2013年高考北京文科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、精品文檔2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)(文科)第一部分(選擇題共40分)、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).(1)【2013年北京，文(A) 0【答案】B【解析】 1,0,1 I x|(2)【2013年北京，文1,12,(A) ac bc【答案】D【解析】：A選項(xiàng)中若c5分】已知集合A(B)1, 0x 1= 1,0,故選5分】設(shè)a , b , c1, 0,B.R,且小于等于0則不成立，B選項(xiàng)中若數(shù)則不成立，故選 D.(3)【2013年北京，文3,(A) y 1 x【答案】C【解析】A選項(xiàng)為奇函數(shù)，(4)【201

2、3年北京，文4,(A)第一象限【答案】AB x|(C) 0,(C) a2a為正數(shù)5分】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間x(B) y e(C) yb2AI B(D)1,0,1(D)b為負(fù)數(shù)則不成立，C選項(xiàng)中若a, b均為負(fù)(0,)上單調(diào)遞減的是(D) y1gxB選項(xiàng)為非奇非偶函數(shù)，5分】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(B)第二象限D(zhuǎn)選項(xiàng)雖為偶函數(shù)但在(0,)上是增函數(shù),故選C.【解析】i(2 i) 1 2i ,其在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為(5)【2013年北京，文5, 5分】在ABC 中，ai(21,23,i)對應(yīng)的點(diǎn)位于( (C)第三象限(D)第四象限(B)【解析】根據(jù)正弦定理,a bsin A sin Bb-si

3、n A a(6)【2013年北京，文6,(A) 15分】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,2(B) 23【解析】依次執(zhí)行的循環(huán)為S 1, i 0;【2013年北京，文7,5分】雙曲線232 ym1(A) m2【答案】C(B) m【解析】該雙曲線離心率1 m丁,由已知(8)【2013年北京，文8,5分】如圖，在正方體點(diǎn)，則P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有(A) 3 個(gè)(B) 4 個(gè)該點(diǎn)位于第一象限，故選15, sin A -,貝U sinB3(C)A.(D)故選B.輸出的S值為(C)1321(D)610987Q 13.S , i212,故選C.1的離心率大于&的充分必要條件是(C) m 1(D)mV2,ABC

4、D)(C) 5 個(gè)故m 1,故選C.(D) 6 個(gè)ABGDi中，P為對角線BDi的三等分8歡在下載精品文檔【答案】B【解析】設(shè)正方體的棱長為a.建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則D 0,0,0C(0,a,0), B(a,a,0), B(a,a。), A a,0,0 , A(a,0, a),uurPB4 24 24a-a- a9992uuljuPDi凡 a ,32擊a , 3uurPDPCiPCI二、填空題：共PAiuuura, PB11a4 21 2一a a99124 2-a- a994 2- a9_6飛第二部分(非選擇題6小題，每小題5分，共30分.(9)【2013年北京，文9,5分】若拋物線

5、y2 2 Px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】2;1【解析】根據(jù)拋物線定義 p 1 , p 2 ,又準(zhǔn)線方程為x2(10)【2013年北京，文10, 5分】某四棱錐的三視圖如圖所示，【答案】3【解析】由三視圖知該四棱錐底面為正方形，其邊長為3,Di，D(0,0, a),G(0,a, a),a ,故共有4個(gè)不同取值，故選B.共110分)(1,0),則 P,準(zhǔn)線方程為X 1.2則該四棱錐的體積為四棱錐的高為1,根據(jù)體積公式1V - 3 3 1 3(11)【2013年北京，文和Sn【答案】2; 2n1 23,故該棱錐的體積為5分】若等比數(shù)列3.an滿足a2a, 20, a3 a 40,則公比【解析】由題意知qa

6、3a5%a4402 由a? a,202a2(1q )2、aq(1 q ) 20 , . . a12 .二. S(12)【2013年北京,文12,x5分】設(shè)D為不等式組 2x所表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)0(1,0)之間的距離的最小值為.【答案】2-25【解析】區(qū)域D表示的平面部分如圖陰影所示： 根據(jù)數(shù)形結(jié)合知1,0至ij D的距離最小值為1,0到直線2x-y=0的距離|2 ： 0| 5(13)【2013年北京，文13, 5分】函數(shù)f(x)log1 x,22x,的值域?yàn)椤敬鸢浮?，2)【解析】當(dāng)x 1時(shí)，log1x2(14)【2013年北京，文log 11 ,即 10gl x 0 ,當(dāng)x 1

7、時(shí),(1【答案】3uur【解析】AP2,uuuAB14, 5 分】向量 A(1, 1), B(3,0),1)的點(diǎn)P組成，則D的面積為C(2,1),若平面區(qū)域uuruuruuruuuAC ,AB2,1 , AC1,2 .設(shè) P(x,y)，則 APx0 IB32uuuD由所有滿足APuurABuurAC卜山八AA3 r精品文檔可彳導(dǎo) A 3,0 , Bi 4,2 ,兩直線距離d |9 6| .22 12x y 33, , 12y x 33C1 6,3 ， A bi2x yx 2y9 , 一9,如圖.32 曲,21(2cos x 1)sin2x cos4x .三、解答題：共 6題，共80分.解答應(yīng)寫

8、出文字說明，演算步驟或證明過程.(15)【2013年北京，文15, 13分】已知函數(shù)f(x)(1)求f (x)的最小正周期及最大值;若(_,),且f()吏，求的值.22解:(1) f (x)2(2cos x 1)sin2x1一 cos4x21cos2xsin2x -cos4x21一 sin4x21一 cos4x2-sin(4x24)所以，最小正周期T24(2)因?yàn)閒()4n(424),當(dāng) 4x 2k k Z ,即 x242巫，所以sin(4 -) 1 ,因?yàn)橐?42k Z 時(shí), 16一 9，所以9- 44f (x)max_ 1744,22所以4 5-,即 9_ .日共6天的空氣質(zhì)量優(yōu)良,日期空

9、氣質(zhì)量指數(shù)4216(16)【2013年北京，文16, 13分】下圖是某市 3月1日至14日的空氣質(zhì)量指 數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良， 空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200表示空氣重度污染.某人隨機(jī)選擇3月1日至3月15日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天.(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率；(2)求此在在該市停留期間只有 1天空氣重度污染的概率；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明) 解：(1)在3月1日至3月13日這13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13所以此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率是13(2)解法一：日，或根據(jù)題意，事件 此人在該市

10、停留期間只有 1天空氣重度污染”等價(jià)于 此人到達(dá)該市的日期是5日，或7日，或8日”.所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為 .13解法二：此人停留的兩天共有 13種選擇，分別是：1,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5 , 5,6 , 6,7 , 7,8 , 8,9 , 9,10 , 10,11 , 11,12 , 12,13 , 13,14 ,其中只有一天重度污染的為4,5 , 5,6 , 7,8 , 8,9 , 一. , 一、 ,4共4種，所以概率為P2 . 13(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.(17)【2013年北京，文17, 14分】如圖，在四棱錐 P

11、 ABCD中，AB/CD, AB AD , CD 2AB,平面PAD 底面ABCD, PA AD , E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1) PA 底面 ABCD ;(2) BE/平面 PAD;(3) 平面BEF 平面PCD .解：(1)因?yàn)槠矫鍼AD 底面ABCD,且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線 AD , PA 底面ABCD .(2)因?yàn)锳B/CD , CD 2AB, E為CD的中點(diǎn)，所以 AB/DE ,且 AB DE .所以ABED為平行四邊形.所以BE/AD .又因?yàn)锽E 平面PAD , AD 平面PAD ,所以BE/平面PAD .(3)因?yàn)锳B AD ,而且 ABED為平行四邊形，所

12、以 BE CD , AD CD .由(1)知PA 底面ABCD,精品文檔所以PA CD .所以CD 平面PAD .所以CD PD .因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn), 所以PD / /EF .所以CD EF .所以CD 平面BEF .所以平面 BEF 平面PCD .(18)【2013年北京，文18, 13分】已知函數(shù) f(x) x2 xsinx cosx .(1)若曲線y f (x)在點(diǎn)(a, f (a)處與直線y b相切，求a與b的值；(2)若曲線y f(x)與直線y b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求 b的取值范圍.解：(1)因?yàn)榍€y f x在點(diǎn)(a, f a )處與直線y b相切，所以f a a

13、2 cosa 0 , b f a 解得 a 0 , b f 01.(2)解法一：令f x 0,得x 0 . fx與f x的情況如下：x(,0)0(0,)f x-0+f x1A所以函數(shù)f x在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增，f 0 1是f x的最小值.當(dāng)b 1時(shí)，曲線y f x與直線y b最多只有一個(gè)交點(diǎn)；2當(dāng) b 1時(shí)，f 2b f 2b 4b 2b 14b 2b 1 b, f 0 1b,所以存在Xi2b,0 , x 0,2 b ,使得f X f x2 b ,由于函數(shù)f x在區(qū)間(，0)和(0,)上均單調(diào)，所以當(dāng)b 1時(shí)曲線y f x與直線y b有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn).綜上可知

14、，如果曲線 y f x與直線y b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1,).解法二：因?yàn)? cosx 0,所以當(dāng)x 0時(shí)f(x) 0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x 0時(shí)f(x) 0, f(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x 0時(shí)，f(x)取得最小值f(0) 1,所以b的取值范圍是(1,).2(19)【2013年北京，文19, 14分】直線y kx mm 0 , W : y2 1相交于A, C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原4 點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),且四邊形OABC為菱形時(shí)，求 AC的長；(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是 W的頂點(diǎn)時(shí)，證明四邊形 OABC不可能為菱形.解：(1)因?yàn)樗倪呅?OABC為菱形，所以 AC與O

15、B相互垂直平分.1 2所以可設(shè)A t,1 ,代入橢圓方程得 L 1 1,即t 73.所以AC 243.2 4 4(2)解法假設(shè)四邊形OABC為菱形.因?yàn)辄c(diǎn) B不是W的頂點(diǎn)，且ACOB,所以k2 x 0.由y4y2 4, kx m消y并整理得1 4k22.8kmx 4m 4設(shè) Nx, y1),C(x2, y2) ,4km2-)1 4k2y22,X1 X2 k2丁所以 1 4k2AC的中點(diǎn)為M4 km211 4k 1m24k因?yàn)闉锳C和OB的交點(diǎn)，且m 0, k ，一 ，一， 10 ,所以直線OB的斜率為 4k因?yàn)樗援?dāng)點(diǎn)1 ,所以AC與OB不垂直.所以四邊形 OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾.4kB

16、不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形 OABC不可能是菱形.解法二：因?yàn)樗倪呅?OABC為菱形，所以 OA |OC ,設(shè)OAOC r r1，則A , C兩點(diǎn)為圓x22X橢圓y2 1的交點(diǎn)，聯(lián)立方程 x244互為相反數(shù).因?yàn)辄c(diǎn) B在W上，若A,2r,得1224(r1)3C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)，所以A, C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或B應(yīng)為橢圓的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn).不精品文檔合題意.若 A, C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)B應(yīng)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).不合題意.所以四邊形OABC不可能為菱形(20)【2013年北京，文20, 13分】給定數(shù)列 為，a2, L L , an,對i 1,2,3,L ,n 1 ,該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值

17、記為A ,后n i項(xiàng)ai 1 , ai 2, L L , an的最小值記為 Bi , di A Bi .(1)設(shè)數(shù)列an為3, 4, 7, 1,寫出d2, d3的值;(2)設(shè),a2, L L , an ( n 4 )是公比大于1的等比數(shù)列，且 & 0 ,證明d1，d2, L L , dn 1是 等比數(shù)列；(3)設(shè)d1，d2, L L , dn1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1 0,證明& , a?, L L , an 1是等差數(shù) 列.解：(1) & AB13 1 2 ,d2A2B24 1 3,d3A3B37 1 6.(2)因?yàn)閍2, L L , an ( n 4 )是公比大于1的等比數(shù)列，且 &

18、 0,所以an aiqn 1.所以當(dāng)k 1,2,3,L ,n 1時(shí)，dk人民ak a 1 ,所以當(dāng)k 2,3,L,n 1時(shí)，n1是等比數(shù)列.0d1d2 L dn 1 ,R dk,與已dk ak ak 1 akq(1 q) dk 1 ak 1 ak ak1(1 q)(3)解法一：若d1, d2 , L L , dn1是公差大于0的等差數(shù)列，則 d , a2, L L , %1應(yīng)是遞增數(shù)列，證明如下：設(shè)ak是第一個(gè)使得ak ak1的項(xiàng)，則Ak 1 A, R 1知矛盾.所以，a1，a2, L L ,an 1是遞增數(shù)列.再證明 顯然k 因而kan數(shù)列an中最小項(xiàng)，否則1,2,否則d1 A1 此時(shí)考慮dkB1綜上，解法二:dkA Bkakanak B 民1a1a1k 2,3,L0,與d,n1),則0矛盾；Ok2