勾股定理畢達(dá)哥拉斯定理及各種證明方法

1、勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）勾股定理是一個初等幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一， 也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。 勾股定理 是余弦定理的一 個特例。勾股定理約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的 定理之一?！肮慈伤南椅濉笔枪垂啥ɡ碜罨镜墓?。勾股數(shù)組方程a2+b2=c2的正整數(shù)組（a,b,c）。（3,4,5）就是勾股數(shù)。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b,斜邊為c,那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理命題1如果直角三角形 的兩條直角邊長分別為a, b,斜邊長為c,那么於+ X二F。勾股定理

2、的逆定理命題2如果三角形的三邊長a, b，c滿足fl3 + fa2二r2，那么這個三角形是直角三角形。 【證法1】（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形1的面積等于丄ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.2/ Rt DAHB Rt ABE,. / HDA = / EAB./ / HAD + / HAD = 90o,. / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2./ EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90o. EFGH是一個邊長為ba的正方形，它的面積等于

3、"7 .【證法2】（課本的證明）做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是 a+b ，所以面積相等.d*-4-A-|-4x +4x即21,整理得'.【證法3】（1876年美國總統(tǒng) Garfield 證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全把這兩個直角三角形拼成如圖所示形等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于狀，使 A、E、B三點(diǎn)在一條直線上./ Rt EAD也 Rt CBE,. / ADE = / BEC./ / AED + / ADE

4、 = 90o, / AED + / BEC = 90o. / / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于'.又T / DAE = 90o, / EBC = 90o, AD/ BC.ABCD是 一個直角梯形，它的面積等于Jt 【趣聞】：在1876年一個周末的傍晚，在美國華盛頓的郊外， 有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時美國俄亥 俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小 石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗瑫r而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去， 想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只

5、見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三 角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為 3和4,那么斜邊長為多少呢”伽菲爾德答到：“是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為 5和乙那么這個直角三角形的斜邊長又是多少”伽菲 爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f道：“先生，你能說出其中的道理嗎”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。1876年

6、4月1日伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總 統(tǒng)?！弊C法。積=£.正方形ADEB勺面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB勺面積.ca +A1，即 +A1 = t?.【證法5】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在Rt ABC中，設(shè)直角邊 AG BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c,過點(diǎn)C作CDL AB 垂足是 D.在 ADC和 ACB中,/ / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC 二 ADCs ACB. AD： AC

7、 = AC : AB 即 AC1 -ADAB .同理可證, CDBs ACB從而有 叭=叭M加仙4聞山工仙7,即【證法6】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于丄*.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B F、C三點(diǎn)在一條直線上，C G D三點(diǎn)在一條直線上./ Rt HAE也 Rt EBF,. / AHE = / BEF./ / AEH + / AHE = 900, / AEH + / BEF = 900. / HEF = 180o90o= 90o.四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2./ R

8、t GDHB Rt HAE. / HGD = / EHA./ / HGD + / GHD = 90o, / EHA + / GHD = 90o. 又 / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于（鈕亠*）.【證法7】（利用切割線定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b，斜邊AB = c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于 D E,貝U BD = BE = BC = a.因?yàn)? BCA = 90o,點(diǎn) C在OB 上,所以AC是O B的切線.由切割線定理，得=（彳甘+蛀X仙一少月-+-）=扌-才【證法8】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b，斜邊 AB = c.作Rt ABC的內(nèi)切圓O O,切點(diǎn)分別為D、E、F （如圖），設(shè)OO的半徑