力學競賽輔導(dǎo)三-動力學普遍定理

1、力學競賽輔導(dǎo)三 動力學普遍定理一、基本力學量的計算：1、質(zhì)點系及剛體動量的計算質(zhì)點系質(zhì)心的位置矢量及坐標：例1：求圖示系統(tǒng)的總動量。ABOvv(1)傳動皮帶的質(zhì)量為m，主動輪的角速度為，主動輪與從動輪的質(zhì)量分別為，半徑分別為，設(shè)傳動皮帶和傳動輪的質(zhì)量都是均勻的。 (0)ABOvwOO1(2)長均為l，質(zhì)量均為m的均質(zhì)桿OA，OB在O處以光滑鉸鏈連接。（2mv，mv）vwCA(3)質(zhì)量為m1，半徑為R的均質(zhì)圓盤與質(zhì)量為m2，長度為l的均質(zhì)桿鉸接于A點。圖示瞬時圓盤速度為v，桿的角速度為。解： 圓盤與桿均為平面運動，以A為基點，則桿：B 2轉(zhuǎn)動慣量： 定義： 質(zhì)量連續(xù)分布： 計算：（1）利用回轉(zhuǎn)半

2、徑：其中m為整個剛體的質(zhì)量，由 得 為剛體對z軸的回轉(zhuǎn)半徑，具有長度的量綱。（2）積分法（3）平行軸定理： （4）組合法求轉(zhuǎn)動慣量：若機構(gòu)由幾個簡單形狀的剛體組成，則分別求每個剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，然后再疊加。（5）實驗法常用： 均質(zhì)圓盤對盤心軸的轉(zhuǎn)動慣量:     圓環(huán)：均質(zhì)細直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量: 均質(zhì)細直桿對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量: miriOyxzriyxzCvirC3、質(zhì)點系動量矩的計算 下面證即質(zhì)點系對質(zhì)心C的動量矩： 由質(zhì)心坐標公式： 即質(zhì)點系對任意定點O的動量矩，等于集中于質(zhì)心的系統(tǒng)動量對點O的動量矩與質(zhì)點系對質(zhì)心C的動量矩的矢量和。絕對動量對質(zhì)

3、心的矩相對動量對質(zhì)心的矩AOw例2：圖中桿長為l，質(zhì)量為m ，均質(zhì)圓盤半徑為R，質(zhì)量為m，圓心在A點。已知桿OA以角速度w 繞O軸轉(zhuǎn)動，試求如下幾種情況下圓盤對定點O的動量矩： (1)圓盤固結(jié)于OA桿上。(2)圓盤繞軸A相對于桿以角速度w 轉(zhuǎn)動。(3)圓盤繞軸A相對于桿以角速度-w 轉(zhuǎn)動。(4)圓盤以絕對角速度w 繞A軸轉(zhuǎn)動。(5)圓盤以絕對角速度-w 繞A軸轉(zhuǎn)動。解：(1) 圓盤固結(jié)，則圓盤的運動為繞點O轉(zhuǎn)動，角速度為。(2)圓盤繞軸A轉(zhuǎn)動，相對于桿的角速度為w，則圓盤的絕對角速度等于2w， （） (3)圓盤繞軸A轉(zhuǎn)動，相對于桿的角速度為-w，則圓盤的絕對角速度等于0，(4)圓盤以絕對角速度

4、w 繞A軸轉(zhuǎn)動，與（1）相同。(5)圓盤以絕對角速度-w 繞A軸轉(zhuǎn)動。3、質(zhì)點系動能和力的功的計算(1)質(zhì)點系動能(2)平動剛體的動能(3)定軸轉(zhuǎn)剛體的動能(4)平面運動剛體的動能 (5)柯尼希定理 質(zhì)點系的動能(絕對運動動能)，等于系統(tǒng)跟隨質(zhì)心平移的動能(牽連運動動能)與相對于質(zhì)心平移系運動的動能(相對運動動能)之和。 v例3：圖示坦克的履帶質(zhì)量為m，兩個車輪的質(zhì)量均為m1。車輪可視為均質(zhì)圓盤，半徑為R，兩車輪間的距離為pR。設(shè)坦克前進速度為v，計算此質(zhì)點系的動能。 解：O1O22q例4：質(zhì)量為m、半徑為 3R 的均質(zhì)大圓環(huán)在粗糙的水平面上純滾。另一小圓環(huán)質(zhì)量亦為m ，半徑為R ，又在粗糙的

5、大圓環(huán)內(nèi)壁做純滾動。不計滾動摩阻，整個系統(tǒng)處于鉛垂面內(nèi)。求以下三種情況下系統(tǒng)的動能。(1)大圓環(huán)固定；(2)大圓環(huán)繞中心定軸轉(zhuǎn)動；(3)大圓環(huán)沿粗糙水平面純滾動。解：(1)大圓環(huán)固定。O1O22q(2)大圓環(huán)繞中心定軸轉(zhuǎn)動。jvErO1O22EvO2rO1O22qj(3)大圓環(huán)沿粗糙水平面純滾動。計算系統(tǒng)的動能由運動學可知：建立隨質(zhì)心O1平動的坐標系O1 x1 y1O1O2EvO1vO2rvO1vEr MiCFidrCdriCjbd(4)平面運動剛體上力系的功OBCFSbOBCFbFsFNM平面運動剛體上力系的功等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶做功之和。例5：滾動摩阻的功：拉力F的功：注：功是

6、力與其作用點位移的點乘。這里“位移”并不是力作用點在空間中的OACBPw位移，而是指受力物體上受力作用那一點的位移。例6：已知：輪 O 質(zhì)量為 m，P，f 。求：輪O移動距離S時輪的角速度、角加速度。解：取輪O為研究對象FNOCBPwFTmg主動力的功：由動能定理得：解得：，4、關(guān)于動量矩定理的應(yīng)用 可以證明，對任一動點A，有對該點的動量矩定理：質(zhì)點系對動點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)以及動點速度與質(zhì)點系動量的矢積之和，等于質(zhì)點系的外力對動點的矩。上式表明，以一些特殊點為矩心時，動量矩定理仍具有簡潔的形式。如： （1）當A為固定點時；（2）當A為系統(tǒng)質(zhì)心時； （3）當A為速度瞬心，且到質(zhì)心C 的距離保

7、持不變時。BACjmgPFNAFNBwaPCFa例7：動力學普遍定理動量定理動量矩定理動能定理動量方法能量方法二、動力學普遍定理的綜合應(yīng)用動力學兩類問題和分析程序：先避開未知約束力，求解運動量；然后再選擇合適的定理，確定動約束力。注意分析約束的性質(zhì)。確定： 是一處約束還是多處約束；是理想約束還是非理想約束。對于具有理想約束，特別是具有多處約束的一個自由度系統(tǒng)，一般先應(yīng)用動能定理分析運動，然后再采用動量定理或動量矩定理，求動約束力。例8：均質(zhì)圓輪A和B的半徑均為r，圓輪A和B以及物塊D的重量均為W，圓BO2AO130oDWWWM輪B上作用有力偶矩為M的力偶，且3Wr/2> M>Wr/

8、2。圓輪A在斜面上作純滾動。不計圓輪B的軸承的摩擦力。求：1、物塊D的加速度；2、二圓輪之間的繩索所受拉力；3、圓輪B處的軸承約束力。解：1、確定物塊的加速度:對系統(tǒng)整體應(yīng)用動能定理。將所有運動量都表示成廣義坐標 SD 的形式為求物塊的加速度，將等式兩邊對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得到DBO2WWFTFByFBxM當M>Wr/2，aD>0，物塊向上運動.2、確定圓輪A和B之間繩索的拉力解除圓輪B軸承處的約束，將AB段繩索截開，對圓輪B、繩索和物塊D組成的局部系統(tǒng)應(yīng)用動量矩定理：根據(jù)運動學關(guān)系3、確定圓輪B軸承處的動約束力對圓輪B、繩索和物塊D組成的局部系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運動定理AO30°

9、Cxjw例9：均質(zhì)圓盤O放置在光滑的水平面上，質(zhì)量為m，半徑為R，勻質(zhì)細桿OA長為l，質(zhì)量為m。開始時桿在鉛垂位置，且系統(tǒng)靜止。求：桿運動到圖示位置時的角速度。解：取系統(tǒng)為研究對象，因輪置于光滑面上，固其作平動。設(shè)其速度為 vO。桿轉(zhuǎn)動的角速度為 w。 對系統(tǒng)整體應(yīng)用動能定理AO30°CwvCA由剛體的平面運動分析 即由系統(tǒng)在水平方向的動量守恒得將 vO 代入動能定理方程可解例10有一個三角柱體ABC，質(zhì)量為m2，放在光滑的水平面上，可以無摩擦地滑動。另一個質(zhì)量為m1，半徑為r的均質(zhì)圓柱體，沿斜面AB向下滾動而不滑動，如圖所示。若斜面傾角為=30o，試求運動過程中，（1）三角柱體的速度與圓柱體的角速度的大小之間的關(guān)系；（2）三角柱體加速度的大??；（3）圓柱體的中心O點的加速度的大小；（4）圓柱體沿斜面只滾不滑時，其與支承面之間的滑動摩擦系數(shù)f的取值范圍。ABCO解：（1）由水平方向動量守恒可得 （2）由動能定理可得（3）基點法求O點加速度得 （4）由圓柱的平面運動微分方程可得 三、關(guān)于突然解除約束問題特點：(1)系統(tǒng)的自由度一般會增加；(2)解除約束的前、后瞬時，速度與角速度連續(xù)，