2018北京數(shù)學試題理

1、2018北京理一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的 一項。1. 已知集合 A= x| X|V2, B= W, 0, 1, 2,則 AAB =A. 0, 1 B. 1 , 0, 1 C. 2 0, 1, 2 D. T, 0, 1 , 2【解析】因 |x|<2,故一2vxv2,因此 AAB= N, 0, 1, 2 A(-2, 2) = 0 , 1,選 A .1 ,2.在復平面內，復數(shù)；一:的共軻受數(shù)對應的點位于1 iA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】=+"i,其共軻復數(shù)為-1i,對應的點為(1, 1),故選

2、D.1 i 22 22 2223.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為啟一 l»T下s-j+t-1 *Ltfc.1一 5八7一工A. 2B. 6C. 6D. 12【解析】初始化數(shù)值 k=1, S= 1,循環(huán)結果執(zhí)行如下：第一次:S= 1 + (1)1?2 = 1，k= 2> 3不成立；第二次：S= 1+(-1)2?1 = 5, k= 3>3成立，循環(huán)結束，輸出 S= 5,故選B. 23 664 . “十二平均律”是通用的音律體系 ，明代朱載培最早用數(shù)學方法計算出半音比例 ，為這個理論 的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份 ，依次得到十三個單音，從第二

3、個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12/2,若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為A. 而 B. 訴fC. VPfD. 727f【解析】從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122,第一個單音的頻率為f.由等比數(shù)列的定義知，這十三個單音的頻率構成一個首項為f,公比為 標的等比數(shù)列，記為an.則第八個單音頻率為 a8=f (弋8-1= 12f.5 .某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為A. 1 B. 2 C. 3D. 4【解析】在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P ABCD,如圖，由圖可知在此四棱錐的側面

4、中，直角三角形的個數(shù)為3,是APAD, APCD, APAB.6 .設a, b均為單位向量，則“ |a3b|=|3a+b|”是" a± b"的A .充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】|a-3b|= |3a+b|? |a3b|2= |3a+b|2? a2 6a?b +9b2= 9a2+6a?D+b2,因 a, b 均為單位向量，故a?b = 0,即a±b,即" |a 3b| = |3a+b|”是“ ab”的充分必要條件.選 C.7 .在平面直角坐標系中，記 d為點P(cos 0, sin 到直線x

5、 my2 = 0的距離，當0, m變化時，d 的最大值為A. 1 B . 2C. 3 D , 4【解析】因cos2 0+ sin2 0= 1,故P為單位圓上一點，而直線x- my 2=0過點A(2, 0),故d的最大值為 OA+1=2+1 = 3,選 C.8 .設集合 A = (x, y)| x- y> 1, ax+y>4, x- ay< 2,則A.對任意實數(shù) a, (2, 1) AB.對任意實數(shù) a, (2, 1)?A. 3C.當且僅當a<0時，(2, 1)?A D.當且僅當awg時，(2, 1)?A3一 一,，一.33【解析】右(2, 1)CA,則a且a>0,

6、即右(2, 1)CA,則a>2,此命題的逆否命題為：右a<2,則有(2, 1)?A,故選D.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9 .設an是等差數(shù)列，且 a = 3, a2 + a5 = 36,則an的通項公式為 .【解析】設等差數(shù)列的公差為d,因a1 = 3,且a2+a5=2a +5d =36,故d= 6,故an =3+ (n- 1) 6=6n 3.10 .在極坐標系中，直線pcos 0+ psin 0= a(a>0)與圓p= 2cos 0相切，則a =.【解析】因 任=x2 + y2, x= pcos 0, y= psin 0,由 pcos 0+ psin 0=

7、a(a>0)得，x+y=a(a>0),由 p =2cos。得，p2=2pcos 0,即 x2+y2=2x,即(x 1)2+y2=1,因直線與圓相切，故 |1- a|A 2= 1,故 a= 1 ± 2,因 a>0,故 a= 1 + '也.、一一一兀，兀 ，、一， ,，,11 .設函數(shù)f(x) = cos( 3 X 6)(3>0).若可力4)對任意白實數(shù)x都成立，則3的最小值為 .【解析】由于對任意的實數(shù)都有f(x)Wf(j成立，故當x=3寸，函數(shù)f(x)有最大值，故f(4)=1,詈2,.2公=2kjtKCZ),故 3= 8k + -(k Z),又 w&g

8、t;0,故 wmin =-. 63312 .若x, y滿足x+1WyW2x,則2yx的最小值是 .y=x+ 1,【解析】作可行域，如圖，由 -2Y得交點坐標為(1, 2),則直線z= 2yx過點A(1, 2)時,y 2x取最小值3.河北、山東、甘肅、陜西、內蒙古、北京、天津資源投稿 qq： 235539450113 .能說明“若f(x)>f(0)對任意的xC(0, 2都成立，則f(x)在0, 2上是增函數(shù)”為假命題的一個 函數(shù)是.【解析】令f(x) = h,則f(x)>f(0)對任意的xC(0, 2都成立，但f(x)在0, 2上不是增函數(shù).又如，令f(x)=sinx,則f(0)=0

9、, f(x)>f(0)對任意的xC (0, 2都成立，但f(x)在0 , 2上不是增函數(shù).14.已知橢圓M:x2 y2+ 72= 1(a> b>0),雙曲線 a b白1 .若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓 M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓 M的離心率為 【解析】設橢圓的右焦點為 F(c, 0),雙曲線N的漸近線與橢圓 M在第一象限內的交點為 A,由題意可知 A c, 爭，由點 A在橢圓 M 上得，¥2+%=1,故 b2c2+3a2c2=4a2b2,因 b2=a2 c2, 224a 4b故(a2c2)c2+3a2c2= 4a2(a2c2),貝U

10、4a48a2c2+c4= 0, e4 8e2 + 4=0,故 e2= 4+2% 3(舍)，e2 = 4 2、J3.由 0vev 1,得 e= 3-1.三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。， 一一，一 一 一 115.在 ABC 中，a= 7, b = 8, cosB = 7.(I )求/ A;(n)求ac邊上的高.I【解析】(1)在 ABC中，因為cos B= 7,所以sin B= 41 cos2B= ±73.由正弦定理得sin A= as： B=坐.由題設知 /B<tt,所以0</A<J.所以/ A=微. 2223(2)在 4AB

11、C 中，因為 sin C= sin(A+ B) =sin Acos B + cos Asin B = 4,所以 AC 邊上的高為 asin C3 3=3 314216.如圖，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，CC平面 ABC, D, E, F, G 分別為 AA1, AC, A1C1, BB1的中點，AB=BC=被，AC=AA=2.f#、十 十-&L二W二求證：AC,平面BEF;(2)求二面角B- CD-C1的余弦值;證明：直線FG與平面BCD相交.【解析】(1)證明 在三柱 ABC-A1B1C1中，因CC平面ABC,故四邊形A1ACC1為矩形.又 E, F分別為 AC, A1C1的

12、中點，故 ACXEF.因AB=BC,故ACBE.又 EFABE=E,故 AC,平面 BEF .故BC=(1, 2, 0), BD = (1, 2, 1).設平面 BCD 的法向量為 n = (x°, y°, z0),則n BC = 0,n BD = 0,X0+ 2y0= 0,即令 y0= 1 ,則 X0=2, Z0= 4.X0 2y0+ z0= 0.于是n = (2, -1, -4).又平面 CC1D的法向量(2)解 由(1)知 ACEF, ACXBE, EF / CC1 ,又 CCd平面 ABC,故 EFL平面 ABC,因 BE?平 面ABC,故EFXBE.如圖建立空間直

13、角坐標系 E-xyz,由題意得 B(0, 2, 0), C(1, 0, 0), D(1, 0, 1), F(0, 0, 2), G(0, 2, 1).為EB=(0, 2, 0),故cos <n, EB> = -EB-= 彎.由題知二面角 B- CD Ci為鈍角，故其余 |n|EB|弦值為一要.21證明 由(2)知平面 BCD 的法向量為 n = (2, 1, 4), fG = (0, 2, 1).因 n FzG = 2X0+(-1)2十(4)¥ 1)=2WQ故直線 FG與平面BCD相交.17.電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型A類第F第三類第四

14、類第五類第八,類電影部數(shù)14050300200800510好評率0. 40. 20. 150. 250. 20. 1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設所有電影是否獲得好評相互獨立.從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；(3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“k=1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ &=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k= 1, 2, 3, 4, 5, 6).寫出方差 D(3), D(a), D(

15、6), D(4), D(幼,D( 6)的大小關系.【解】(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2 000,第四類電影50中獲得好評的電影部數(shù)是 200X0. 25=50.故所求概率為2500=0. 025.(2)設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件B為 從第五類電影中隨機選出一 一 一 一的電影獲得好評”.故所求概率為 P(AB+AB) = P(AB)+P(AB)=P(A)(1 P(B) + (1 P(A)P(B).由 題意知：P(A)估計為0. 25, P(B)估計為0. 2.故所求概率估計為 0. 25X0. 8+ 0. 75

16、X0. 2 = 0. 35.由題意可知，定義隨機變量如下:0,第k類電影沒有得到人們喜歡, 1,第k類電影得到人們喜歡，則早顯然服從兩點分布，故 D(&)=0. 4X(1 0. 4)=0. 24, D(&)=0. 2X(1-0. 2)=0. 16, D(6)=0. 15X(1 -0. 15) =0. 127 5, D(a)=0. 25X(1 -0. 25)=0. 187 5, D(&)=0. 2><1 -0. 2)=0. 16, D(=0. 1X(1 -0. 1) = 0. 09.綜上所述，D( 3)>D(&)>D(幼=D( &)

17、>D(5)>D( 6).18 .設函數(shù) f(x) = ax2(4a+1)x+4a+3ex.(I )若曲線y= f(x)在點(1, f(1)處的切線與入軸平行，求a;(11)若出力在x= 2處取得極小值，求a的取值范圍.【解析】(I )因 f(x)= ax2 (4a + 1)x+ 4a+ 3ex,故 f (X)= 2ax (4a+ 1)ex+ ax2 (4a+ 1)x+ 4a+ 3 eX(xC R)=ax2-(2a+ 1)x+2ex. f' (1)(1a)e.由題設知 f'(號 0,即(1 a)e= 0,解得 a= 1.此 時f (1)=3ew0.故a的值為1.(n

18、)由(I )得 f'x0= ax2(2a+1)x+ 2ex=(ax-1)(x-2)ex.若 a>1,則當 x (-, 2)時，f'x)v0; 2a1當xC (2, +8肘，f x)>0.故f (x)<0在x=2處取得極小值.若 aw； 則當xC (0, 2)時，x- 2 <0, ax -1<2x-1<0,故 f'x)>0.故 2 不是 f (x)的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是(1, +8).19 .已知拋物線 C: y2=2px經(jīng)過點P(1, 2).過點Q(0, 1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點 A, B,且直線PA

19、交y軸于M,直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設。為原點，qM= qo, qn= gb,求證：1A-1為定值.人 心【解析】(1)因拋物線y2 = 2px過點(1, 2),故2P=4,即p=2.故拋物線C的方程為y2=4x.由題y2= 4x, 意知，直線l的斜率存在且不為0.設直線l的方程為y=kx+1(kw0)由得k2x2+(2k4)xy= kx+1+ 1 = 0.依題意 = (2 k- 4)24 珠2X1>0,解得 kv 1,又 kwQ 故 k< 0 或 0vkv1.又 PA, PB 與y軸相交，故直線l不過點(1, 2).從而k- 3.故直線l斜率的取

20、值范圍是(一8, - 3)U (-3, 0)U (0, 1).y1 2x1 12k 41(2)證明設 A(x1,y-)，B(x2,y2).由(1)知x + x2=k2,*加=0.直線 PA 的方程為 y2 =y1 + 2 kx1 + 1一(x 1),令x=0,得點M的縱坐標為yM=+ 2= J+2.同理得點N的縱坐標為yN =、'"x1 Ix1 I-kx2+1上， 31 . 11,1 x1一 1丁丁+2 由 QM=q°，QN=q。付入=1yM,尸 >yN故一入+1=可+心=(k1) x1x2 112x1x2一 (x1+x2), 、 =.(k 1) x2 k 1

21、x1x2k- 12 2k 4 k2+ k2.2 1 k2,.11 、一故1 += 2為定值.A 120.設n為正整數(shù)，集合 A= d“= (t1, t2,tn), tnC0, 1, k=1, 2,，n.對于集合 A中的任意兀素a= (x-，x2,，xn)和3= (y1 ,y2,1，yn),記 M(% 3)= 2(x1 + y1 一 | x1一y1|)+(x2+乎一| x2y2|) + -+ (xn + yn | xn yn|).(I )當 n=3時，若 “=(1,1, 0),3= (0, 1, 1),求 M(a, a)和 M(% 3)的值；(II)當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的

22、任意元素a, 3,當“，3相同時，M( % 3)是奇數(shù)；當% 3不同時，M(a,是偶數(shù).求集合 B中元素個數(shù)的最大值；(出)給定不小于2的n,設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素a, 3, M(% 3)=0.寫出一個集合B,使其元素個數(shù)最多，并說明理由.1【解析】(I)因 a= (1 , 1, 0), 3= (0, 1, 1),故 M(a, ”)=萬(1 + 1 |11|)+(1 + 1 |1 1|)+(0 1+ 0-|0- 0|)=2, M(a, 3 = 2(1 +0|1 0|)+(1 + 1|1 1|)+(0+1 |01|)= 1.(n )設 a=(X1, x 2, X3, X4) C B,則 M( % 耳=X1 + X2+ X3+ X4 .由題意知 X1, X2, X3 , X4 C 0 , 1, 且M( a, a)為奇數(shù)，故X1 , X 2, X3, X4