線性代數(shù)習題集

1、太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）判斷題（正確打"，錯誤打X）1. n階行列式aj的展開式中含有ail的項數(shù)為n-1.（ X ）正確答案：5-1）!解答：方法1因為含有a11的項的一般形式是a11a2j/* anjn ,其中j2j3jn是n-1級全排列的全體，所以共有（n-1）!項.方法2由行列式展開定理a11321a1231n32232na11A11312人2a1nA1n ,a n1a n2a nn而 a12A12a1nA1中不再含有an , 而An共有（n-1）!項，所以含有an的項數(shù)是(n -1)!.注意：含有任何元素aj的項數(shù)都是（n-1）!.2.若n階行列式aij中每行元素之

2、和均為零，則aj等于零.（V ）解答：將311a1231na21a22a2n中的2、刖、n列都加到第一列，則行第15頁3 n1 3 n2ann列式中有一列元素全為零，所以aj等于零.3.00b400b1a2 b20b3 a3000 a4aibia2b2b4a4b3a3解答：方法1按第一列展開a1000a2bz0b3a3b400a4-aia4a2a1a4bia2a4 b3a3方法2交換2, 4列，再交換2, 4行方法 3 Laplace展開定理：設在n行列式D中任意取定了k（1乞k "-1）個行，由這k行元素所組成的一切k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式 D所以按2, 3行

3、展開a100b10a2b200b3a30b400a42 3 2 3=(-1)bi a2 a4 b3bi a? bz a4 b3 a34.若n階行列式aj滿足aj =Aj , i, j =1,2,n ,則aj蘭0.( V)ai00biaibi00aibi000a2 b2000b2 a2b4a400 _aibia2 b20b3a3000 a3ba00aabab4a4baaab400 a4b4a40000 b2 a2解答：由行列式展開定理ai1 ai2aina2ia22八a2n A A A « A Aa n1 an2a nn-ai1A11' ai2 A12+3lnAn2 2 2-a

4、iiai2ain -5.若n階行列式|aj|的展開式中每一項都不為零,則aj“O.（ X ）解答：反例如2.單項選擇題1.方程1=0的根為（B）iii-22x44x2-88x3(A) 1,2,3 ；( B) 1,2,-2 ;(C) 0,1,2 ；(D) 1,-1,2.解答：（范德蒙行列式）1111-2 244-8 8x2 x3 x=(-2-1)(2-1)(22)(x-1)(x2)(x-2) = 0,所以根為1,2,-2.aiiai2ai32aiiai3ai1 +ai22.已知a2ia22a23=a ,那么2a 2ia23a2i +a22a31a32a332a 31a33a31 +a32(D)(

5、A) a ;( B) - a ;(C) 2a ;(D) - 2a.解答:2ai1ai3ai1+ ai2aiiai3ai22a21a23a21=2a21a23a 22 = -2 a o2a31a33a31+ a32a31a33a323.已知齊次線性方程組 x y z = 0仏+3y-z=0僅有零解，則(A)一 y + Zz = 0(A) =0 且=1 ； ( B)二 0 或，=1 ； ( C) =0 ； ( D)& + y + z = 0解答：因為 扎x+3y-z=0僅有零解,:皿z 二 0所以11X11k3-1=02-20-10-1-y(2 -2) 0，所以二=0且.=1.4.下列行列

6、式中不一定等于'1 ' 2n的是(B)(A) -1a20' 200a1na2nn(B)ann(C)a2i(D)an1an2解答:、卜 、八注意0'2'1a2na nnn(n -1)=(-1) 2nJ05. n階行列式=(一1)2(-1)2、乜n =12（A）-；三.填空題（B）+；(C)(-1)2 ;(D)(1) 2x 十 y + z = aabc1.已知方程組x + y_z = b 有唯解,且x=1,那么1-11=4- y + z = c11-1n(n 1)n(n J)aj展開式中項 a1na2,n4a3,nan4,2an1 的符號為(D).11101

7、1解答：系數(shù)行列式D = i1-1 =01-1一4，1-112-11DiDiabca11a11所以1-11=b-11=b1-1=D1 = 4.11-1c1-1c-112. 已知4階行列式中第3行的元素依次為-1 , 0, 2, 4,第4行的 余子式依次為10，5, a,2則a二9 .解答：因為10-2a 8=0，所以a=9.n3. 若V為n階范德蒙行列式，f是代數(shù)余子式，則Aj二V. i,j 二 4.0001000200031000=120 .411012098765000010020解答：方法10310041101298760005-ai4a23a32a4ia55 = 120 解答：nn瓦

8、Aj = An + 人2 + + An + 工 Aj =v +0 二V . i,j =1i=2,j=10001000200方法203100041101209876500010020=5=-5031004110120 0 20310 = 5x 24 = 120 .4 1102x x 125.21 ；'則D的展開式中x3的系數(shù)為丄一11 x解答：D的展開式中有一項是 a12a21a33a44 = X .或者按第一行展開:2x131x1-111-11x-11x-1=2x2x1-x3x1+321-232x11x11x11x1112-11由此可以看出x3的系數(shù)為-1.四.計算題1.已知D10 1

9、2110 3，計算 A41A42A43At4 .1110-12 5 4解答：方法10 1 21031 1 01 1 11-10 0 21131 0 01 0 11 0 2 = 110020-1- -1.11方法2A41' A42-13=0 0所以A41A42-11 6-15020-54-2-2方法 3A41A42A43A44-5 - 2 7 一 1-1.22.計算行列式41114162-11650-640-300-5-120-5-2-252010-16-65-50-16=-2-15-6103.計算行列式-322409-262-3831-32350= 120-15解答:1-32 21-3

10、221-322一3409-340 90-5615=2=22 -2 6 21-13 10 2 1-13-3 833-3830 1 8 1218121812=-221-1=-20-15-25 = -50 .-5615046751-11X -111-1X +1-11 =X1X -11-11X +1-11-11-1-1X - 1-11X 111X - 1-1-1-11-11X-14.計算行列式1-1X+1-11X11-1X +1-11-1解答：（行和相等）1-11X -11-11X -100X-X0X0-X=X=-X0X0-X00X-X000-X000-X1a005計算行列式一11 -ab00-11_

11、bc00-1 1cX4.解答:1a001a001a001a00-11 ab001b001b001b0=10-11 -bc0-11 -bc001c001c00-11 c00-11 一 c00-11 _c00016.計算行列式a1 - ba2a3aia2ba3aia2a3an +b解答：（行和相等）aba2a3an1a2a3anaia2 + b a3ann=（b十送aj1a2 + ba3ani=1aia2a3an +b1a2a3an +b1 a?a3n=（b 二 ai）i=1n=（b 二 ai ）bn_1.i=i1222227.計算行列式223222222n解答:=2時:2 ；當n 2時：i行-2

12、行，i = 2得到122 2-100 0222 2222 2223 2;=001 0=-2（n 2）!222 n000 n-2太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)第18頁五.證明題x -12x -11.設 f (x)=x -23x -2，證明：存在 (0,1),使得 f (.x -3證明：因為f (0)二1-1-11011-2-2 =0， f (1)=1-111-3-31-214x3=0，所以 f (0) = f (1)，而(0,1)可導，所以由Rollef (x)在0,1上連續(xù)，在定理知存在.-(0,1),使得)= 0.2.證明當，=1時，行列式證明:5161714251617361714151

13、6516 175161714153617-3111011111-31110-31184011-3184001-31111-3011-3=0.5163.設a,b,c是互異的實數(shù)，證明1bb3二0的充分必要條件是證明：方法設 f(X)二1bb2b3x2x3，將其按第4例展開得到(X)= A4 + A4X + Aj4X2 + A44X3，由于f(a)二f(b)二f (c) =0，且a,b,c是互異的實數(shù)，由方程根與系數(shù)的關系知a b c 34，而 A44 = (c - b)(c - a)(b - a)，于是 A441 1 1a b c = M 34 = (cb)(c a)(ba) a+b+c ,3.

14、 33a b c1 1所以a3ab c =0的充分必要條件是 a+b+c = 0.33b c11IH1X2X3IHXnX；X2IH2XnIIIIHHIn -2X2n -2X3IHndXnnX2nX3IHnXn注，該方法具有一般性,1X12X1IH2X1nX1利用它可以證明n=門(X Xj)(瓦 Xi).1 ：j ：i 勺i =1太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）方法111100b -ac- aabc=ab-ac- a=.33333.333.3333b -a c - aabcab-ac - a1 1= (b-a)(c-a) 2門 22a +ab + b a +ac+c=(b - a)(c - a)

15、(a2 ac c2 - a2 - ab - b2)2 2=(b _ a)(c _ a)(ac c _ ab _ b )=(b - a)(c - a) a(c - b) (c - b)(c b)=(b - a)(c - a)(c - b)(a b c)第19頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）求四個平面qx by y z di =0（i=1,2,3,4）相交于一點（心yo,z°）的充要條件解答想法：三個平面相交于一點，第四個平面過該點:b| & b2 c2b3C3r a/ +D y +qz +d!=0a1方程組 a2x by c2z d2 =0有唯一解（x（）,y0,z0），當且僅當a2a3x dy C3z d3=0a3第四個平面過（冷，y°,z