第二類曲線積分的計(jì)算

1、第類曲線積分的計(jì)算作者：鐘家偉指導(dǎo)老師：張偉偉摘要:本文結(jié)合第二類曲線積分的背景用定義的方法進(jìn)行第二類曲線積分的計(jì)算，重點(diǎn)是利用對稱性，參數(shù)方程，格林公式斯托克斯公式以及兩類曲線積分之間的聯(lián)系對第二類曲線積分進(jìn)行計(jì)算。關(guān)鍵詞： 第二類曲線積分二重積分參數(shù)積分 對稱性原理斯托克斯公式第二類曲面積分1 引言本文介紹第二類曲線積分的定義以及與兩類曲線積分之間的聯(lián)系，重點(diǎn)介紹若干種主要的計(jì)算方法。1.1 第二類曲線積分的概念介紹了第二類曲線積分的物理學(xué)背景，平面和空間第二類曲線積分的定義以及對坐標(biāo)的第二類曲線 積分的定義。1.2第二類曲線積分的計(jì)算方法介紹了關(guān)于第二類曲線積分的參數(shù)計(jì)算法，利用格林公式

2、和斯托克斯公式計(jì)算的方法以及利用對 稱性簡化或計(jì)算的方法。2.1第二類曲線積分的物理學(xué)背景力場F(x, y) h.p(x, y) , Q(x, y)沿平面曲線L從點(diǎn)a到點(diǎn)b所作的功一質(zhì)點(diǎn)受變力 F x, y的作用沿平面曲線L運(yùn)動，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從L之一端點(diǎn) A移動到另一端 B時(shí)，求力F x, y所做功W.大家知道，如果質(zhì)點(diǎn)受常力F的作用從A沿直線運(yùn)動到B,那末這個(gè)常力F所做功為W=FAB.現(xiàn)在的問題是質(zhì)點(diǎn)所受的力隨處改變，而所走路線又是彎彎曲曲.怎么辦呢？為此，我們對有向曲線L作分割T =A0, A“，An,即在AB內(nèi)插入n 1個(gè)分點(diǎn)M1,M 2,M n4,與 A = Mo,B =Mn 一起把曲線分

3、成n個(gè)有向小曲線段 M i4M i (i =1, 2，n),記 小曲線段 MyMj的弧長為0.則分割T = A0 , A1,An 4, An的細(xì)度為 T =”巴二0.設(shè)力F x, y在x軸和y軸方向上的投影分別為P(x, y)與 Q(x,y),那么 F x, y = P(x, y),Q(x, y)二 P(x, y)i Q(x, y) j 由于 M 匸(人，yi)，Mi(Xj,yJ 則 有向小曲線段 MjMj (i =1,2，n)在x軸和y軸方向上的投影分別為LXj=Xj-Xjj與匚y= yy, j.記Lmm =(厶x,'y)從而力F x,y在小曲線段MM,上所作的功 Wi ： F，J

4、Lm，= P i, i x,+Q i,與其中(i, j )為小曲線段M iMi上任一點(diǎn)，于是力F x, y沿L所作的功可近似等于 nnnWj八 Wj 八 P(Sj, J% V Q(s, iy：yi當(dāng)T|0時(shí)，右端積分和式的極限就是所求的功.這種類i 4i =1i 4型的和式極限就是下面所要討論的第二型曲線積分2.2第二型曲線積分的定義設(shè)P(x, y) , Q(x,y)為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線Lab上的函數(shù)，對Lab任一分割T ,它把Lab分成n個(gè)小弧段MMj (i =1,2，n)；其中A=M0,B=Mn.記各個(gè)小弧段 MM,弧長為 g,分割T 的細(xì)度為 T = mS,又設(shè)T 的分點(diǎn)的

5、坐標(biāo)為 M/xi,),并記i丄衛(wèi)xj =Xj - Xj， 濁 d，(i =1, 2，n).在每個(gè)小弧段 M jM j上任取一點(diǎn)i. -j, j ,若極限存在且與分割T與點(diǎn)j, j的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù) P(x, y) , Q(x,y)在有向線段Lab上的第二類曲 線積分，記為P(x, y)dx Q(x, y)dy或P(x, y)dx Q(x,y)dyLAB也可記作P(X, y)dx Q(x, y)dy 或 P(x, y)dx Q(x, y)dyLLABAB 注：(1)若記F x, y = P(x, y), Q(x, y) , ds =!dx,dy則上述記號可寫成向量形式:F ds .l(

6、2)倘若L為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線，P(x, y, z) , Q(x, y, z), R(x, y,z)為定義在L上的函數(shù)，則可按上述辦法定義沿空間有向曲線L的第二類曲線積分，并記為按照這一定義，有力場F (x, y) = P(x, y) , Q(x, y)沿平面曲線L從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功為W Pdx Qdy.第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性.對二型曲線積分有，定積ABJABBA分是第二型曲線積分中當(dāng)曲線為x軸上的線段時(shí)的特例.可類似地考慮空間力場F(x,y,z)二P(x,y,z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)沿空間曲線Lab所作的功為空間曲線Lab上的第

7、二型曲線積分ABP(x, y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x, y, z)dz.2.1對坐標(biāo)的第二類曲線積分的概念設(shè)函數(shù)在平面P(x，y)上的一條光滑(或分段光滑)曲線上有定義且有界，用分點(diǎn) Mi(Xi,Y)(i =°,12llln)將曲線L從起點(diǎn)A到B分為n個(gè)有向小弧的長度 WiGh，作和式nn' P( i, i) X(Xi-Xi)一 maxlimP( i - »Xi =1i。記 1丄巴，若極限 -v存在，且對曲線l的分點(diǎn)及點(diǎn)的選取方式無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)P(x,y)按從A到B的方向沿曲線L對坐標(biāo)x的曲線積分，記作的曲線積分記作nP( x, y)dx 1

8、 m iP (C i)XL'，其中P( x，y )稱為被積函數(shù)，L稱為被積路徑，對坐標(biāo)的曲線積分也稱之為第二類曲線積分。類似的，設(shè)函數(shù) Q(x，y)在xy平面上的一條光滑(或分段光滑)曲線 L( AB)上有定義且有界。若對n(產(chǎn) n )IjmQ(q -牛疋丫于L的任意分法和(i, i)的任意取法，極限都存在且唯一，則稱此極限值-V為函數(shù)QQ(x, y)dyP(x, y)dx(x，y)按從A到B的方向沿曲線L對坐標(biāo)Y的曲線積分，記作Ll2. 2第二類曲線積分的參數(shù)計(jì)算法首先要弄清楚兩類積分的定義，簡單地說，第一類曲線積分就是第二類曲線積分就是,P(x, y)dx Q(x, y)dyP(

9、i,i) 3i Q( i, i '7i(1)總是正值；而第二類曲線積分和積分和中是乘的一段弧的x, y坐標(biāo)的增量也= x - x，人 = % - yi_j凸Xi與凸yi是可正可負(fù)的。當(dāng)積分的路徑反向時(shí)，凸Si不變，而 3，心yi反號，因此第一類曲線積分不變而第二類曲線積分反號，在這一性質(zhì)上，第二類曲線積分與定積分是一樣的。計(jì)算曲線積分的基本方法 是利用的參數(shù)方程將其轉(zhuǎn)化成定積分，但兩類曲線積分有些不同。設(shè)曲線I的參數(shù)方程為則第一類曲線積分的計(jì)算公式為這里要注意 '乞：，即對t的定積分中，下限比上限小時(shí)才有 dt 0，也就有dt =dt，這樣才有上述計(jì)算公式。這個(gè)問題在計(jì)算中也要

10、特別注意。沿1上的點(diǎn)由A變到B,即t的下限對應(yīng)曲線積分的起點(diǎn) A,他的上限：對應(yīng)曲線積分的起點(diǎn) A，t的上限：對應(yīng)終點(diǎn)Bo在計(jì)算中總要用到曲線的參數(shù)方程，這里列出一些常用曲線的參數(shù)方程。橢圓的參數(shù)方程為有些較簡單的曲線可取x或y為參數(shù)，即可由直角坐標(biāo)方程。例如，直線“ax b，取可由直角坐標(biāo)方程得出參數(shù)方程。例如，直角y =ax b，取x為參數(shù)，參數(shù)方程即為3線段AB的參數(shù)方程為AB(x2 y2)ds = 0(x2 (1 -x)2)、一 2dx線段OB的參數(shù)方程為(x2所以L"ds 丄 H j 乩113333（2 ）這是第二類曲線積分。在這個(gè)例子中，必須注意第一類曲線積分與第二類曲線

11、積分的不同處理方法，尤其是方向性 問題。2.3利用格林公式計(jì)算第二類曲線積分設(shè)d是由分段光滑的曲線1圍成的連通有界閉區(qū)域，函數(shù)P（x，y），Q（x，y）在其上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有格林公式其中1取正向。格林公式建立了第二類曲線積分也二重積分之間的聯(lián)系。凡是建立了兩個(gè)重要概念的聯(lián)系的公式都是極為重要的，格林公式正是這樣的公式。在討論曲線積分與路徑無關(guān)問題中，在許多公式的推導(dǎo)中，在曲線積分的 計(jì)算中，格林公式都是很重要的工具。這里再列舉兩個(gè)計(jì)算曲線積分的例子。0i ' LX軸的線段BA而成為封閉曲線例2.用格林公式計(jì)算例1中（2）的第二類曲線積分。解：顯然，這個(gè)積分滿足格林公式的條件。用

12、格林公式，這比例i中的解法簡單一些。例3.計(jì)算第二類曲線積分其中1為從A（ -2,0 ）到B（ 2,0）沿橢圓的上半部分的曲線。解：1不是一條封閉曲線，不能直接用格林公式。增加沿此題重點(diǎn)提到的是針對于非封閉曲線如何利用格林公式通過補(bǔ)形的方法將第二類曲線積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為 重積分的計(jì)算。2.4利用對稱性計(jì)算第二類曲線積分定理i 設(shè)L為xoy平面上關(guān)于x軸對稱的一條有向光滑曲線弧，其方程是一雙值函數(shù)，設(shè)為y = y（ x）, （a空x乞b）°記Li，L2分別為l位于x軸的上半部分與下半部分，Ll，L2分別在上的投影方向相反，函數(shù)P（x,y）在L上連續(xù)，那么1）當(dāng)P（x, y）關(guān)于y為偶函數(shù)

13、時(shí)，則2）當(dāng)P（x, y）關(guān)于為奇函數(shù)時(shí)，則證明：依定理?xiàng)l件不妨設(shè)J ： y = y(x)從點(diǎn)a變到點(diǎn)bL2 ： y = -y(x)從點(diǎn)b變到點(diǎn)aP(x, y)dx = ( P(x, y)dx + P(x, y)dx =于是由對坐標(biāo)曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算方法有*2故1)當(dāng)P(x, y)關(guān)于為偶函數(shù)時(shí)，有2)當(dāng)P(x, y)位于為奇函數(shù)時(shí)，有f Q(x, y)dy注1 對于丄有定理i的結(jié)論注2 定理1可用兩句口訣來簡言之，即“反 對偶零” “與反 對奇倍”。其中“反”指在軸上的投影方向相反；“對”指關(guān)于軸對稱；“偶”指被積函數(shù)在上關(guān)于為偶函數(shù)；“零”指曲線積分的結(jié)果等于零?？谠E“反對奇倍”涵義類似

14、解釋。關(guān)于曲線積.LP(x, y)dx分還有另一個(gè)對稱性的結(jié)論是定理2 設(shè)為平面上關(guān)于軸對稱的一條有向光滑曲線弧，其方程為y二y(x)，( -a乞x空a)，記Li，L2分別L為位于y軸的右半部分，li，L2分別在x軸上的投影方向相同，函數(shù)P(x,y)在L上連續(xù)，那么1) 當(dāng)P(x, y)關(guān)于x為奇函數(shù)時(shí)，則2) 當(dāng)P(x，y)關(guān)于x為偶函數(shù)時(shí)，則證明：依定理?xiàng)l件不妨設(shè)L1 ： y二y(x)從點(diǎn)0變到aL2：y=y(x)從點(diǎn)一a變到 0(a>°).于是由對坐標(biāo)曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算方法有對右端第2個(gè)積分，令x二-1，有因此有故1)當(dāng)P(x，y)在l上關(guān)于x為奇函數(shù)時(shí)，有 2)當(dāng)P(

15、x，y)在L上關(guān)于x為偶函數(shù)時(shí)，有注1對于lQ(X，y)dy有類似2的結(jié)論。注2定理1與定理2雖然都是對坐標(biāo) X的曲線積分，但定理 1中積分曲線弧的對稱性及其投影都是針對 X軸 而言的，而定理 2積分曲線弧的對稱性及其投影是分別針對y軸和x軸而言的。另外，被積函數(shù) P(x,y)的奇偶性也是分別針對不同的變量而言的，故定理2的結(jié)論恰好與定理 1相反，定理2用口訣簡言之是：“同 對奇零倍”。其中“同”指 L1丄2分別在X軸的投影方向相同，“對”指L關(guān)于y軸對稱“奇”指被積函數(shù)P(x，y)關(guān)于X為奇函數(shù)，“零”指曲線積分結(jié)果等于零“同對 偶 倍”的涵義類似解釋。例4計(jì)算"=以皿.其中l(wèi)為拋

16、物線/ =x從點(diǎn)A(1，-“到B(1,1)上的一段弧。1=2 xydx = 2 xVdx =- 解：以題設(shè)條件知，該曲線積分滿足定理 1中“反 對 奇 倍”的結(jié)論，故有L05，其中，L1 ： y =、X，X從點(diǎn)0變到1.2 2 2例5計(jì)算IL(xr)dx-(x y sin y)dy其l為x2 ya2(a 0)按逆時(shí)針方向從點(diǎn)A(a,O)到點(diǎn)B(-a,O)的上半圓周。2 2 2 2解可將原式改寫為 3個(gè)曲線積分的代數(shù)和，即I 二 l(x y )dx -2 l xydx - : (x y sin y)dy依題設(shè)條件分析知，等式右端第一、第二、第三個(gè)曲線積分依次滿足定理2中“同 對偶倍”、“同對奇零

17、”及及定理1的注1中“反 對偶 乘零“的結(jié)論，故有其中，Lry.a x ， x 從點(diǎn)a變到0.2.5 利用斯托克斯公式計(jì)算第二類曲線積分斯托克斯(Stokes)公式建立了沿空間雙側(cè)曲面S的積分與沿S的邊界曲線L的積分之間的聯(lián)系。在介紹下述定理之前，先對雙側(cè)面S的側(cè)與邊界L的方向作如下規(guī)定：設(shè)有人站在S上指定的一側(cè)，若沿 L行走,指定的側(cè)總在人的左方，則人的前進(jìn)方向?yàn)檫吔鏛正向；若沿L行走，指定的側(cè)總在人的右方，則人的前進(jìn)方向?yàn)檫吔缇€L的負(fù)向，這個(gè)規(guī)定方法也稱為右手法則，如下圖所示。定理3設(shè)光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線，若函數(shù) P,Q,R在S (連同L)上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則二

18、 Q Pdx Qdy Rdz(2)其中S的側(cè)面與L的方向按右手法則確定。公式(2)稱之此公式為斯托克斯公式；:z由于為cos :cos ,從而蘭dzdx-蘭dxdyPdx,證明：先證 S acy（ 3）其中曲面S由方程z =z（x, y）確定，它的正側(cè)法線方向數(shù)為l-Zx-Zy，1 ,方向余弦為cZ _ cosa <Z _ cosBcosa,cosB,cosY，所以 玄 _ cos Y，石 _ _ cosY '若S在xy平面上投影區(qū)為 Dxy，L在xy平面上的投影曲線記為】，現(xiàn)由第二類曲線積分定義及格林公式有-P(x, y, z(x, y)H Z 因?yàn)閥-y、z yP :P jzP(x, y, z(x, y)dxdy - -()dxdy所以D 創(chuàng)d 綱 乾綱xyxy衛(wèi) dydz RS :x:zdydz = ( Rds(5)綜合上述結(jié)果，便得所要證明的（3）式。同樣對于曲面S表示x = x（y,X）和、二y（乙X）時(shí)，可得Hdxdy - 色 dydz =|J Qdy(4)S txcz上L將（3）、（ 4