2016講彈性力學(xué)試題及答案1

1、2012年度彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、 形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相 適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與切應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī) 定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應(yīng) 和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是 L-1MT-2。5、彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問(wèn)題分為平面應(yīng)力問(wèn)題和

2、平面應(yīng)變問(wèn)題。10、在彈性力學(xué)里分析問(wèn)題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三 套方程。11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、 應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)常采用逆解法和半逆解法。2、平面問(wèn)題分為和。平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題6、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以時(shí)為正，時(shí)為負(fù)，與的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。直角變小變大切應(yīng)力7、 小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象中有兩個(gè)特點(diǎn)：一是，即孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或 遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。二是，由于孔口存在而引起的應(yīng)力擾動(dòng)范圍主要集中在距

3、孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)?？赘浇膽?yīng)力高度集中， 應(yīng)力集中的局部性解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件:（1）在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程xxyyyxxy（2）在區(qū)域內(nèi)的相容方程x y 0 ；（ 3）在邊界上的應(yīng)力l x m yx f x s邊界條件y s -；（4）對(duì)于多連體的位移單值條件。m y l xy s f y S（1） 此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此 外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（2） 為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=O;為了滿足平衡微分方程，其系 數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已

4、知應(yīng)力分量 x Qxy2 Ox3，y|C2xy2， xyC2y3 CsX2y，體力不計(jì)，Q 為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù) Cl, C2, C3解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程yxyxy2 2 2 2Qy 3Gx 3C2y C3x 03C2xy 2C3xy 02 23C1 C3 x Q 3C2 y 03C2 2C3 xy 0由x，y的任意性，得3C, C3 0Q 3C 2 03C2 2C3 0Qc QC332由此解得，C, Q，C264、試寫出平面問(wèn)題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否 可能存在。3 2（1） x Axy，y By， xy C Dy ；（2） x A

5、y2，y Bx2y， xy Cxy ；x 0，y 0，xy Cxy ；其中，A，B，C，D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即2 2 2xyxy將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：（1）相容。（2） 2A 2By C（ 1分）；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。（3）0=C；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=0，貝U x 0， y 0， Xy 0（ 1分）。5、證明應(yīng)力函數(shù)by2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)，b 0 ）。0 ；解：將應(yīng)力函數(shù)by2代入相容方程42x42 2x y可知，所給應(yīng)力函數(shù)by2能滿足

6、相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為2x2 2b，yy x2xy對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí), 個(gè)邊上的面力分別為：20x y根據(jù)邊界條件，上下左右四上邊，y1， f x ( xy) hy 2y)y - 0 ；下邊，ym 1， fx ( xy) h 0，y 2左邊，x , l21 , m 0, fx ( x) ix -22b , fy ( xy) l 0 ；x -2右邊,m 0, fx ( x) i 2b,x 一2(xy ) l 0 0x 一2可見，上下兩邊沒(méi)有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此,應(yīng)力函數(shù)by2能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>

7、0）和均布?jí)毫Γ╞<0）的問(wèn)題。6、證明應(yīng)力函數(shù)axy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)，a 0 ）o解：將應(yīng)力函數(shù)axy代入相容方程x4422 2x y可知，所給應(yīng)力函數(shù)axy能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為2x20， y20 ，yxxy對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四 個(gè)邊上的面力分別為：上邊,1, fx ( xy)fy ( y) h 0 ；y 2下邊,h-,l 0, m 1 ,fx ( Xy)a , fy(y)yl 0 ；左邊,l2，1 1，m0，fx (x)xy)x 丄 a ；2右邊,，

8、l1，m 0，fx(x)x 10，fy( xy)一 2可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)axy能解決矩形板受均布剪力的問(wèn)題7、如圖所示的矩形截面的長(zhǎng)堅(jiān)柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。解：根據(jù)結(jié)寸的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)x 0。由此可知將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式x,y fi(x)y f2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得4 4dx40d fi(x) d f2(x)ydx這是y的線性方程，但相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它），可見它的系

9、數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即4d fi(x)dx44d f2(x)dx4這兩個(gè)方程要求32f1(x) Ax Bx Cx I ，32f2(x) Dx Ex Jx K代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對(duì)應(yīng)力分量無(wú)影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得3232y( Ax Bx Cx) Dx Ex對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為2x202yy2 y(6Ax 2B) 6Dx 2E gyx2xy23Ax 2Bx Cx y以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，x 0， l 1， m 0，沿y方向無(wú)面力，所以有(xy )x 0 C 0右邊，x b， l 1， m 0，沿y方向的面力為q，所以有2(xy)x b 3Ab 2Bb q上邊，y 0,10,

10、 m 1，沒(méi)有水平面力，這就要求xy在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即b0( xy)y odX 0將xy的表達(dá)式代入，并考慮到C=0,則有：(3Ax2 2Bx)dx Ax3 Bx2 0 Ab3 Bb2 0b而0( xy)y°0dX 0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒(méi)有垂直面力，這就要求y在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即bb0 ( y )y 0 dx 0，0 ( y ) y 0 xdx 0將y的表達(dá)式代入，則有0(6Dx2E)xdx 2Dx3Ex2b02Db3 Eb2 0由此可得A；2，B £，C0，D0，E 0b2b應(yīng)力分量為x 0,y 2q= 1 3gy

11、,xyq 3x 2b2b2(6Dx 2E)dx 3Dx 2Ex 0 3Db 2Eb 00b bb b雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處(y=0)的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn) 離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為解。解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為3.22.3ax bx y cxy dy相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為2x r xfx 2cx 6dy, y22 yfy 6 ax 2by gy , xxy2 2bx 2cyx y這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。 現(xiàn)在來(lái)考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù), 是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，y 0

12、，I 0，m 1，沒(méi)有水平面力，所以有(xy)y 0 2bx 0 對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見b 0同時(shí)，該邊界上沒(méi)有豎直面力，所以有(y)y 0 6ax 0 對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見a 0因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為x 2cx 6dy ， ygy ， xy 2cy斜面，y xtan，I cos由第一個(gè)方程，得2cx 6dxtan對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立,由第二個(gè)方程，得sin ， m cos21 x m yx y xtan 0m y 1 xy y xtan 0sin2cxtan cos 4cxsin這就要求4c 6dtan 0cos，沒(méi)有面力，所以有6dxtan sin 0gxs i

13、n02cxtan singxtan cos 2cxtan sin對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求2ctang 0 ( 1 分)由此解得112c - gcot ( 1 分)， d - gcot23從而應(yīng)力分量為2x gxcot 2 gycot , y gy, xy gycot設(shè)三角形懸臂梁的長(zhǎng)為l，高為h,則tan h。根據(jù)力的平衡，固定端對(duì)梁的約束l1反力沿x方向的分量為0,沿y方向的分量為 -glh。因此，所求x在這部分邊界上21合成的主矢應(yīng)為零，xy應(yīng)當(dāng)合成為反力 -glhy 2idy2 gycot2 dyglh cotgh2 cot2h h 1 2 10 xy x I dy 0 gyc

14、ot dy - gh cot - glh可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角，下端作為無(wú)限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為1，液體的密度為2，試求應(yīng)力分量解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來(lái)假設(shè)應(yīng)力 分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意 一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩部分組成： 一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與1g成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與2g成正比。此外，每-部分還與，x，y有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是L-1MT-2,1g和2g的量綱是L-2MT-2，是量綱一的量，而x和y的量綱是L,因此，如果應(yīng)力分

15、量具有多項(xiàng)式的解答，那么它們的表達(dá)式只可能是A 1gx，B 1gy，C 2gx，D 2gy四項(xiàng)的組合，而其中的A，B，C，D是量綱 一的量，只與 有關(guān)。這就是說(shuō)，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長(zhǎng)度量綱高二 次，應(yīng)該是x和y純?nèi)问?，因此，假設(shè)3.22.3ax bx y cxy dy相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為22x xfx 2cx 6dy, y yfy 6axyx這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。 是否能滿足應(yīng)力邊界條件。2by1gy, xy2 2bx 2cyx y現(xiàn)在來(lái)考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù),左面，x 0， I

16、 1， m0，作用有水平面力2gy，所以有(x)x 0 6dy 2gy對(duì)左面的任意y值都應(yīng)成立，可見2g同時(shí)，該邊界上沒(méi)有豎直面力，所以有(xy)x 0 2cy 0對(duì)左面的任意y值都應(yīng)成立，可見y 6ax 2byigy， xy 2bx2gy，c 0 因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為斜面，x ytan，l cos ， m cos 2sin，沒(méi)有面力，所以有l(wèi) x m0yx x ytanm y l0xy x ytan由第一個(gè)方程，得2gycos2byta nsin0x對(duì)斜面的任意y值都應(yīng)成立，這就要求2gcos 2btan sin 02gy, y igcot 2 2gcot3 x2gcot1 2ig y, xy2gxcot2由第二個(gè)方程，得6ayta n2by 刨 sin2bytan cos6atan sin 4bsin1gsin y 0對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求6atan 4b e 0由此解得11312a1gcot - 2gcot ， b2gcot632從而應(yīng)力分量為Asin 2)解:d很小,將應(yīng)力函數(shù)題三（1）圖Pd，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶的情形。邊界條件:(1)代入應(yīng)力分量式,(r,）代入，可求得應(yīng)力分量:電 As in 2 r(2Acos2B)0,0,和2AB)2A(1)（2）取一半徑為的半圓為脫離體，邊界上受有:和 M = Pd由該脫離體的平衡，得將r代入并