理論力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)

1、第一篇靜力學(xué)第1章靜力學(xué)公理與物體的受力分析1.1靜力學(xué)公理公理1二力平衡公理：作用于剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平衡的必要和充分條件 是：這兩個(gè)力大小相等、方向相反且作用于同一直線上。F=-F'工程上常遇到只受兩個(gè)力作用而平衡的構(gòu)件，稱為二力構(gòu)件或二力桿。公理2加減平衡力系公理：在作用于剛體的任意力系上添加或取去任意平衡力系， 不改變原力系對剛體的效應(yīng)。推論 力的可傳遞性原理：作用于剛體上某點(diǎn)的力，可沿其作用線移至剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，而不改變該力對剛體的作用。公理3力的平行四邊形法則：作用于物體上某點(diǎn)的兩個(gè)力的合力，也作用于同一點(diǎn)上，其大小和方向可由這兩個(gè)力所組成的平行四邊形的對角線來表示

2、。推論三力平衡匯交定理：作用于剛體上三個(gè)相互平衡的力，若其中兩個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)，則此三個(gè)力必在同一平面內(nèi)，且第三個(gè)力的作用線通過匯交點(diǎn)。公理4作用與反作用定律：兩物體間相互作用的力總是同時(shí)存在，且其大小相等、方向相反，沿著同一直線，分別作用在兩個(gè)物體上。公理5鋼化原理 ：變形體在某一力系作用下平衡，若將它鋼化成剛體，其平衡狀 態(tài)保持不變。對處于平衡狀態(tài)的變形體，總可以把它視為剛體來研究。1.2約束及其約束力1 .柔性體約束2 光滑接觸面約束3 .光滑鉸鏈約束第2章平面匯交力系與平面力偶系1. 平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線通過各力作用線的匯交點(diǎn)，其大小和方向可由失多邊形的

3、封閉邊來表示,即等于個(gè)力失的矢量和，即Fr=F1+F2+.+Fn= F2. 矢量投影定理：合矢量在某軸上的投影，等于其分矢量在同一軸上的投影的代數(shù)和。3. 力對剛體的作用效應(yīng)分為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。力對剛體的移動(dòng)效應(yīng)用力失來度量；力對剛體的 轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力矩來度量，即力矩是度量力使剛體繞某點(diǎn)或某軸轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度的物理 量。(Mo ( F) =± Fh)4. 把作用在同一物體上大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力所組成的力系稱 為力偶，記為(F,F')。例2-8如圖2.-17 (a)所示的結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件自重忽略不計(jì)，在構(gòu)件AB上作用一力偶，其力偶矩為500kN?m，求A、C兩點(diǎn)的

4、約束力。解 構(gòu)件BC只在B、C兩點(diǎn)受力，處于平衡狀態(tài)，因此BC是二力桿，其受力如圖2-17( b) 所示。由于構(gòu)件AB上有矩為M的力偶，故構(gòu)件 AB在鉸鏈A、B處的一對作用力 FA、FB) 構(gòu)成一力偶與矩為 M的力偶平衡(見圖 2-17 (c)。由平面力偶系的平衡方程刀Mi=0，得-Fad+M=0500則有 FA=FB ' j '：廠廠 N=471.40N由于FA、FB'為正值，可知二力的實(shí)際方向正為圖2-17 ( c)所示的方向。根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，可知FC=FB '471.40N，方向如圖2-17 ( b)所示。第3章平面任意力系1. 合力矩定理：若

5、平面任意力系可合成為一合力。則其合力對于作用面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩等 于力系中各力對于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。2. 平面任意力系平衡的充分和必要條件為：力系的主失和對于面內(nèi)任意一點(diǎn)Q的主矩同時(shí)為零，即 Fr'=0,Mo=0.3. 平面任意力系的平衡方程：刀Fx=O,刀Fy=O,刀Mo(F)=0.平面任意力系平衡的解析條件 是,力系中所有力在作用面內(nèi)任意兩個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，各力對 于作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也是等于零例3-1如圖3-8 (a)所示，在長方形平板的四個(gè)角點(diǎn)上分別作用著四個(gè)力，其中F仁4kN ,F2=2kN , F3=F4=3kN，平板上還作用著一力偶矩為M=2k

6、N m的力偶。試求以上四個(gè)力及一力偶構(gòu)成的力系向 O點(diǎn)簡化的結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。解(1)求主矢FR'建立如圖3-8 (a)所示的坐標(biāo)系，有F 'Rx=刀 Fx= - F2cos60° +F3+F4cos30 ° =4.598kNF 'Ry=刀 Fy=F1 F2sin60 ° +F4sin30 ° =3.768kN所以，主矢為聯(lián)立求解得S=0.456l主矢的方向F'Rxcos ( F'R,i) =7T=0.773, / (F 'R, i)=39.3 °FRycos ( F'R,j

7、) =0.634,/( F'R, j) =50.7°(2)求主矩，有M0=刀 MO ( F) =M+2F2cos60 ° - 2F2+3F4sin30 ° =2.5kN m由于主矢和主矩都不為零，故最后的合成結(jié)果是一個(gè)合力FR，如圖3-8 ( b)所示，F(xiàn)R=F'R，合力FR到0點(diǎn)的距離為M0d=r =0.4 21m例 3-10連續(xù)梁由AC和CE兩部分在C點(diǎn)用鉸鏈連接而成，梁受載荷及約束情況如圖3-18 (a)所示，其中 M=10kN m, F=30kN , q=10kN/m , l=1m。求固定端 A和支座 D的約束力。解 先以整體為研究對象，其

8、受力如圖3-18 (a)所示。其上除受主動(dòng)力外，還受固定端A處的約束力Fax、Fay和矩為MA的約束力偶，支座 D處的約束力FD作用。列平衡方程有刀 Fx=0, Fax- Fcos45° =0刀 Fy=0, FAy- 2ql+Fsin45° +FD=0刀 MA ( F) =0, MA+M 4ql 2+3FDl+4Flsin45° =0以上三個(gè)方程中包含四個(gè)未知量，需補(bǔ)充方程。現(xiàn)選CE為研究對象，其受力如圖3- ( b)所示。以C點(diǎn)為矩心，列力矩平衡方程有1刀MC ( F) =0, ql 2+FDI+2FISin45° =0 聯(lián)立求解得FAx=21.21k

9、N , Fay=36.21kN , MA=57.43kN m, FD= - 37.43kN第4章 考慮摩擦的平衡問題1. 摩擦角：物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，全約束力和法線間的夾角。tan “ m=fs2. 自鎖現(xiàn)象：當(dāng)主動(dòng)力即合力Fa的方向、大小改變時(shí)，只要Fa的作用線在摩擦角內(nèi)，C點(diǎn)總是在B點(diǎn)右側(cè)，物體總是保持平衡，這種平衡現(xiàn)象稱為摩擦自鎖。例4-3梯子AB靠在墻上，其重為W=200N，如圖4-7所示。梯長為I，梯子與水平面的夾角為0 =60°已知接觸面間的摩擦因數(shù)為0.25。今有一重650N的人沿梯上爬，問人所能達(dá)到的最高點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離s為多少？解 整體受力如圖4-7所示，設(shè)C點(diǎn)

10、為人所能達(dá)到的極限位置，此時(shí)FsA=fsFNA FsB=fsFNB刀 Fx=0, FNB-FsA=0刀 Fy=0, FNA+FsB-W-W仁0刀 MA ( F) =0, -FNBsin0 -FsBlcosO +W cos 0 +W1scos 0 =0第5章空間力系1. 空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零，即Fr= Fi=O2. 空間匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在三條坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零.3. 要使剛體平衡，則主失和主矩均要為零，即空間任意力系平衡的必要和充分條件是：該力系的主失和對于任一點(diǎn)的主矩都等于零，即Fr'=刀Fi=0,Mo=刀Mo(Fi)=

11、04. 均質(zhì)物體的重力位置完全取決于物體的幾何形狀，而與物體的重量無關(guān)若物體是均質(zhì)薄板，略去Zc，坐標(biāo)為xc=刀Ai*xi/A，yc= 刀Ai*yi/A5. 確定物體重心的方法(1) 查表法(2) 組合法：分割法；負(fù)面積(體積)法(3) 實(shí)驗(yàn)法例5-7試求圖5-21所示截面重心的位置。解將截面看成由三部分組成：半徑為 10mm的半圓、50mm x 20mm的矩形、半徑為 5mm 的圓，最后一部分是去掉的部分，其面積應(yīng)為負(fù)值。取坐標(biāo)系Oxy , x軸為對稱軸，則截面重心C必在x軸上，所以yc=0.這三部分的面積和重心坐標(biāo)分別為it X IO24RA1=mm 2=157mm 2,x1=-花=-4.

12、246mm , y仁0A2=50 x 20mm 2=1000mm 2, x2=25mm , y2=0A3=- n x 5 2mm 2=-78.5mm 2, x3=40mm , y3=0用負(fù)面積法，可求得AIkI +A2x2 + A3x3 1S7 X (-4.246) + 1000 X f - 7fi.5) xXc= ： t：- i ：.' - :第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)第6章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)6.2直角坐標(biāo)法運(yùn)動(dòng)方程x=f(t) y=g(t) z=h(t) 消去t可得到軌跡方程f (x,y,z) =0其中例題6 -1橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖6-4 (a)所示，曲柄oc以等角速度w繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，通過連桿 AB 帶動(dòng)滑塊

13、A、B在水平和豎直槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)， OC=BC=AC=L 。求：(1)連桿上 M點(diǎn)(AM=r ) 的運(yùn)動(dòng)方程；(2) M點(diǎn)的速度與加速度。解：(1)列寫點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程由于M點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡未知，故建立坐標(biāo)系。點(diǎn)M是BA桿上的一點(diǎn)，該桿兩端分別被限制在水平和豎直方向運(yùn)動(dòng)。曲柄做等角速轉(zhuǎn)動(dòng)，=wt。由這些約束條件寫出M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程 x=(2L-r)coswt y=rsinwt 消去 t 得軌跡方程：(x/ 2L-r )2 + ( y/x )2 =1(2 )求速度和加速度對運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，得dx/dt=-(2L-r)wsinwtdy/dt=rsinwt 再求導(dǎo) a仁-(2L-r)w 2 coswta2=-rw

14、2sinwt由式子可知 a=a1i+a2j=-w 2r6.3 自然法2自然坐標(biāo)系：b=t x n其中b為副法線n為主法線t3.點(diǎn)的速度 v=ds/dt 切向加速度 at=dv/dt 法向加速度 an=v2/p習(xí)題6-10 滑道連桿機(jī)構(gòu)如圖所示， 曲柄OA長r,按規(guī)律0 = B'+wt轉(zhuǎn)動(dòng)(B以rad計(jì)，t 以 s 計(jì))， w 為一常量。求滑道上 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、速度及加速度方程。解：第七章 剛體的基本運(yùn)動(dòng)7.1剛體的平行運(yùn)動(dòng)：剛體平移時(shí)，其內(nèi)所有各點(diǎn)的軌跡的形狀相同。在同一瞬時(shí)，所有各點(diǎn)具有相同的速度和相同的加速度。剛體的平移問題可歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題。7.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：瞬時(shí)角速度w=l

15、im 0 / t=d 0 /dt瞬時(shí)角加速度 a=lim w / t=dw/dt=d 2 0 /dt2轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的代數(shù)值等于該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離與剛體角速度的乘積a=V(a2 +b2)=R V( a 2+w2)0 =arctan|a|/b =arctan|a |/w2轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度和加速度的大小都與該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離成正比。例題7-1如圖所示平行四連桿機(jī)構(gòu)中， O1A=O2B=0.2m ,O1O2=AB=0.6m ,AM=0.2m ,女口 O1A按0 =15 n t的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)，其中$以rad計(jì)，t以s計(jì)。試求t=0.8s時(shí)，M點(diǎn)的速度與加速度。 解：在運(yùn)動(dòng)過程中，桿 AB 始終與 O

16、1O2 平行。因此，桿 AB 為平移， O1A 為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 根據(jù)平移的特點(diǎn)，在同一瞬時(shí)M、A 兩點(diǎn)具有相同的速度和加速度。 A 點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=O1A $ =3 n t m所以VA=ds/dt=3 nm/s atA=dv/dt=0anA= (V A) 2/O1A=45 m/s為了表示 V m、am的2,需確定t=0.8s時(shí)，AB桿的瞬時(shí)位置。當(dāng)t=0.8s時(shí)，s=2.4n mO1A=0.2m , $ =2.4 n /0.2=12 n ,AB桿正好第6次回到起始位置 O點(diǎn)處，Vm、am的方向 如圖所示。第 8 章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)8.1 合成運(yùn)動(dòng)的概念： 相對于某一參考系的運(yùn)動(dòng)可由相

17、對于其他參考系的幾個(gè)運(yùn)動(dòng)組合而 成,這種運(yùn)動(dòng)稱為合成運(yùn)動(dòng)。當(dāng)研究的問題涉及兩個(gè)參考系時(shí), 通常把固定在地球上的參考系稱為定參考系, 簡稱定 系。吧相對于定系運(yùn)動(dòng)的參考系稱為動(dòng)參考系,簡稱動(dòng)系。研究的對象是動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)相對于 定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對運(yùn)動(dòng)； 動(dòng)點(diǎn)相對于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)稱為相對運(yùn)動(dòng)； 動(dòng)參考系相對于 定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)。 動(dòng)系作為一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)著, 因此, 牽連運(yùn)動(dòng)具體有剛體運(yùn)動(dòng) 的特點(diǎn),常見的牽連運(yùn)動(dòng)形式即為平移或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)的絕對運(yùn)動(dòng)是相對運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果。 絕對運(yùn)動(dòng)也可分解為相對運(yùn)動(dòng)和牽 連運(yùn)動(dòng)。 在研究比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí), 如果適當(dāng)?shù)剡x取動(dòng)參考系, 往往能把比較復(fù)雜

18、的運(yùn)動(dòng)分 解為兩個(gè)比較簡單的運(yùn)動(dòng)。這種研究方法無論在理論上或?qū)嵺`中都具有重要意義。動(dòng)點(diǎn)在相對運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的相對速度、相對加速度,分別用vr 和 ar表示。動(dòng)點(diǎn)在絕對運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對速度和絕對加速度,分別用va 和aa表示。換句話說，觀察者在定系中觀察到的動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別為絕對速度和絕對加 速度；在動(dòng)系中觀察到動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別為相對速度和相對加速度。在某一瞬時(shí)，動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn) M 相重合的一點(diǎn)稱為此瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn) M 的牽連點(diǎn)。如在某瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)沒有相對運(yùn)動(dòng)， 則動(dòng)點(diǎn)將沿著牽連點(diǎn)的軌跡而運(yùn)動(dòng)。 牽連點(diǎn)是動(dòng)系上的點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)運(yùn) 動(dòng)到動(dòng)系上的哪一點(diǎn)，該點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)的

19、牽連點(diǎn)。定義某瞬時(shí)牽連點(diǎn)相對于定參考系的速度、 加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連速度、牽連加速度，分別用Ve和ae表示。動(dòng)系0 '''與定系Oxy之間的坐標(biāo)系變換關(guān)系為x=xo+x 'cosB -y 'sin 0y=y o+x 'sin 0 +y 'cos 0在點(diǎn)的絕對運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t,即得點(diǎn)的絕對運(yùn)動(dòng)軌跡；在點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t，即得點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)軌跡。例題 8-4 礦砂從傳送帶 A 落到另一傳送帶 B 上,如圖所示。站在地面上觀察礦砂下落的速度為vi=4 m/s ,方向與豎直線成 30角。已知傳送帶B水平傳動(dòng)速度 V2=3 m/s.求礦

20、砂相對 于傳送帶 B 的速度。解：以礦砂 M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在傳送帶B上。礦砂相對地面的速度 vi為絕對速度；牽連速度應(yīng)為動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的哪一點(diǎn)的速度?？稍O(shè)想動(dòng)參考系為無限大， 由于它做平移，各點(diǎn)速度都等于 V2。于是V2等于動(dòng)點(diǎn)M的牽連速度。由速度合成定理知,三種速度形成平行四邊形,絕對速度必須是對角線,因此作出的 速度平行四邊形如圖所示。根據(jù)幾何關(guān)系求得Vr= v( ve2+va2-2vevacos60o) =3.6 m/sVe與 va間的夾角3 =arcsin (ve/vr*sin60o) =46o12'總結(jié)以上, 在分析三種運(yùn)動(dòng)時(shí), 首先要選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系。 動(dòng)點(diǎn)相對

21、于動(dòng)系是運(yùn)動(dòng)的,因 此它們不能處于同一物體；為便于確定相對速度,動(dòng)點(diǎn)的相對軌跡應(yīng)簡單清楚。8.3 當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí),動(dòng)點(diǎn)的絕對加速度等于牽連加速度和相對加速度的矢量和。第 9 章 剛體的平面運(yùn)動(dòng)9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的分析：其運(yùn)動(dòng)方程x=f1(t) y=f2(t) 0 =f3(t)完全確定平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在剛體上,可以選取平面圖形上的任意點(diǎn)為基點(diǎn)而將平面運(yùn)動(dòng)分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng),其 中平面圖形平移的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān), 而平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加 速度與基點(diǎn)的選擇無關(guān)。9.2 剛體平面運(yùn)動(dòng)的速度分析： 平面圖形在某一瞬時(shí),其上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)的連線上的投影相等,這就是速

22、度 投影定理。 Vcosa=vcosb例 9-1橢圓規(guī)尺 AB由曲柄 OC帶動(dòng)，曲柄以勻角速度3 0繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖 9-7所示，OC=BC=AC=r ,求圖示位置時(shí),滑塊 A、 B 的速度和橢圓規(guī)尺 AB 的角速度。解已知OC繞軸O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，橢圓規(guī)尺 AB做平面運(yùn)動(dòng)，vc= 3 0r。(1)用基點(diǎn)法求滑塊 A的速度和AB的角速度。因?yàn)?C的速度已知，選 C為基點(diǎn)。vA=Vc+V AC式中的vc的大小和方向是已知的，vA的方向沿y軸，vAC的方向垂直于 AC ,可以作出速度矢量圖,如圖 9-7 所示。由圖形的幾何關(guān)系可得vA=2vccos30 ° = . 3 Or,Vac=Vc ,

23、 Vac= w ABr解得w AB= w 0 (順時(shí)針)(2)用速度投影定理求滑塊B的速度，B的速度方向如圖9-7所示。vBBC=vCBCVccos30° =vBcos30°解得Vb=vC= w Or例9-5圖9-15所示機(jī)構(gòu)中，長為I的桿AB的兩端分別與滑塊 A和圓盤B沿豎直方向光滑移動(dòng)， 半徑為R的圓盤B沿水平直線做純滾動(dòng)。已知在圖示的位置時(shí)，滑塊A的速度為vA ,求該瞬時(shí)桿B端的速度、桿 AB的角速度、桿 AB中點(diǎn)D的速度和圓盤的角速度。解 根據(jù)題意，桿 AB做平面運(yùn)動(dòng)，vA的方向已知，圓盤中心B的速度沿水平方向，則桿AB的速度瞬心為P點(diǎn)，有vA vAw AB= =v

24、B= w AB BP=vAtan 0vA 1 vAvD= w AB DP= =泣-vB vA圓盤B做平面運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)為其速度瞬心，則 w B= = - tan 0第三篇 動(dòng)力學(xué)第10章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程1. 牛頓第一定律：不受了作用(包括受到平衡力系作用)的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或做勻速直 線運(yùn)動(dòng)。又稱慣性定律。2. 牛頓第二定律：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方 向與力的方向相同。F =m a3. 牛頓第三定律：兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一直線，同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。例10-2 :曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖10-2 (a)。曲柄OA以勻角速

25、度w轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=r , AB=l ,當(dāng)入=r/l比較小時(shí)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，滑塊 B的運(yùn)動(dòng)方程可近似表示為X=l(1-丁)+r(cos w t+ I ：)如滑塊的質(zhì)量為 m,忽略摩擦及連桿 AB的質(zhì)量，試求當(dāng)“ =w t=0和時(shí)，連桿AB所受的力。解 以滑塊B為研究對象，當(dāng)“ =w t時(shí)，其受力如圖10-2 ( b)所示。由于連桿不計(jì)質(zhì)量，AB應(yīng)為二力桿，所以受平衡力系作用，它對滑塊B的拉力F沿AB方向?；瑝K啱x軸的運(yùn)動(dòng)方程Max=-Fcos 3由滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可得dxAx= =-r 3 2 (cos w t+ 入 cos2 w t)當(dāng) w t=0 時(shí)，ax=-r w 2 (1+ 入)，且 3

26、 =0 ,得F=mr w 2(1+ 入)桿AB受拉力。itrar1 w1同理可得，當(dāng)w t=時(shí)，F(xiàn)=-產(chǎn)，桿AB受壓力例 10-5物塊在光滑水平面上并與彈簧相連，如圖10-5所示。物塊的質(zhì)量為m,彈簧的剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長變形量為a時(shí)，釋放物塊。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點(diǎn)O,設(shè)物塊在任意坐標(biāo)x處彈簧變形量為|x|,彈簧力大小為也XF=k|x|，并指向O點(diǎn)，如圖10-5所示，則此物塊沿 x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為mr=Fx=-kxkdr令w2n=“，將上式化為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式嚴(yán)+w 2n x=0上式的解可寫為 X=Acos( w nt+ 0 )dx其中A、0為任意常數(shù)，

27、應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。由題意，當(dāng)t=0時(shí)，=0, x=a，代入上式，解得0 =0, A=a，代入式中，可解得運(yùn)動(dòng)方程為X=acosw nt第11章動(dòng)力定理升mVc1. 動(dòng)量：等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積.2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理： 微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和. 積分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在任一時(shí)間間隔內(nèi)的變化，等于在同一時(shí)間間隔內(nèi)作用在該指點(diǎn)系上所有外力的沖涼的矢量和(沖涼定理)3. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律：如果所有作用于質(zhì)心系的外力在x軸上投影的代數(shù)和恒等于零，即刀F=0 ,則Vcx=常量，這表明質(zhì)心的橫坐標(biāo)xc不變或質(zhì)心沿x軸的運(yùn)動(dòng)時(shí)均勻的。例11-5

28、 :已知液體在直角彎管 ABCD中做穩(wěn)定流動(dòng)，流量為 Q,密度為p , AB端流 入截面的直徑為d,另一端CD流出截面的直徑為 d1。求液體對管壁的附加動(dòng)壓力。解 取ABCD 一段液體為研究對象，設(shè)流出、流入的速度大小為v1和v2,則4Q 典V1 = ；丫 , v2=* j"建立坐標(biāo)系，則附加動(dòng)反力在X、y軸上的投影為F'Nx= p Q(v2-0)= nd,F' Ny= p Q 0- (-v1 )例11-7 :圖11-6所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度 w轉(zhuǎn)動(dòng),滑塊B沿x軸滑動(dòng)。若OA=AB=I , OA及AB都為均質(zhì)桿，質(zhì)量都為 ml，滑塊B的質(zhì)

29、量為 m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡及此系統(tǒng)的動(dòng)量。解 設(shè)t=0時(shí)桿OA水平，則有=wt。將系統(tǒng)看成是由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的，分別位于桿 OA的中點(diǎn)、桿AB的中點(diǎn)和B點(diǎn)。系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為Xc=一沁 t=:2 ml + m2Icos 3 t血1:mlYc=sin 3 t=,. 十：； Isin 3 t2m1 + m2上式即系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程。由上兩式消去時(shí)間t,得2ml + m22ml + m2iii i xc 2+：v'l 2=1即質(zhì)心C的運(yùn)功軌跡為一橢圓，如圖11-6中虛線所示。應(yīng)指出，系統(tǒng)的動(dòng)量，利用式(11-15) 的投影式，有dxcPx=mvcx=(2m1+m2) y-=-2

30、(m1+m2)l 3 sin 3 tdyePy=mvcy=(2m1+m2) i =m1l 3 cos 3 t例11-11 :平板D放置在光滑水平面上，板上裝有一曲柄、滑桿、套筒機(jī)構(gòu)，十字套筒C保證滑桿AB為平移，如圖示。已知曲柄 OA是一長為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿，以勻 角速度w繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)?；瑮UAB的質(zhì)量為4m,套筒C的質(zhì)量為2m,機(jī)構(gòu)其余部分的質(zhì)量為 20m,設(shè)初始時(shí)機(jī)構(gòu)靜止，試求平板 D的水平運(yùn)動(dòng)規(guī)律 x(t)。解去整體為質(zhì)點(diǎn)系，說受的外力有各部分的重力和水平面的反力。因?yàn)橥饬υ谒?軸上的投影為零，且初始時(shí)靜止，因此質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心在水平軸上的坐標(biāo)保持不變。建立坐標(biāo)系，并設(shè)平板D的質(zhì)心距O點(diǎn)的水

31、平距離為 a，AB長為I，C距O點(diǎn)的水平距離為b,則初始時(shí) 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的水平軸的坐標(biāo)為20ma + m；十 4mr + ) + 2mb 20 + 4- 4r + 21 + 2bXc1=20m 十 ni 十 4m + 2m27設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，平板D向右移動(dòng)了 x(t)，曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)了角度wt,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心坐標(biāo)為20mx(t) + a +cosu c + rcosujt + ； + bXc2=27m因?yàn)樵谒椒较蛏腺|(zhì)心守恒，所以XC仁xc2,解得：X(t)=u(1-C0S3 t)P207 習(xí)題 11-3第12章動(dòng)量矩定理1. 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩指點(diǎn)對點(diǎn)0的動(dòng)量矩失在z軸的投影，等于對z軸的動(dòng)量矩

32、，即Lo(mv)=Lz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn) O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一點(diǎn)0的動(dòng)量矩的矢量和.即:Lo= Lo(mv)2. 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對于轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的裝動(dòng)慣量與角速度的乘 積.(Lz=wJz)3. 平行軸定理：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.4. 動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力對同一點(diǎn)的例12-2 :已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量都為m,圓盤半徑為R,桿長3R，求擺對通過懸掛點(diǎn)0并垂直于圖面的Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 擺對Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz=Jz 桿 +Jz 盤 桿對Z

33、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1 1Jz 桿=ml 2= m ( 3R)2 =3mR 2圓盤對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1Jzc2= mR 2利用平行軸定理133Jz盤=Jzc2+m ( R+l 2)= mR 2+16mR2= mR2所以3339Jz= Jz 桿 +Jz 盤=3mR 2+ mR2= mR 2例12-3 :質(zhì)量為M1的塔倫可繞垂直于圖面的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，繞在塔輪上的繩索于塔輪間無相對滑動(dòng)，繞在半徑為r的輪盤上的繩索于剛度系數(shù)為k的彈簧相連接，彈簧的另一端固定在墻壁上，繞在半徑為R的輪盤上的繩索的另一端豎直懸掛質(zhì)量為M2的重物。若塔輪的質(zhì)心位于輪盤中心 O，它對軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jo=2mr,R=2r,M仁m,M2

34、=2m.求彈簧被拉長 s時(shí)，重物M2的加速度。解 塔輪做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)該瞬時(shí)角速度為w,重物作平移運(yùn)動(dòng)，則它的速度為 v=Rw,它們對O點(diǎn)的動(dòng)量矩分別為 Lo1， Lo2，大小為Lo仁-Jo w=-2mr2 w , Lo2=-2mR2w=-8mr2 w 2 系統(tǒng)對O點(diǎn)的外力矩為Fi (可MO () =F r-m2g R=ksr-4mgr"Fi根據(jù)動(dòng)量矩定理.-L0=工M0 (d w得 10mr2 | =(4mg-ks)ra =汁=4mg - ks 因重物的加速度 a2=Ra，所以：a2=Ra = 第13章動(dòng)能定理1. 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力所做元功的和，這就是質(zhì)點(diǎn)系

35、微分形式的動(dòng)能定理.(13-23)2. 質(zhì)點(diǎn)系積分形式的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能的改變量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力在這一過程中所做的功的和.(13-24,13-25)3. 力的功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度大小的乘積(13-28)4. 作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功率等于該力堆轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積.(13-29)5. 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在指點(diǎn)系上所有力的功率的代數(shù)和(功率方程13-30)例13-5 :重物A和重物B通過動(dòng)滑輪D和定滑輪C而運(yùn)動(dòng)。如果重物 A開始時(shí)向 下的速度為v0,試問重物A下落多大距離時(shí)，其速度增大一倍。設(shè)重物 A和B的質(zhì)量均為 m1，滑輪D和C的質(zhì)量均為

36、 m2，且為均質(zhì)圓盤。重物 B于水平間的動(dòng)摩擦因數(shù)位 f,繩索 不能伸長，其質(zhì)量忽略不計(jì)。解 以系統(tǒng)為研究對象。系統(tǒng)中重物A和B作平移，定滑輪C做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)滑輪DvO 做平面運(yùn)動(dòng)。初瞬時(shí)A的速度大小為vO,則滑輪D輪心的速度大小為 vO,角速度為3 D=;2v0定滑輪C的角速度為3 c=??；重物B的速度大小為2v0。于是運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為111 1vO 1 12v01vO2T1= m1v02+ m2v02+ ( m2rD2)(D 2+ ( m2rC2)(_) 2+ m12v0 2=(10m1+7m2)速度增大一倍時(shí)的動(dòng)能為T2=t (10m1+7m2)設(shè)重物A下降h高度時(shí)，其速度增大一倍。所有的力所做的功為Wn 刀 =m1gh+m2gh-f 'm1g 2h=m1g(1-2f