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1、充分性判斷題解題技巧【充分條件基本概念】1. 定義 對(duì)兩個(gè)命題 A和B而言,若由命題A成立,肯定可以推出命題 B也成立(即 A= B為真命題),則稱命題 A是命題B成立的充分條件。2. 條件與結(jié)論兩個(gè)數(shù)學(xué)命題中,通常會(huì)有“條件”與“結(jié)論”之分,若由“條件命題”的成立,肯定可以推出“結(jié)論命題”也成立,則稱“條件”充分若由“條件命題”不一定能推出(或不能推出)“結(jié)論命題”成立,則稱“條件”不充分例如:不等式x2 _5x -6 : 0能成立. 1 : x ::: 3x 7(3) x =5(4)x : 6(5) 1 : x : 6此例中,題干“ x2 - 5x - 6 : 0能成立”,這個(gè)命題是“結(jié)論
2、”,下面分別給出了 5個(gè)命 題都是不同的“條件” 現(xiàn)在我們可以把它們按充分與否分為兩類 :條件(1)、(3)、(5)充分. 條件、不充分.3. 知識(shí)點(diǎn)評(píng)述 1.充分條件的判斷:從給定的條件出發(fā)去分析 ,在此條件下,結(jié)論是 否一定成立,若是,則條件充分,若否,則條件不充分.我們?cè)谧龀浞中耘袛嗟脑囶}時(shí) ,不可從 “結(jié)論”入手去求解!那樣只能得出“條件”對(duì)“結(jié)論”的“必要性”,而與充分性判斷相背 離.如:在此例中,由結(jié)論命題:x2 -5x -6 : 0能成立,可解得-1 : x : 6.這只證明條件 是必要的.事實(shí)上,條件(5)是結(jié)論x2 - 5x - 6 : 0能成立的充分必要條件,才“歪打正著”
3、被 你找到了一個(gè)充分條件.【充分性判斷基本概念】本書中,所有充分性判斷題的 A、B C、D E五個(gè)選項(xiàng)所規(guī)定的含義,均以下列呈述為準(zhǔn), 即:(A) 條件(1)充分,但條件 不充分;(B) 條件充分,但條件(1)不充分;(C) 條件(1)和(2)充分單獨(dú)都不充分,但條件(1)和(2)聯(lián)合起來充分;(D) 條件 充分,條件也充分;(E) 條件(1)和(2)單獨(dú)都不充分,條件(1)和(2)聯(lián)合起來也不充分.71)上述5個(gè)選項(xiàng),把條件(1)和(2)以及兩條件聯(lián)立起來(同時(shí)都滿足即八丿的充分性的所有情況都包括了,但其中“聯(lián)合”不是數(shù)學(xué)名詞,沒有準(zhǔn)確的定義,改為“聯(lián)立”與原題意比較貼切.比如:不等式x(6
4、x 5) < 4成立.(1) x * -1(2)分析由題干x(6x 5) < 441解上述不等式,得 . x :32顯然(1)、(2)單獨(dú)都不滿足1聯(lián)立和 得出-1 :: x ,從而原不等式成立因此,答案是C.3常用的求解方法有以下幾種:解法一 直接法(即由A推導(dǎo)B)若由A可推導(dǎo)出出B,則A是B的充分條件;若由A推導(dǎo)出與B矛盾的結(jié)論,則A不是B的充分條件解法一是解“條件充分性判斷”型題的最基本的解法,應(yīng)熟練掌握例1要保持某種貨幣的幣值不變(1) 貶值10%H又升值10%;(2) 貶值20%H又升值25%;分析 設(shè)該種貨幣原幣值為 a元(a = 0).由條件(1)經(jīng)過一次貶值又一次升
5、值后的幣值為:a(1 -10%) (1 10%) =a 0.9 1.1 =0.99a.顯然與題干結(jié)論矛盾.所以條件不充分.由條件(2)經(jīng)過一次貶值又一次升值后的幣值為:4 5a(1 -20%) (1 25%) = aa5 4即 題干中的結(jié)論成立,所以條件(2)充分,故應(yīng)選擇B.例2等差數(shù)列中可以確定S10 = a1 a2 'a100 = 250(1) a2 ag a98 a?9 =10 a2a5a? a98 =10解據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)有由條件(1) a1 - ag。=a2 a9ag - agg 二 2M S100 =M 100 =10 100=250.條件(1)充分.4由條件(2) a?
6、' a98 = 2&50, a5 ' ag? - 2a51a50a51(ai + ago)5二Si00 =100 =100= 幻00 =25022所以條件也充分.故應(yīng)選擇D.解法二定性分析法(由題意分析 ,得出正確的選擇 .)當(dāng)所給題目比較簡(jiǎn)單明了,又無定量的結(jié)論時(shí),可以分析當(dāng)條件成立時(shí),有無結(jié)論成立的可能性,從而得出正確選擇,而無需推導(dǎo)和演算.例3對(duì)于一項(xiàng)工程,丙的工作效率比甲的工作效率高.(1) 甲、乙兩人合作,需10天完成該項(xiàng)工程;(2) 乙、丙兩人合作,需7天完成該項(xiàng)工程;解 條件 中無甲與丙間的關(guān)系,條件 中亦無甲與丙間的關(guān)系 ,故條件(1)和 顯然單獨(dú)均不充
7、分.將兩條件聯(lián)合起來分析:在完成相同工作量的前提下,甲與乙合作所需時(shí)間比乙與丙合作所需時(shí)間多,故甲的工作效率當(dāng)然比丙的工作效率低,題干結(jié)論成立,所以條件(1)和聯(lián)合起來充分.故應(yīng)選擇C.例4在一個(gè)宴會(huì)上,每個(gè)客人都免費(fèi)獲得一份冰淇淋或一份水果沙拉,但不能同時(shí)獲得二者,可以確定有多少客人能獲得水果沙拉.(1) 在該宴會(huì)上,60%的客人都獲得了冰淇淋;(2) 在該宴會(huì)上,免費(fèi)提供的冰淇淋和水果沙拉共120份.解由于條件(1)中不知客人總數(shù),所以無法確定獲得水果沙拉的客人的人數(shù).而由于條件(2)中只給出客人總數(shù),所以仍無法確定獲得水果沙拉的客人的人數(shù),故條件(1)和(2)單獨(dú)顯然均不充分.由條件(2
8、)知客人總數(shù),由條件(1)可獲得水果沙拉的客人點(diǎn)總客人數(shù)的百分比,必可確定獲水果沙拉的客人的人數(shù),所以條件(1)和(2)聯(lián)合起來充分.故應(yīng)選擇C.解法三 逆推法(由條件中變?cè)奶厥庵祷驐l件的特殊情況入手,推導(dǎo)出與題干矛盾的結(jié)論,從而得出條件不充分的選扌亍注意此種方法絕對(duì)不能用在條件具有充分性的肯定性的判斷上例5要使不等式1 x +|1 +x >a的解集為R(1) a 3(2)2 遼 a : 3.解 由條件(1) a=3,取a=4,原式即1x + 1+x>4,此不等式化為x>1,2x>4,或TX1,、2x > 4,或x<T,-2x>4,所以 x - 2或
9、二或x : -2.所以不等式的解為 x : -2或x2,所解集為R矛盾.所以條件(1)不充分.由條件(2),2蘭a <3,取a = 2 ,不等式化為1 x +|1 +x >2 ,此不等式化為x>1,.2xa2,1 "<1,Nx > 2,x< -1,-22,所以x .1或x :心或X ”一1.所以不等式的解為 x :: 一1或x . 1與解集為R矛盾.所以條件也不充分.條件(1)和聯(lián)合,得>3,2 蘭 a c 3,所以aw:.,顯然條件(1)和(2)聯(lián)合起來也不充分.故應(yīng)選擇E.注意 條件(1)的充分性,是用解法一判斷的,只有當(dāng)條件不充分時(shí),才
10、可用解法三,如對(duì) 條件不充分的判斷.解法四一般分析法(尋找題干結(jié)論的充分必要條件.)即:要判斷A是否是B的充分條件,可找出B的充要條件 C再判斷A是否是C的充分條 件.(a >6例6 要使 x+pi的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為60.< X丿(1) a=1(2)a=2(a f 解設(shè)x+p 展開式的常數(shù)項(xiàng)為卅,因?yàn)镮 X丿r6_r;ar r 6 _3rTr 1 = C6 x2= C6 a x .lx丿所以 6 -3r =0, r =2.因?yàn)镃fa2=60,所以 15a2 = 60,a = 2.所以題干中結(jié)論的充要條件是a =2.所以條件(1) a = 1不充分;條件a = 2充分.故應(yīng)選擇B.
11、此題用解法一需要將 a =1和a = 2代入,推算兩次,而用此種方法只推算一次得出a = 2即可.例7要使關(guān)于x的一元方程x4-2x2 k=0有四個(gè)相異的實(shí)根。1(1)0 : : k :;( 2)1 k : 2。2解 方程x4 -2x2 k = 0有四個(gè)相異的實(shí)根,設(shè)t =x2,t 一 0,則方程t2 -2t 0應(yīng)有兩個(gè)不等正實(shí)根 t| 0,t20,所以>0,匕"2=2>0,丿1吐2 >0,4 -4k =0,水0,k <1所以 丿 ' Ockcl.k>0,所以題干中結(jié)論的充要條件是0 : k <1,所以條件(1)充分,條件(2)不充分故應(yīng)選
12、擇A.一道條件充分性判斷試題有時(shí)可以用多種方法求解,如上面的例2也可求解如下【條件充分性判斷題的解題技巧】解題技巧之一:直接檢驗(yàn)法將滿足條件(1)和(2)分別代入結(jié)論 C中檢驗(yàn),根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果來判別. 也可以抽幾個(gè)樣本 試算.代入檢驗(yàn)法,是直接檢驗(yàn)法中最簡(jiǎn)單的一種,還有樣本檢驗(yàn)法無法直接從條件出發(fā)代人,而是從滿足條件的集合中抽取有代表性的樣本,再代入題干檢驗(yàn).應(yīng)該說明的是,樣本檢驗(yàn)屬于不完全檢驗(yàn),不能嚴(yán)格證明,考生應(yīng)作為輔助辦法使用,或?qū)嵲跊]轍了可以試一試.解題技巧之二:直接邏輯推理法有時(shí)條件(1), 及結(jié)論C都是描述性的判斷, 實(shí)際上該類題屬于純邏輯題,可能會(huì)有點(diǎn)繞,但比起 MBA聯(lián)考正宗的邏
13、輯題目來說,也是“小巫見大巫”了因此考生在復(fù)習(xí)邏輯 時(shí)要認(rèn)真準(zhǔn)備,因?yàn)閿?shù)學(xué)部分的充分性判斷題本身就非常需要考生加強(qiáng)在邏輯方面的知識(shí)和 糸養(yǎng).例8小李比小張年齡大.(1) 小張的哥哥今年剛滿 18歲,可以參加選舉了(2) 小李昨天剛度過了自己的30歲生日題干中涉及到小李和小張的年齡比較問題,而條件(1)完全不涉及小李,條件(2)完全不涉及小張,因此單獨(dú)使用(1)或(2)都不能獨(dú)立推出結(jié)論根據(jù)條件(1)的表述,我們可以由小張年齡切、張哥哥年齡=18歲推出小張年齡18歲,根據(jù)條件(2)的表述,得到小李年齡=30 歲;這兩個(gè)判斷聯(lián)在一起,由小張年齡18歲30歲=小李年齡可以得到小李年齡比小張年齡大即此
14、題應(yīng)選C.解題技巧之三:化繁就簡(jiǎn)法有時(shí)或者是條件(1)、(2),或者是結(jié)論G,可能表述或形式上比較復(fù)雜,不容易看清楚,這時(shí)候應(yīng)該考慮用一些辦法化繁就簡(jiǎn),更易于比較和推理事實(shí)上,化簡(jiǎn)以后,題目答案甚 至一目了然了.=2成立.x3 -3x2 -4x 12x3 -6x211x -6(1) x2 x =20X2 x - 232 _ x - x 2由題目看出,這幾個(gè)式子都比較繁雜,難以看出彼此關(guān)系,通過化簡(jiǎn)將x3 _3x2 _4x 12 = x2(x _3) _4(x _3) x3 -6x2 11x -6x3 - 6x2 5x 6x - 6_ (X2 4)(x3)x(x2 -6x 5) 6(x -1)(
15、x 2)(x2)(x 3)-x(x 1)(X 一5)6(x -1)(x 2)(x2)(x3)-(x 1)(x2 5x 6)(x 2)(x-2)(x-3)-(x1)(x2)(x3)x 2=1=2(其中 x = 3,x =2且 x"),進(jìn)一步得x=4.對(duì)條件(1)化簡(jiǎn)為 x2 x - 20 = 0, (x - 4)(x 5) = 0,得x = 4或x= -5.對(duì)條件(2)化簡(jiǎn)為2x2 2x-4 =3x2-3x(其中x = 0且x = 1),進(jìn)一步得 (x -1)(X -4) = 0,由于x ",所以x =4,則不充分,(2)充分解題技巧之四:直觀畫圖法有些題目涉及到集合的相互關(guān)
16、系,涉及到空間關(guān)系,還有彼此之間循環(huán)的邏輯關(guān)系等,這類題通常都比較繞,光在腦子里想著想著就亂了,又得重來,實(shí)際上這類題的難度并不大,要養(yǎng)成在紙上畫圖的習(xí)慣,把邏輯關(guān)系、空間關(guān)系等各種紛繁復(fù)雜的關(guān)系畫出來,就可清楚地找 出規(guī)律來了 例10設(shè)A B為隨機(jī)事件,A = B成立(1) p(Ab)二 0(2) p(aB)=0本題如果用計(jì)算或推理都很難下手 ,我們考慮作圖先考慮條件(1),陰影部分為 A ,而 P(Ab)=0即指A與B不相交,則B只能躲藏于A的內(nèi)部,這樣可以得到B A .同理根據(jù) 條件可以得到AM B 顯然由A B且BA,可以得到A = B ,即可選C.這就是畫圖的妙用腦子里很難想明白的關(guān)系,紙上一畫圖,有豁然開朗的感覺,考生們不妨一試解題技巧之五:證偽排除法數(shù)學(xué)上的證偽就是舉反例比如證明條件(1)充分需要數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的證明,但如果我們能找出某個(gè)例子滿足條件(1)
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