2020年河南省中考數(shù)學(xué)壓軸題專題07圓中證明及存在性問題

1、中考專題07圓中證明及存在性問題題型一：全等及存在性耳題圓中證明及存在性問題 、一題型二：切線及存在性問題題型三：相似與存在性問題典例剖析【例1】(2019 河南南陽一模)如圖，已知。A的半徑為4, EC是圓的直徑，點 B是。A的切線CB上一個動點，連接 AB交OA于點D,弦EF/ AB連接DF AF.(1)求證： AB室 ABF(2)當(dāng)/ CAB 時，四邊形 ADF時菱形;(3)當(dāng)AB=時，四邊形 ACB兩正方形.EC【分析】（1）由 EF/ AR 得/ EFA=Z FAB / CAB/AEF 又/ AEF=Z AFE 得：/ BAB/ BAF 又 AB=ABAGAF,證彳# AB白 ABF

2、 （2）連接FC,根據(jù)ADF時菱形，確定出/ CAB勺度數(shù)；（3）由四邊形 ACBF!正方形，得 AB= - 2 AC=4 . 2 .【解析】解：（1） ; EF/ AB ./ EFA=Z FAB / CAB/AEF. AE=AE ./ AEF：/AFE/ BAG/ BAF又 AB=AB AG=AF,. AB室 ABF (SAS;如圖，連接FG,四邊形ADFE菱形， . AE=EF=FD=AD GE=2AE / GF=90 , / EGF=30 , / GEF=60 , EF/ AB/ AEf=Z GAB=60 , 故答案為：60° ;(3)由四邊形 AGB喔正方形，得 AB= 2

3、AG=4 2 .【變式1-1(2019 開封二模)如圖，在 ABD43, AB= AD, AB是。O的直徑，DA DB分別交。O于 點 E、G,連接 EG OE OG(1)當(dāng)/ BAD銳角時，求證： OBR OEG (2)填空：若AB= 2,則 AOE勺最大面積為 ;當(dāng)DA與O O相切時，若 AB=應(yīng)，則AG的長為.1【答案】（1）見解析；（2） 1 ; 1.2【解析】解：（1）連接AC.AB是。O的直徑，.ACLBDAD= AB/ BAG= / DACBC= EC又.ob=oe oeoc. .OB仁 AOEC (SSS,; AB= 2,OA= 1,設(shè)AAOE勺邊OA上的高為x,1 一 . S

4、L aoe= OA< h2=1 h,2要使Saao最大，需h最大，點E在OO±, h最大是半徑,即：h最大=1 Sk AOE最大為： ；2如圖所示，當(dāng)DA與。O相切時，則/ DAB= 90° ,. AD- AB= 22 , /AB民 45 ,.AB是直徑， ./ADB= 90 , . AC= BG= -2 AB=1. 2【例2】(2019 濟(jì)源一模)如圖， ABC中，ABAC以AB為直徑的。O與BC相交于點 D 與CA 的延長線相交于點 E,過點 D作DN AC于點F.(1)試說明 DF是。O的切線；(2)當(dāng)/ C=。時，四邊形 AODF為矩形；當(dāng) tanC=時，AG

5、3AE【答案】見解析【解析】解：(1)證明：連接OD. OB=OD. ./ B=/ODB. AB=AC.Z B=ZC, / ODBZ C,OD/ AC. DH AC. ODLDF 點 D在OO上，.DF是。O的切線；(2) 45° ,理由如下：由四邊形AODF；矩形，得/ BOD90。，/ B=45 , ./ C=ZB=45 ,故答案為：45° ;.2(3),理由如下，2連接BE.AB是直徑， / AE&90 ,. AB=AC AC=3AEAB=3AE CE=4AEBA-AE" =8 A=,即 BE=2 .2 AE在 RtABEO, tanC=比 2&am

6、p;CE CE 4CE 2故答案為：立.2【變式2-1（2019 安陽一模）如圖，在 ABC, AB=AG4,以AB為直徑的。O交BC于點D,交AC1于點E,點P是AB的延長線上一點，且/ PD囪一/A,連接DE OE2（1）求證：PD是。0的切線.（2）填空：當(dāng)/ P的度數(shù)為 時，四邊形 OBDEI菱形；【答案】（1）見解析；（2） 30; 2戰(zhàn) 2.【解析】解：（1）連接0DP入入,1，. OB=OD /PDB： / A,2，-，。1 ，。，/ODB/ABD=90/A=90 -Z PDB2 / ODBZ PDB=90 , / ODP90 ,. ODO O的半徑，PD是O O的切線.(2)3

7、0° ,理由如下：ZP=30° ,貝U/ BOD60 , . BOD1等邊三角形， / ADR30 , / A=60 , .AO區(qū)等邊三角形，即/ AO巨60° , / EOD60 ,， ODE等邊三角形，OB=BD=DE=OE即四邊形OBDEI菱形；連接BE AD如上圖，AB為直徑, / ADB90 ,即 ADL BC / AEB=90 ,. AB=AQ.D為BC中點，. S DCE= & BCE）/ BAG45 ,.AE=BE AB%等腰直角三角形，. AB=AC=4, . AE=BE=2 2 , CE=4- 2 2,Sk DCE= SL BCE,2=

8、1 x 1 BE. CE22=1 x 1 x 2 應(yīng) x （ 4- 2點）22=2 2 2 .【例3】(2019 洛陽三模)如圖， AB是。O的直徑，點 C是。O上一點，AD和過點 C的切線互相 垂直，垂足為 D,直線 DC與AB的延長線相交于點 P.(1)求證：AC=AD- AB.(2)點E是/ ACB所對的弧上的一個動點(不包括A, B兩點)，連接 EC交直徑 AB于點F, /DAF64 .當(dāng)/ ECB。時， PCF為等腰三角形；當(dāng)/ ECB。時，四邊形 ACBE為矩形.【答案】見解析.【解析】解：（1）連接OC。比切線，. OCL CDADL CD . OC/ AD / ACO/ CAD

9、. OA=OC/ ACO= / CAO/ CAD/ CAO.AB為直徑， / ACBZ D=90 , . ACH ABCAD AC, AC AB即：AC=AD- AB(2)45;58,理由如下:./ P=26 , / CAB/ DAC32 ,/ CF既4ACF的外角， / CFP32 ,即/ CFA/ P,由/ PCB/CAB32 ,知/ FCB/PC學(xué) / P,由 PCM等腰三角形，得 POPF, /CFP77 ,，/ACF=45 , / EC&90 / ACF=45 ,故答案為：45 ;由ACBEE矩形，得F與O重合， / ECB90 / ACO90 -32 =58° ,

10、 故答案為：58.【變式3-1(2019 洛陽二模)如圖， ABC內(nèi)接于。0,過點B的切線B曰AC點P是優(yōu)弧AC上 一動點(不與 A, C重合)，連接 PA PB, PC PB交AC于D.(1)求證：PB平分/APC(2)當(dāng) PD=3, PB=4 時，求 AB 的長.B【答案】見解析.【解析】解：（1）證明：連接OB則 OBL BE. BE/ AC.OBL AC，弧 AB=M BG / APB：/ BPCPB平分/ APC(2)由(1)知，/ APB=/BPC. / BAG/ BPC / BAG/ APB. / ABB/ PBA . ABDh PBA.AB BD, PB AB即AB 14 AB

11、AB=2,即AB的長為2.壓軸精練1. (2018 河師大附中模如圖，在R1AABO43, / ACB90 ,以AC為直徑的。O與AB交于點D,過D作。O的切線交CB于E.(1)求證：EB=EC(2)若以點 Q D E、C為頂點的四邊形是正方形，試判斷ABC勺形狀，并說明理由.【答案】見解析【解析】解：(1)證明：連接OD. AC為直徑,/ ACB90 ,BC為。0的切線，, DEO 0的切線，D&CE / ODE90 , / ODA/ EDB90 ,. OA=OD / OAD/ ODA / OAD/ B=90 , ./ B=ZEDBDE=BEEB=EC(2) ABC是等腰直角三角形，

12、理由如下： 四邊形ODE已正方形， / DEB90 ,由(1)知 CEfBE . BED等腰直角三角形，/ B=45 ,/ A=45 ,即 AC=BC又 / ACB90 ,ABC等腰直角三角形.2. (2019 焦作二模)如圖，以 RtABC勺直角邊 AB為直徑作。O與斜邊AC交于點D, E為BC邊的中點，連接DE OE(1)求證：DE是0O的切線.(2)填空：當(dāng)/ CAB：時，四邊形AOE比平行四邊形；連接 OD在的條件下探索四邊形OBED勺形狀為【答案】（1）見解析；（2） 45;正方形.【解析】（1）連接OD BD,AB為直徑，Z BDC/AD=90 ,E為BC的中點，DE=BE=CE.

13、 ODOB OE:OE. OD自 OBE，/ODE/ OBE90 ,. ODL DE即DEO O的切線.DE/ AR(2)若四邊形 AOEDI平行四邊形，則. ./ A=/CDE / CDE/C, ./ A=ZC, . Z AB(=90 ,/ A=45由/ A=45 ,得/ ADO45。，即/ DOB90 ,/ EBO/ODE90 ,，四邊形OBE偎矩形， 四邊形AOE史平行四邊形， ./ EOBZ A=45 , / EOBZOEB45 ,OB=BE,，四邊形OBE偎正方形.3. (2019 周口二模)如圖，在RtAABC,/B=90°,AB=6,C葉分/AC皎 AB于點D,點 O在

14、 AC上，以CO為半徑的圓經(jīng)過點 D, AE切。O于E(1)求證：AD=AE(2)填空：當(dāng)/ ACB 時，四邊形 ADOEI正方形；當(dāng)BC=時，四邊形ADCEI菱形.【解析】解：(1)證明：連接OE C葉分/ ACB / OCD/ BCD. OeOD/ OCD/ ODC / ODC/ BCDOD/ BC . / B=90° , / ADO90 , .AD是圓O的切線， .AE是圓O的切線， . AD=AE(2)45;2 百,理由如下：ADOEI正方形，:.OD=AD / OAD45 , / ACB45 ;四邊形ADCE菱形， . AD=CD / CAB/ACD. / BCD/ACD

15、/ CDB60 , / BCD30 , . CD=2BDAB=6, BD=2, BC=2J§,故答案為：45; 2君.4. (2018 信陽一模)如圖， AB是。O的弦，D為半徑OA的中點，過 D作CDL OA交弦AB于點E,交0O于點F,且CE=CB 1)求證：BC是0O的切線； 2)連接 AF, BF,求/ ABF的度數(shù).【解析】解：（1）證明：連結(jié)OBC占CB / CB巨/CEB. CDL OA / DAEZAEB：90 , / CEBZ AED Z DAEZ CBE=90 ,. OA=OB / OABZ OBA / OBA/CBE=90 ,即/ OBC90 , BC是O O的

16、切線； 解：連結(jié) OF OF交AB于H,（見上圖）. DH OA AD=OD . FA=FQ. OF=OA， OAF等邊三角形，/ AO=60 ,1 /abE/aow。.25. （2019 南陽畢業(yè)測試）如圖，在 ACE中，AC= CE。O經(jīng)過點A, C,且與邊 AE CE分別交于點D, F,點B是劣弧AC上的一點，且弧 BOM DF連接AB BC CD求證： CD2AABC【答案】見解析.【解析】證明：連接 DF,. AC= CE / CAI三 / E, 四邊形ACFDJ接于。Q，/CAE/CFD=180 , /CFD/DFE=180 , ./ CAE= / DFE ./ DFE= / E,

17、DF= DE 弧 BC=弧 DF,BC= DFBC= DE四邊形ABC吶接于。O同理可得：/ B= /CDE在 CD序口 ABO43,. AGCE /ABB/CDE BODE. CDE2 AABC6. (2019 濮陽二模)如圖， AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點 A B重合的動點，PC/ AB點M是OP中點.(1)求證：四邊形 OBC區(qū)平行四邊形；(2)填空：當(dāng)/ BOP=時，四邊形 AOC謔菱形；連接BP,當(dāng)Z ABP=時，PC是OO的切線.AOB【答案】（1）見解析；（2） 120; 45.【解析】（1）證明：.PC/ AB, / PCIW / OAIM / CPIM= / AOM

18、 點M是OP的中點，.OM= PM . CP陣 AOMPC= OA. OA= OBPC= OB. PC/ AB 四邊形OBC謔平行四邊形. 解：二四邊形 AOC晶菱形，OA= PA. OA= OPOA= OP= PA,.AO提等邊三角形， ./ A= Z AOP= 60 , ./ BOP= 120 ； PC是O O的切線， OPL PC / OPe 90. PC/ AB ./ BOP= 90 ,. OP= OB ./ABP= Z OPB= 45° .7. （2019 南陽模擬）如圖， AB為。O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點，連接 OF并延長交弧 AC于點D,過 點D作。O的切線，交BA的

19、延長線于點E.（1）求證：AC/ DE（2）連接AD CD OC填空當(dāng)/ OAC勺度數(shù)為時，四邊形 AOC四菱形；當(dāng) OA= AE= 2時，四邊形 ACDE勺面積為.【答案】（1）見解析；（2） 30; 273 .【解析】（1）證明：.F為弦AC的中點， . AF= CF OF過圓心 O. FOL AC即/ OFA90 , DE是OO切線，. ODL DE即/ EDO90 ,DE/ AC（2）當(dāng)/ OAC= 30。時，四邊形 AOC遑菱形，理由如下:連接CD AD OC./OAC= 30 , OF! AC / AOa 60°. AO= DO / AO三 60° .ADO1等

20、邊三角形. AF，DO. DF FO AF= CF 四邊形AOCDI平行四邊形. AO= CO，四邊形AOCDI菱形.連接CD. AC/ DE OA=AE=2,. OD- 2OF DE= 2AF. AC=2AFDE= AC 且 DE/ AC，四邊形ACDE1平行四邊形. OA= AE= OD- 2 .OF= DF= 1, OE= 4在RtA OD即，由勾股定理得： DE= 2百，S四邊形ACD匚 DEX DF= 23X1=23答案為：2 .3.8. （2019 商丘二模）如圖，在 RtAABC, / BAC= 90° , / C= 30° ,以邊上 AC上一點O為圓心, O

21、A為半徑作。Q OO恰好經(jīng)過邊BC的中點D,并與邊AC相交于另一點 F.(1)求證：BD是0O的切線.（2）若AB=邪,E是半圓AGFk一動點，連接 AE AQ DE填空：當(dāng)弧AE的長度是 時，四邊形 ABD國菱形；當(dāng)弧AE的長度是 時，4AD蕾直角三角形.瓦I CG 2 【答案】（1）見解析；（2）;或支【解析】（1）證明：連接OD在 RtAABC, / BAG= 90 , / C= 30 ,AB= IBC 2.D是斜邊BC的中點，一 1 八BD= 1BC 2AB= BD ./ BAD= / BDA. OA= OD ./ OAD= / ODA .Z ODB= / BAO= 90 ,即 ODL

22、 BCBD是O O的切線.（2）若四邊形 ABDE1菱形，連接 OE貝U AB/ DE / BA090 , DEL AC得：AD= BD= AB= CD= 1 BG= J3 , 2ABD等邊三角形， OD= 1, ./ADB= 60 ,CDE= 60° , .Z ADE= 180° -Z ADEB- Z CDE= 60 , ./ AOE= 2/ AD號 120 ,弧AE的長度為：1201 =-180,2故答案為：；3 AD為弦(不是直徑)，/AE拱 90 ,(i )若/ ADE= 90。，則點E與點F重合，弧AE的長度為：180一1 =式;180(ii )若/ DAE= 9

23、0° ,則 DE是直徑，則/ AOE= 2Z ADO= 60° ,弧AE的長度為：60一11801故答案為：一汽或汽.39. (2019 開封二模)如圖,在 R1AABO43, / ACB= 90° ,以點 A為圓心，AC為半徑，作。A,交AB于點D,交CA的延長線于點 E,過點E作AB的平行線交。A于點F,連接AF, BF, DF.(1)求證： AB挈 ABF(2)填空：當(dāng)/ CAB=。時，四邊形 ADF時菱形;在的條件下，BC=cm時，四邊形 ADFE勺面積是63cn2.【答案】（1）見解析；（2）60;6.【解析】（1）證明：.EF/ AB,/ E= / C

24、AB / EFA= / FABAE=AE/ E= / EFA ./ FAB= / CAB又. AFCA AB=AB. / AB挈 ABF（2）當(dāng)/ CAB= 60°時，四邊形 ADFE菱形.由/ CAB= 60 ,得/ FAD= / EAF= 60 ,EF= AD= AE=DF四邊形ADF國菱形.四邊形 AEFD1菱形，/ AEF= Z CAB= 60° , AE2 6/3, 2AE= 2.3, . AC=2 3 ,BC= 3AC=6.10. （2019 名校模考）如圖，在 RtAABO, Z ACB= 90° ,以直角邊 BC為直徑作。Q交AB于點D,E為AC的中點，連接DE（1）求證：DE為。的切線；（2）已知BC= 4.填空：當(dāng)DE=時，四邊形DOCE；正方形；當(dāng)DE=時， BOW等邊三角形.【答案】（1）見解析；（2） 2; 2 J3.【解析】（1）證明：連接CD OE BC為O O的直徑， ./ BDC= 90° , DE為RtADC勺斜邊AC上的中線，DE=CEAEO氏 CC