直線與雙曲線位置關(guān)系典例精析

1、直線和雙曲線的位置關(guān)系、要點(diǎn)精講1直線和雙曲線的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離2 弦長公式:則RP2設(shè)直線 y=kx b交雙曲線于Pi xi, yi ， F2 X2,y2 ，Xi x? i+k =*i+k "兀;(x + X2 ) 4x X2 ,或RP2=yi1曲1 k2 31!、yiy2 2 -4yiy2 k = 0 .k二、基礎(chǔ)自測1經(jīng)過點(diǎn)p2,2且與雙曲線枝-宀僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有(A) 4 條(B) 3 條(C) 2 條(D) 1 條選匚知田所長過p<專與雙曲純也祈一牛必黑點(diǎn)的n賤有總瓠2 22. 直線y= kx與雙曲線4xy =16不可能()i 7=壯 4-x2

2、_至=16亦苦時(shí)直蝶與凰曲煙梱離；古4-iL>0,時(shí)* 方耘有西怡不抑尋朮僅.此吋寶蛛與墳也賤朗交JL有刊*處攜伍.(A)相交(B)只有一個(gè)交點(diǎn)(C)相離(D)有兩個(gè)公共點(diǎn)3 過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與雙曲線的實(shí)軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線2 2仏-仝 i的通徑長是i6 999(A)(B)42(C) 9(D) i0選E就曲線士一士 =1的焦點(diǎn)坐標(biāo)A(0,±5). io yj=5時(shí)口=±訃此時(shí)通題恢為亍.由振與系轍的關(guān)系，擇口+芯=一普乩0助=-佰一£-f-fi所味弦暫4若一直線l平行于雙曲線的一條漸近線，則I與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為應(yīng)注意直線與雙曲線不是解

3、：與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),相切2 2機(jī)據(jù)遞童扣直址方強(qiáng)為.y=2U-4),代入戰(zhàn)曲底分一=乩 潯3-32+72=0,設(shè)趟幄命刑対工“軌.斛破就礙戰(zhàn)找齢式的5.經(jīng)過雙曲線x-y-8的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線被雙曲線截得的線段的長d = yn iE I x： - xj i J +21、寸冊，_=4,:占-卑、訊丄超耳幾貞踐£藥方程為=2雷土警3i4三、典例精析題型一：直線與雙曲線的位置關(guān)系k的取值范圍.有兩個(gè)公共點(diǎn)2 21.如果直線y二kx-1與雙曲線x-y-4沒有公共點(diǎn)，求呢？昨析】叫二;嚴(yán)口 一護(hù)心十甌17 r R】_護(hù)工0£和的機(jī)值"+

4、S.¥解析】直規(guī)勻理曲蠅有西十屜無雖.方程口一譽(yù)4溫工一5工0 :T兩牛車相確突粗 ” |'_護(hù)邦*'"護(hù)+20門一TOO啊-豎Ch<且去尹土 1.Kk解，所以 = （）2 一4 =0 ,所以一a2. （2010安徽）若直線y= kx+ 2與雙曲線e且?guī)臿 a :ax2 y2= 6的右支交于不同的兩點(diǎn)，_5，故選D.則 k的取值范圍是（）人沖沖B. O'"!y= kx+ 2,2 2解：由得(1 k)x 4kx 10= 0,x2 y2= 6代21-k 式0也=16k2 4(1 k2 F(T0 )>0«'八，解得為

5、 + x2 > 0<k< 1._ 2 23、過點(diǎn)p（d5）與雙曲線x7吆可有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。解：若直線的斜率不存在吋，則"尸，此時(shí)僅有一牛交點(diǎn)（f.g 滿足條件$若直線的斜率存在時(shí), 設(shè)直線的方程為§ =片（兀-+）則孑二心+厶-丘尸，2 -（虹十1、252-+5-)3 =x25p (25-)za-7x2jtx(5-77)+(5-tV7)2-x25 = 0(時(shí)，方程無輒不滿足條件辛當(dāng)k =-學(xué)時(shí),2x5V7xxlO = 5方程有一解*滿足條件匸當(dāng)p時(shí),-A = 1U（5 -4（25-7）（5-k毎-啊=0,化簡得|氐無孤

6、所以不滿足條件*所以滿足條件的直線有兩條x = 7和y 苗兀十1叭題型二：直線與雙曲線的相交弦問題24. 過雙曲線x2 - 丫 1的左焦點(diǎn)Fi，作傾斜角為一的弦AB，求AB : F2AB的周36由ES惟曲比駐冏性質(zhì)押I AFt | = a) =4i t-ii 1 2x,|BFe |=ffx； flEji L» AFfBF1 = 2xl+2"=2 /(jtj +jCi)£-4j：Fi（-2bO）+Ft<2,0）.宜疑柚才狂出 y-=弩"4刀 h長（F2為雙曲線的右焦點(diǎn)）。7 mm. 丄I心*刃十百 至"LM= 一苜方辿一j |AB| - *

7、3 +亞尸一*工|衛(wèi)3,方屋二拒槌圓惟曲抵的共同性威捋|BFL|=«+=l+ieI<|AFj I = _，5十綁*_ J-2j：i ,屛 IABI-I BE! II -|AF I =】4細(xì) T -1-紐)= 2，s/(y>1-4X(-y )=3/3.gFAB的捌歩為3+5 A Z+ZC jl十更* =亂A（2,1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.5.已知雙曲線方程為3x2 - y2 =3，求以定點(diǎn)方法一:星薦it丸住軒命不爭蠱的直減不蒜合畚件. yL ifi 2） 3-y=3*o：垮一釘護(hù)+atu-2O*+（1 -a>*+1-0 技嵌的丙昴盍潔CCri,少hlXii *黑

8、j劇航+衛(wèi)一二訣門一決）M題意航斗吧=4,血翌=4用按內(nèi)=£代人有0皿3X3t>6 兩說所莊JL戰(zhàn)才涯為>-1=6Ce-2）Xf6lz-y-13-0,曲二戒竝月億L冊直線與就由理2脊"3祖氐于尸3人0（業(yè)小常乩 則 I蘭 ¥ 3t»<S1哺-曲=自_普百一刃=4.戶+=2抿片沫坪學(xué)二¥-6,申&垃r乩工 JT工期比規(guī) M妁方然為 Cx->-l=O 4| r=2 代人 3/-7=3.4| y±i.席巨4（21覇取曲堆的內(nèi)彈.*U± A的直風(fēng)矗起與皿幗毘和更.眥五所求杓jt疏球牡為6t-j-）1

9、= 0.解圓錐曲線與直線相交所得的中點(diǎn)弦問題，一般不求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，而是利用根與系數(shù)的關(guān)系或“平方差法”求解.此時(shí)，若已知點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部,則中點(diǎn)弦一定存在，所求出的直線可不檢驗(yàn)， 若已知點(diǎn)在雙曲線的外部，中點(diǎn)弦可能存在,也可能不存在，因而對所求直線必須進(jìn)行檢驗(yàn)，以免增解，若用待定系數(shù)法時(shí)，只需求出k值對判別式 >0進(jìn)行驗(yàn)證即可.6.雙曲線方程為3x - y =3.問：以定點(diǎn)B（1,1）為中點(diǎn)的弦存在嗎？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，請說明5 設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且PA 5 PB，求a的值。12理由.設(shè)迂li(】)的£L蜒-號粗.曲踐Sj2 丫柯更于

10、:訶旳卩)1 Ng ,孫灣盍、叫爲(wèi)二兩戎相霍脊3工】+口(陽十漳X.V* -腫)=。芫為賤稅5£¥的中蠱，期有礙+為=趴力+抽“眾我人捋也二=其即艮辭=3+剛屯鍵MR的方賽芳3Lr-y-=O. 苕比丈丑蠱規(guī)曲線的附辭.敵要檢腔財(cái)斗是否與吐曲塔赳交.將 $=3ur-2 北人妙一於u乩強(qiáng) Gj-E2jt+了0, Vi- 24<0.最直嫂與蔽歯踐無 屯也*從而以力血蠱的強(qiáng)不再在.7、已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)Ai,A在X軸上，離心率為 一21的雙曲線經(jīng)過點(diǎn) P(6,6)3(I)求雙曲線的方程;(n)動(dòng)直線I經(jīng)過：AiPA2的重心G ,與雙曲線交于不同的兩點(diǎn) M , N，問是否存在

11、直線I使G平分線段MN。試證明你的結(jié)論。解(I) i殳所求的颶曲線方程揃三-哄1且颶曲躺過點(diǎn)P(6.6), . .j曲線方程為蘭丄=” a b13912g由條件只珂.4的坐標(biāo)分別為(氐6卜(-10)心0), :.G點(diǎn)坐標(biāo)為(1.1假設(shè)存在直御使G(2平戕段MN, iM,N的坐標(biāo)分別為宓-吠=10S(1)12xJ=辺呂-,(2)- (2)得 I2(x?-xj) = 9。； - #)(孔 +叨(旺-兀)=9例 + 兒)(>i-形)又寧 7呼7即牛屯=5乜=心心¥=艱 X| -Xj 32-" =1儲(chǔ)4整理得*k + 22 0$_2=亍(工-耳.Jy(X-2)由A<0.

12、所求直線不存耳題型三：求雙曲線方程8.已知焦點(diǎn)在 x軸上的雙曲線上一點(diǎn) P，至U雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為4和8,直線y = x - 2被雙曲線截得的弦長為 20、. 2，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y-j：2J 5!J詢給吋-«.3=2.可我時(shí)疑的歩準(zhǔn)方鮎十一卡=1孫臥叫£ # = 楫(靜一41F +1 觸一茁一夠=0. $4H0；FH4,歿秋=202-2 /(r, -if-)1/町 + 巫尸一勒燈庇,轄廿+勲h_ #號+衛(wèi)曲三一I寺乳入上丸'耳曲F=£蠱弓"二幷理彊曲咸方程為呂一看=蟲¥-普土L29、設(shè)雙曲線C :- y2 = 1 a 0

13、與直線I : x y =1相交于不同的點(diǎn) A、B.a求雙曲線C的離心率e的取值范圍;22+ 2a2X 2a2 = 0 由題設(shè)條解：（1）將y= x + 1代入雙曲線X y2= 1中得（1 a2）xa件知,21 a 工04a4 + 8a21 a2>0，解得 0<a< ,2且a工1又雙曲線的離心率e=三a1a2+1,-0<a<寸2且 a1且 2.設(shè) A(X1, y1), B(X2 , y2), P(0,1)./ PA=尋PB,5 X, yr 1) = 12(x2, y2- 1).X15_=石X2,収1、X2是方程的兩根，且1 a2M017石5X2=芻，722a21?，

14、171?迂覽曲竝才="=】 Gn>o»l） *右*.蟲H匕冊.#中芒=U!代,1心CL 護(hù) 十l請占y爭射J? +晁3 - f孤訂封護(hù)）Q ££ 3u：工仇否M址曲箜只有申文&肩合戛氐不如t PU蟲如皿市血<禺+鏟薩宙（TJ.嘉Fa直知=肩心）上一衛(wèi)岳-阡琳 R * =¥ Cji -f）（斗一日二 g X1Xi -f（JL +期）+ F j3JOQ丄日広幷必工;工：.陽 8i：3r（j| + z；）+3r-ft, *雪加+加# 一孫點(diǎn)丄射H雞IE輕'4 趴陽心癥 也入蠱卡能 J J# 4=J14孚 * 1 j：i4

15、ji it * 有 d h # 工所拠所求煩曲蜒呀呂州仝一£=】一消去 X2得,289，- a>0, a=-1 a 6010.已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1 -c,0 , F2 c,0 ,過F2且斜率為、3的直線交雙曲線于 P、Q 5求雙曲線方程。兩點(diǎn)，若OP OQ（其中O為原點(diǎn)），PQ = 4,11.雙曲線的中心為原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為I, 12，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交h,2于A B兩點(diǎn).已知 OA、AB > Ob 成等差數(shù)列，且BF與fA同 向.求雙曲線的離心率;設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為 4,求雙曲線的方程.由勾股定理可得：(I )設(shè) O

16、 A m d AB=m , OB = m+d(m -d)2 - m2=(m d )2得：d m ,4tan ZAOF = b , tan.£AOB = tan2.£AOF 二 竺 aOA_4_ 3由倍角公式2ba 4b1解得，則離心率3a2(n )過F直線方程為ya=-b(x -c),與雙曲線方程1 聯(lián)立，將 a=2b, c = 5b代入,將數(shù)值代入,% _x2 =朮即"4如有4 =528 b2故所求的雙曲線方程為3612、2 2已知雙曲線 字一by2= 1(b>a>0), O為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率e= 2,點(diǎn)M( ,5，3)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方

17、程；(2)若直線I與雙曲線交于 1 1p,q兩點(diǎn)，且op oq =0.求|opp+©QI22 2x丄=1。9的值.2 2x y 解：(1)：e= 2,/c= 2a, b2 =(C 才=3a2，雙曲線方程為 2= 1, 即卩 3x2 y2= 3a2.a 3a/點(diǎn)M( 5,3)在雙曲線上， 15-3 = 3a2. /a2= 4.2 2所求雙曲線的方程為x 2= 1.2 2 x y(2)設(shè)直線OP的方程為y= kx(kz 0),聯(lián)立-匕=1,得123_k222212k+12OPj x2+ y2 =.貝 U OQ 的方程為12k23 k3-k212 1 12 k2同理有OQ |2=3 15+

18、 1 ) 1 1 = 3k27，麗?+阿=2 2 23 k + 3k 12+ 2k212 k + 1212 k + 116.2y2= 1.(1)過Cl的左頂點(diǎn)引Cl的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角13. (2012上海)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知雙曲線 6： 2x2形的面積;設(shè)斜率為1的直線I交Ci于P、Q兩點(diǎn)若I與圓x2 + y2= 1相切，求證:0P 丄 OQ;設(shè)橢圓C2: 4x2+ y2= 1若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且0M丄ON ,求證：0到直線MN的距離是定值.解:2x 2(1)雙曲線G ：1 - y 1，左頂點(diǎn)A2,0 ，漸近線方程為:2丿

19、y= ± 2x.過點(diǎn)A與漸近線y= ,2x平行的直線方程為，即y= _2x+ 1. L 丘 i y = -V2xy =-解方程組 ，得y = 12 x 1所求三角形的面積為1 2s= 2|0A|y|= 8 .2.(2)證明：設(shè)直線PQ的方程是y= x+ b,直線PQ與已知圓相切， |b2 = 1，即b2 =y = x b由 2x21得 x2 2bx b2 1 = 0.【 + x2 = 2b設(shè) P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則 x1X2j_b2又 yiy2= (xi + b)(x2+ b),-OP OQ = x1x2 + y1 y2= 2x1x2 + b(X1 + X2) +

20、 b = 2( 1 b) + 2b + b = b 2 = 0. 故OP 丄 OQ.訂23證明：當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，|ON|= 1, |OM|=2"，則O到直線MN的距離為 牙.當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線 ON的方程為y= kx(顯然k -2),的直線I被雙曲線x -4y =60截得的弦長AB =8. 2，求直線I的方程.則直線0M的方程為4 k2k24 k21y=kxxy= / 由/22彳得tk4x + y =12設(shè)O到直線MN的距離為d.21 + k|ON| = 4+.同理 QM= 2k2_ 1.2 (|OM |2 + |ON|2)d2= |OM BONI2, 111

21、3k +3 卄 3孑=|OM|2+ |ON|2= k2+ 1 = 3'即 d = T.綜上，O到直線MN的距離是定值.五、能力提升2 21.若不論k為何值，直線y=k(x-2)+b與雙曲線x-y =1總有公共點(diǎn)，貝U b的取值范圍是( )(A)(-J3,3)(B)-打,3(C) (-2,2)(D)匚2,2】2.過雙曲線x22-專=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l有()(A)1 條(B)2 條(C)3 條(D)4 條3.過點(diǎn)P/_ 1, _b、x2|的直線l與雙曲線 2 a丿a2-每=1(aA0,b>0疽且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， 且這b個(gè)公共點(diǎn)恰是雙曲線的左頂點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長等于()(A)2(B)4(C) 1 或 2(D) 2 或 42 24.已知雙曲線 篤-£ =1a 0,b 0的右焦點(diǎn)為F,若過