shí),極線(xiàn)恰為 a b 22橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)；如果圓錐曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)與冬 1 ,當(dāng)P(xo,yo)為其焦點(diǎn)F(c,0)時(shí),極a b線(xiàn)恰為雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)；如果圓錐曲線(xiàn)是

44、拋物線(xiàn)y2 2px,當(dāng)P(xo,yo)為其焦點(diǎn)F(,0)時(shí),極線(xiàn)恰為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).23.從極點(diǎn)與極線(xiàn)角度看圓錐曲線(xiàn)試題【例1】(2021江蘇卷文理18)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如圖,橢圓22 1的左右頂點(diǎn)為 A, B ,右焦點(diǎn)為F .設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t,m)的直線(xiàn)TA,TB與此橢圓95分別交于點(diǎn) M (x y1),N(x2,y2),其中 m 0 , y1 0, y 0 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF2 PB2 4,求點(diǎn)P的軌跡;、-1設(shè)x1 2, x2 一,求點(diǎn)T的坐標(biāo);1 2 3 設(shè)t 9,求證：直線(xiàn) MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與 m無(wú)關(guān))分析與解：前面兩問(wèn)比較簡(jiǎn)單,這里從略.對(duì)于(3),當(dāng)t 9時(shí),T點(diǎn)

45、坐標(biāo)為(9,m),連MN ,設(shè)直線(xiàn)AB與MN的交點(diǎn)為K ,根據(jù)極點(diǎn)與極線(xiàn)的定義可知,點(diǎn) T對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)經(jīng)過(guò)K,又點(diǎn)T對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程為之/曳21 ,即95x m- 1 ,此直線(xiàn)恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)K (1,0),5從而直線(xiàn)MN也恒過(guò)定點(diǎn)K (1,0).22_【例2】(2021安徽卷理22)設(shè)橢圓C:與三 1(a b 0)過(guò)點(diǎn)M (J2,1),且左 a b焦點(diǎn)為F1( . 2,0).求橢圓C的方程;(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A, B時(shí),在線(xiàn)段AB上取 uum uuruuu uuu點(diǎn)Q,滿(mǎn)足 AP QB AQ PB ,證實(shí)點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上.|y22分析與解：(1)易求得答案 1.42uuuPBuuur,說(shuō)明點(diǎn)P,Q關(guān)于 BQuuuPA(2)由條件可有4utrAQ圓錐曲線(xiàn)C調(diào)和共輾.根據(jù)定理2,點(diǎn)Q的軌跡就是點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線(xiàn),即4金1上1,化簡(jiǎn)得2x y 2 0. 42故點(diǎn)Q總在定直線(xiàn)2x y 2 0上.22x y . . x y一【例3】1995全國(guó)卷理26橢圓C: 1,直線(xiàn)1:一 - 1, P是l24 1612 8 、.一一 .1 2. 上一點(diǎn),射線(xiàn) OP交橢圓于點(diǎn)R,又點(diǎn)Q在OP上且滿(mǎn)足 OQ OP OR ,當(dāng)點(diǎn)P在1上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程.,并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn).分析與解：由條件知 OROP OQ可知點(diǎn)P,Q關(guān)于圓錐曲線(xiàn)