2020屆東北三省高三第二次聯(lián)合模擬數(shù)學(理)試題(解析版)

1、2020屆東北三省高三第二次聯(lián)合模擬數(shù)學(理)試題一、單選題1.設(shè)集合4 = 聞/ + 6工+80,則4口8=()A.(吟一2)B. (-3,-2)C. (-3,+8)D. (-4,-2)【答案】B【解析】先化簡集合A，6 ,再進行交集運算【詳解】4 = 尤1-4工-3,入門8 =卜|-3 x0 貝！)()A. 0.2“0.2B. lg(fl-Z?)lg/?L /T11C. ya y/bD. 6得0.2“ 0,排除C,故選：D【點睛】本題考查函數(shù)圖像的識別，結(jié)合奇偶性及特值排除是常見方法，是基礎(chǔ)題5.“仁義禮智信”為儒家“五?！庇煽鬃犹岢觥叭?、義、禮”，孟子苑伸為“仁、義、禮、智”, 董仲舒擴

2、充為“仁、義、禮、智、信”.將“仁義禮智信”排成一排，“仁”排在第一一位，且“智 信”相鄰的概率為（）1132A. B. -C. D.一105105【答案】A【解析】利用特殊元素及捆綁法得“仁”排在第一位，且“智信”相鄰的排法有內(nèi)段種排法, 利用古典概型求解即可【詳解】“仁義禮智信”排成一排，任意排有種排法，其中“仁”排在第一位，且“智信”相鄰的排法 有4； 4；種排法，故概率P = 竿 = 故選：A【點睛】本題考查排列問題及占典概型，特殊元素優(yōu)先考慮，捆綁插空是常見方法，是基礎(chǔ)題6.兩個單位向量滿足：（家一29（1 +砍=一；,則1,公的夾角的余弦值為（） 乙1 111A. -B.C. D.

3、2244【答案】B1【解析】利用數(shù)量積運算求得6乙,再利用夾角公式運算-2【詳解】故選：B【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，意在考查計算能力，是基礎(chǔ)題7.已知A6C的面積為2jlA8 = l,cos3 = 4MBC=（）23A.屈B.屈C. 741而【答案】C【解析】利用二倍角公式及平方關(guān)系求得COS A,sinA,由面積公式求出AC = 6,再由余弦定理求解即可【詳解】因為 cos 4 =坦 . cos A = 2 cos2 -l = -i,smA = /l-cos2 A =ABC23233的面枳為-A6ACsin A = 2a,又A3 = 1,所以AC = 6,由余弦定理， 2得，BC =

4、 AB- + AC2- 2 A6ACcos A = 41,8C =屈故選：C【點睛】本題考查正余弦定理，考查面積公式，意在考查計算能力，是基礎(chǔ)題8 .在三棱柱ABC - AB中,AA 1平面ABC, AB 14。,AAl = BC = 2AB，則異面 直線A6與所成角的余弦值為（）【答案】D【解析】先證明A5_L平面88C,再將棱柱可以補成長方體，連接則AW/CDJBg 是Afi與8c所成角或其補角，利用余弦定理求解即可【詳解】A4 1 平面 ABC,:.例 AB,-：BB11 AB,v AB 1 BC，BBiCB =A6 _L平面BB.C.C,:.三棱柱可以補成長方體ABC。A4GA，連接C

5、，4R,則A6/CR,.是 妙 與6c所成角或其補角,令 =1,則M = 8C = 2,在60。中.4 =CR = JI4c = 25/2,由余弦定理得cos ZRCD =- 1 15故選：D 【點睛】本題考查線面垂直的判定及性質(zhì)，考查異面直線所成角，三棱柱補成四棱柱是常見方法 29 .已知雙曲線C ：三一 y2 = 1的右焦點為尸，漸近線為4/，過點F的直線/與乙/的交 8點分別為46.若AS，/?,則|人用=（）16181113A. B. C D.7755【答案】A【解析】將直線方程聯(lián)立求得A今,-孚，半）利用兩點間距離公式計算【詳解】由題尸（3,0）,/的方程為y =3 x,過尸與/，垂

6、直的直線AB的方程為2第17頁共17頁y = -20x-3),由 y =y = -2點(1-3)聯(lián)立得 A 廠，由4i)y =孝工,)，=一2jT(x-3)聯(lián)立得故選：A【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程，考查直線交點及兩點間距離，考查計算能力，是基礎(chǔ)題10.若x) = cosx-JJsmx在一0可上是減函數(shù),則實數(shù)。的取值范圍是()(c 7rlfn 兀fn 冗一A. 0,-B. 0,-C. 0,-D. 0,-l 6(4I 32j【答案】C/ 萬、【解析】化簡/(文)=2cos x+-,求得單調(diào)減區(qū)間，利用集合的包含關(guān)系求解【詳解】(九、rr2乃/(%) = 2cos x+,令2k;r(x+2

7、&乃+),解得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,k G Z,由題意知 CI 。 0 6F AD= D, BC. ADC 平面,ABC,:. PA _L 平面 ABC;以。為原點,DA、oc方向為x，y軸的正方向，過。平行于AP的直線為z軸,建立如 圖所示空間直角坐標系，則 A（LO、O）,5（O,-2,O）,C（O,2,O）,P（LOJ）PB = （-l-2- l）,PA = （0,0,-l）,PC = （-l,2- 1）,設(shè)平面PBC的一個法向量為m =（X, y,z）,則?尸月=.nuPC = 0,一 x-2y-z = -x+2y-z = 0,同樣可求得平面PAB的-個法向量 =（2,1,0）,面角A-

8、PB-C的正弦值為巫一 3【點睛】本題考查線面垂直的判定，考查二面角的向量求法，考查推理能力及空間想象能力，是 中檔題18.“移動支付、高鐵、網(wǎng)購、共享單車”被稱為中國的“新四大發(fā)明。為了幫助50歲以上的中老年人更快地適應(yīng)“移動支付”，某機構(gòu)通過網(wǎng)絡(luò)組織50歲以上的中老年人學習移 動支付相關(guān)知識.學習結(jié)束后，每人都進行限時答卷，得分都在50,100內(nèi).在這些答卷（有 大量答卷）中，隨機抽出200份，統(tǒng)計得分繪出頻率分布直方圖如圖.求出圖中。的值，并求樣本中，答卷成績在80,90）上的人數(shù);以樣本的頻率為概率，從參加這次答卷的人群中，隨機抽取4名，記成績在80分以上（含80分）的人數(shù)為X ,求X

9、的分布列和期望.【答案】（1）a = 0.005 ： 60（2） X的分布列為X01234P8162521662521662596625166252 gX的數(shù)學期望為七（X） = 4x = m【解析】（1）利用面積和為1求得。= 0.005進而求得頻率則人數(shù)可求（2）建立二項分布求得分布列及期望【詳解】解：（1）依題意,（2i+ 3a + 7a + 6a+ 2a）xl0 = l,故 =0.005故成績在80,90）上的頻率為60。= 0.3,答卷成績在80、90）上的人數(shù)為200x0.3 = 60;2（2）由樣本的頻率分布直方圖知成績在80分以上（含80分）的頻率為80。=不（2、依題意,X

10、5 4,三故3。）=喉）0乳哉小山啕曾嚷尸（X=2） = C：（|j（|j=|,P（X=3） = C：（|）|） =急P（X=4） =|j（|J=葛所以X的分布列為X01234P8162521662521662596625166252 gX的數(shù)學期望為石（X） = 4x = m【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考杳二項分布，熟練掌握二項分布是關(guān)鍵，是中檔題19.已知數(shù)列a和也滿足可= +1 = 2,=3bn + 4-1也* = 34 -4 +1（1）求證：+4是等比數(shù)列,4 -4是等差數(shù)列（2）求數(shù)列an和色的通項公式【答案】（1）見解析+ 2n-l .3n -2n +1（2） a =,b

11、 =22【解析】（1）解方程組得見乜+%1=3（4+）,4+=3（或卬）+8 2,并構(gòu)造 4n+i -+1 -2（ + 1） + 1 = -3（。 一或 一2 + 1）,即可證明（2）利用（1）得/+4=3,。”一以=2-1,解方程組求得通項公式【詳解】（1）證明:=” + 1 = 2,二4+4 =3,可_ = 1, %+】=3。+ 4 1 也丑=3an- 4 +1% + %】=3 （% + ）,* - %=3 （% ）+8 2. 凡+ bti是首項為3,公比為3的等比數(shù)列， /h - b.i 2 - 1 = 3 （2 - q J + 8 - 2 - 2 - 1 二 一3 （an - ）+ 6

12、 一 3二%+% - 2 （ +1） +1 = -3 （q一- 2n+1） 。1一4 - 2x1 + 1 = 1-2 + 1 = 0-2 +1 =- b,i - 2 （ -1） +1 = -3 x 0 = 04+】一I -2（+1）+1 = -3（“ 一 一 2 +1） = -3x。= 0 （%）-（%-）-2 =。 +J 一 （。 一 ） 二 2. q是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）知，an + blt = 3”,4. 一b”=2n l. 2% = 3 + 2 一 1,2bn = 3 - 2 +13n+ 2/7-1 .3”一2 + 1二 % = -5也二 乙乙【點睛】本題考查利

13、用遞推關(guān)系證明等差與等比數(shù)列，考查變形求解能力，熟記等差與等比的定義與性質(zhì)是關(guān)鍵，是中檔題22120.已知橢圓C ： +今=1（。 0）的右焦點為尸，離心率為5，直線/ ： y = X被橢圓截得的弦長為呼I（I）求橢圓C的標準方程（2）若夕是橢圓C上一點,。是坐標原點，過點F與直線/平行的直線與橢圓C的兩個交點為A,BOP = AOA + pOB，求 W 的最大值【答案】C 1【解析】（1）利用一=得a = 2c,b = ,設(shè)橢圓方程，與直線聯(lián)立 a 2由弦長公式得c=l,方程可求（2）過尸與直線平行的直線方程y = x-1,與橢圓聯(lián)立韋達定理得88+X2=-,XkX2=-,向量坐標化得夕（九

14、占+,;1乂+為），代入橢圓方程，利用點在橢圓上整體代入得4? +2 -與/ = 1，結(jié)合基本不等式求最值即可【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2,則 = a1) f ,*一，。-=/r + c-2:.a = 2c,b = yf3c 橢圓。的方程化為3r+ 4儼=12c） = x田） ，12c2r， 一 ，一得廠=廠=3r+4）廠=12廠7由條件知77=半，竿=嵯c = 1,。= 2,b = W.橢圓C的方程為土 十二=1.43（2）由（1）知尸（L0）,過F與直線平行的直線方程y = x-（y = x-l由， ，_得7/-8工一8 =。3廠+4）廠=1288設(shè) A（X，兒）,6（毛,%）,則為

15、十 七=,x,x2=-/ OP = AOA + jliOB = （a% + px2 ,Ay + jLiy2）, 尸（彳為 + px2 ,Ay + ）由點P是橢圓c上一點，得3（4% + 工+4（4）; + K=12/. A2（3xJ + 4y；） + /P（3x：2 + 4z） + 62/x1x2 + 84” =12,/ yy2 =（x1-l）（x2-l） =& （X + & ） +1 = -,，3x + 4y/ =+ 4y22 = 12】2210】i.A +4 A/ = 1v/i2 +/2-zl/ = l%- + 4- - 2之,當且僅當 = / = -時，取等號, z- 1,.二 4 27

16、47/的最大值為一4【點睛】本題考查橢圓方程，考查弦長公式，考查向量坐標化及點在曲線上的綜合運用，考查計 算能力及整體代入思想，是難題21.已知函數(shù)/（x） = lnx+o2-2aM /?（1）若/（X）在X =；處取得極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若叫n是函數(shù)/ （x）的兩個極值點，且相 1【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為（og）,單調(diào)減區(qū)間為（J，+s）（2）見解析【解析】（1）求導，由廣（;= 3 + g 2 = 0,得。=一,，進而確定單調(diào)區(qū)間 （2）由尸（力=網(wǎng)_1型（文0） J）有兩個極值點?，,得利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明【詳解】（l）f（x）的定義域為（0,+8）J（x） = L +

17、2ox-2 ,/（X）在x = g處取得極值,./，- =3 + -2 = 0,.r（x） = ：_3x_2 =3x、2x-1_ （x + l）（3x-1）XX0 x ；時,/ 0 ； x；時,/ x） 0,t70,.-. 06? 1得證2a【點睛】本題考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查利用極值證明不等式，考杳轉(zhuǎn)化與化歸能力，是中檔題22.fx = l + 2cosd在平面直角坐標系x。），中,圓C的參數(shù)方程為 八（，為參數(shù)），過點y = -l + 2sm6M（3,1）且傾斜角為。的直線/與圓交于A,8兩點（1）當心回 2應(yīng)時，求a的取值范圍（2）若AB的中點為點P，求點P的軌跡的參數(shù)方程.【答案】

18、（1）aj 0,二 一，/x = 2 + cosOe(0,2/r)(2)y =-I+ sin0【解析】（1）討論直線傾斜角。二2,當aw巳時，利用圓心到直線的距離小于半徑列 22不等式求解（2）利用CP_L43,得夕的軌跡是以CM為直徑的圓,去掉點M ,進而得參數(shù)方程【詳解】（1）圓C的圓心為泮徑為r = 2,當a二三時，直線/的方程為x=3,C到/距離為2,圓C與/相切，不合題意; 2當aw1時，設(shè)直線/方程為+l = &（x-3）即丘y 3女-1 = 0,設(shè)C到/距離為d AB = 2 2忘,.d 應(yīng)，jIl 網(wǎng)7777J_L 近,二 一1 k 1,即 T v tana 1的解集(2)當x (1,2)時,不等式/(x) 1-x成立，求實數(shù)。的取值范圍【答案】-2,0【解析】(1)分類討論去絕對值解不等式(2)去絕對值分離參數(shù)求最值即可【詳解】(1)2時