材料力學(xué)第二章軸向拉伸與壓縮

1、第二章 §21 引言 軸向拉伸與壓縮 橫截面上內(nèi)力 內(nèi)力和應(yīng)力 §22 橫截面上內(nèi)力和應(yīng)力 §23 拉壓桿的強(qiáng)度條件 §2-4 拉壓桿的變形 胡克定律 §2-5 材料拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 §2-6 溫度和時(shí)間對(duì)材料力學(xué)性能的影響 拉伸、 §2-8 拉伸、壓縮超靜定問題 拉壓習(xí)題課 §21 引言 一、概念 軸向拉壓的受力特點(diǎn)： 軸向拉壓的受力特點(diǎn)：外力的合力作用線與桿的軸線重合。 軸向拉壓的變形特點(diǎn)： 軸向拉壓的變形特點(diǎn)： 軸向拉伸：桿的變形是軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短。 軸向壓縮：桿的變形是軸向縮短，橫向變粗。 力學(xué)模型

2、如圖 P 軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的外力稱為拉力。 軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的外力稱為拉力。 P P 軸向壓縮，對(duì)應(yīng)的外力稱為壓力。 軸向壓縮，對(duì)應(yīng)的外力稱為壓力。 P 二、 工 程 實(shí) 例 §22 橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力 一、內(nèi)力 指由外力作用所引起的、 指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi) 力系的合成（附加內(nèi)力）。 力系的合成（附加內(nèi)力）。 二、截面法 · 軸力 內(nèi)力的計(jì)算是分析構(gòu)件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等問題的 基礎(chǔ)。求內(nèi)力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步驟： 截面法的基本步驟： 截開 截開：在所求內(nèi)力處，假想地用截面將桿件切開。 代替：任取一部分，棄去部分對(duì)留下部分的作用

3、，以內(nèi)力 代替 （力或力偶）代替。 平衡：對(duì)留下的部分建立平衡方程，求未知內(nèi)力。 平衡 （此時(shí)截開面上的內(nèi)力對(duì)所留部分而言是外力） 例如： 截面法求N。 P 截開： 截開： A A 簡(jiǎn)圖 代替： 代替： P A 平衡： 平衡： N P P P X =0 PN =0 P=N 2. 軸力 軸力軸向拉壓桿的內(nèi)力，用N 表示。 軸向拉壓桿的內(nèi)力， 表示。 軸向拉壓桿的內(nèi)力 3. 軸力的正負(fù)規(guī)定: 軸力的正負(fù)規(guī)定: N 與外法線同向,為正軸力(拉力) N與外法線反向,為負(fù)軸力(壓力) 軸力圖 的圖象表示。 三、 軸力圖 N (x) 的圖象表示。 意 反映出軸力與截面位置的變化關(guān)系，較直觀； 義 反映出最

4、大軸力的數(shù)值 N P 及其所在面的位置， + 即危險(xiǎn)截面位置，為 強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。 N N N>0 N N N<0 x 例1 圖示桿的A、B、C、D點(diǎn)分別作用著大小為5P、8P、4P、 例 P 的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。 O A PA N1 A PA B PB B PB C PC C PC D PD D PD 解： 求OA段內(nèi)力N1：設(shè)置截面如圖 X = 0 N1 PA + PB P PD = 0 C N1 5P + 8P 4P P = 0 N1 = 2P 同理，求得AB、 BC、CD段內(nèi)力分 別為： N2 B PB N3 C PC C PC N4 D PD D PD D

5、 PD N2= 3P N3= 5P N4= P 軸力圖如右圖 N 2P + 3P 5P + P x 軸力圖的特點(diǎn)：突變值 = 集中載荷 軸力(圖)的簡(jiǎn)便求法： 自左向右: 遇到向左的P ， 軸力N 增量 為正； 遇到向右的P ， 軸力N 增量為負(fù)。 5kN 5kN + 8kN 3kN 8kN 3kN 例2 圖示桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，受分布力 q = kx 作用，方向如圖，試畫出 例 桿的軸力圖。 解：x 坐標(biāo)向右為正，坐標(biāo)原點(diǎn)在 q(x) L x q O 自由端。 取左側(cè)x 段為對(duì)象，內(nèi)力N(x)為： q(x) x qL N kL2 2 Nx 1 x N ( x ) = 0 kx d x = kx 2 2

6、 1 2 N ( x ) max = kL 2 x O 四、應(yīng)力的概念 問題提出： 問題提出： P P P P 1. 內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強(qiáng)度的大小。 2. 強(qiáng)度：內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力； 材料承受荷載的能力。 1. 定義：由外力引起的（構(gòu)件某截面上一點(diǎn)處）內(nèi)力集度。 定義： 集度。 工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定 義不僅準(zhǔn)確而且重要，因?yàn)椤捌茐摹被颉笆А蓖鶑膬?nèi)力集 度最大處開始。 2. 應(yīng)力的表示： 應(yīng)力的表示： 平均應(yīng)力 (A上平均內(nèi)力集度) P M A pM P = A 全應(yīng)力（總應(yīng)力）： 全應(yīng)力（總應(yīng)力）： (M點(diǎn)內(nèi)力集度 點(diǎn)內(nèi)力集度) 點(diǎn)內(nèi)力集度 P d P

7、p M = lim = A dA A 0 全應(yīng)力分解為： 全應(yīng)力分解為： 垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力” 垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力” (Normal Stress)； ) dN N = lim = A dA 0 A 應(yīng)力單位：Pa = N/m2 應(yīng)力單位 M Pa = 106 N/m2 G Pa = 109 N/m2 p M 位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力” 位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”(Shear Stress)。 ) dT T = lim = A dA 0 A 五、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力 1. 變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)： 變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)： 變形前 a c b d 橫截面 受載變

8、形后：各縱向纖維變形相同。 P a´ c´ b´ d´ P 平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。 平面假設(shè)： （直桿在軸向拉壓時(shí)） 均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當(dāng)然均勻分布，即各點(diǎn)應(yīng)力相同。 2. 拉伸應(yīng)力： 拉伸應(yīng)力： P N N = A 軸力引起的正應(yīng)力 ： 在橫截面上均布。 拉正壓負(fù). 3. 危險(xiǎn)截面及最大工作應(yīng)力： 危險(xiǎn)截面及最大工作應(yīng)力： 危險(xiǎn)截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。 危險(xiǎn)點(diǎn)：應(yīng)力最大的點(diǎn)。 N(x) max = m ax( ) A x) ( 4. Saint-Venant原理： 原理： 原理 離開載荷作用點(diǎn)一定距離，應(yīng)力分布

9、與大小不受外載荷作用方 式的影響。 變形示意圖： (紅色實(shí)線為變形前的線，紅色虛線為紅色實(shí)線變形后的形狀。) 應(yīng)力分布示意圖： P P a b c P 5. 應(yīng)力集中（Stress Concentration）： 應(yīng)力集中（ ）： 在截面尺寸突變處，應(yīng)力急劇變大。 §23 拉（壓）桿的強(qiáng)度條件 問題提出： 問題提出： P P 1. 內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強(qiáng)度的大小。 2. 強(qiáng)度：內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力； 材料承受荷載的能力。 一、應(yīng) 力的概念 1. 定義：由外力引起的（構(gòu)件某截面上一點(diǎn)處）內(nèi)力集度。 定義： 集度。 21 P P 工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定 義不

10、僅準(zhǔn)確而且重要，因?yàn)椤捌茐摹被颉笆А蓖鶑膬?nèi)力集 度最大處開始。 2. 應(yīng)力的表示： 應(yīng)力的表示： 平均應(yīng)力 (A上平均內(nèi)力集度) P M A pM P = A 全應(yīng)力（總應(yīng)力）： 全應(yīng)力（總應(yīng)力）： (M點(diǎn)內(nèi)力集度 點(diǎn)內(nèi)力集度) 點(diǎn)內(nèi)力集度 P d P p M = lim = A dA A 0 22 全應(yīng)力分解為： 全應(yīng)力分解為： 垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力” 垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力” (Normal Stress)； ) dN N = lim = A dA 0 A 應(yīng)力單位：Pa = N/m2 應(yīng)力單位 M Pa = 106 N/m2 G Pa = 109 N/m2 p M 位于

11、截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力” 位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”(Shear Stress)。 ) dT T = lim = A dA 0 A 23 二、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力 1. 變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)： 變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)： 變形前 a c b d 橫截面 受載變形后：各縱向纖維變形相同。 P a´ c´ b´ d´ P 平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。 平面假設(shè)： （直桿在軸向拉壓時(shí)） 24 均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當(dāng)然均勻分布，即各點(diǎn)應(yīng)力相同。 2. 拉伸應(yīng)力： 拉伸應(yīng)力： P N N = A 軸力引起的正應(yīng)力 ： 在橫截面上均布。

12、 拉正壓負(fù). 3. 危險(xiǎn)截面及最大工作應(yīng)力： 危險(xiǎn)截面及最大工作應(yīng)力： 危險(xiǎn)截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。 危險(xiǎn)點(diǎn)：應(yīng)力最大的點(diǎn)。 N(x) max = m ax( ) A x) ( 25 4. Saint-Venant原理： 原理： 原理 離開載荷作用點(diǎn)一定距離，應(yīng)力分布與大小不受外載荷作用方 式的影響。 變形示意圖： (紅色實(shí)線為變形前的線，紅色虛線為紅色實(shí)線變形后的形狀。) 應(yīng)力分布示意圖： P P a b c P 5. 應(yīng)力集中（Stress Concentration）： 應(yīng)力集中（ ）： 在截面尺寸突變處，應(yīng)力急劇變大。 26 §23 拉（壓）桿的強(qiáng)度條件 指材料

13、破壞時(shí)的應(yīng)力. 一、極限應(yīng)力jx：指材料破壞時(shí)的應(yīng)力 極限應(yīng)力 靜載: 二、安全系數(shù)n ：靜載 安全系數(shù) 動(dòng)載: 動(dòng)載 n = 1.25 2.5 n = 2 3.5 or 3 9 (危險(xiǎn)性大 危險(xiǎn)性大) 危險(xiǎn)性大 采用安全系數(shù)原因: 1.極限應(yīng)力的差異 極限應(yīng)力的差異. 采用安全系數(shù)原因 極限應(yīng)力的差異 2. 橫截面尺寸的差異 橫截面尺寸的差異. 3.載荷估計(jì)不準(zhǔn) 載荷估計(jì)不準(zhǔn). 載荷估計(jì)不準(zhǔn) 4.應(yīng)力計(jì)算的近似性 應(yīng)力計(jì)算的近似性. 應(yīng)力計(jì)算的近似性 5.構(gòu)件與工程的重要性 構(gòu)件與工程的重要性. 構(gòu)件與工程的重要性 6.減輕設(shè)備自重的要求 減輕設(shè)備自重的要求. 減輕設(shè)備自重的要求 n安全 安

14、全 三、許用應(yīng)力： 許 用應(yīng)力： n經(jīng)濟(jì) 經(jīng)濟(jì) 桿件能安全工作的應(yīng)力最大值 27 = jx n 四、強(qiáng)度條件(拉壓桿)： 強(qiáng)度條件(拉壓桿) max = max( N ( x) ) A( x ) 其中 max-（危險(xiǎn)點(diǎn)的）最大工作應(yīng)力 五、三類強(qiáng)度問題： 三類強(qiáng)度問題： 依強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算： 校核強(qiáng)度： 校核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面尺寸： 設(shè)計(jì)截面尺寸： 確定許可載荷： 確定許可載荷： max Amin N max N max A ; 例3 已知一圓桿受拉力P =25 k N，直徑 d =14mm，許用應(yīng)力 例 =170MPa，試校核此桿是否滿足強(qiáng)度要求。 解： 軸力：N = P =25kN

15、 應(yīng)力： max N 4P 4 × 25 × 10 3 = = 2 = 2 = 162 MPa A d 3. × 0.014 14 強(qiáng)度校核： max = 162MPa < = 170MPa 結(jié)論：此桿滿足強(qiáng)度要求，能夠正常工作。 例4 已知三鉸屋架如圖，承受豎向均布載荷，載荷的分布 例 集度為：q =4.2kN/m，屋架中的鋼拉桿直徑 d =16 mm，許用 應(yīng)力=170M Pa。 試校核剛拉桿的強(qiáng)度。 q 鋼拉桿 8.5m 解： 整體平衡求支反力 q HA RA 鋼拉桿 8.5m RB X m =0 B HA =0 R A = 17.85kN =0 局部

16、平衡求 軸力： q HC 應(yīng)力： RC HA N RA 強(qiáng)度校核與結(jié)論： m C = 0 N = 9.03kN N 4P max = = A d2 4 × 9.03 ×103 = = 44.9MPa 2 3.14 × 0.016 max = 44.9 MPa < = 170 MPa 此桿滿足強(qiáng)度要求，是安全的。 例5 簡(jiǎn)易起重機(jī)構(gòu)如圖，AC為剛性梁，吊車與吊起重物總重 例 為P，為使 BD桿最輕，角 應(yīng)為何值？ 已知 BD 桿的許用應(yīng)力 為。 L x A B 分析： V = ABDLBD; P C ABD N B / ; LBD = h / sin 。 h

17、D L x XA YA 解： A B NB P C BD桿內(nèi)力N( )： 取AC為研究對(duì)象，如圖 mA = 0 , ( N BDsin ) (hctg ) = Px BD桿 軸力最大值: BD桿面積A： N BD N BD A N BD / PL = hcos Px = hcos L x XA YA A B NB P C 求VBD 的最小值： V = ALBD o 2 PL = Ah / sin ; sin 2 = 45 時(shí) , Vmin 2 PL = *拉(壓)桿斜截面上的應(yīng)力 拉 壓 桿斜截面上的應(yīng)力 設(shè)有一等直桿受拉力P作用。 求：斜截面k-k上的應(yīng)力。 采用截面法切開,左部平衡 由平衡

18、方程：P=P P k P k P k P k 仿照證明橫截面上正應(yīng)力均布也可證斜截面 則： p = P A A：斜截面面積；P：斜截面上內(nèi)力。 P P p = = cos = 0 cos A A A 由幾何關(guān)系： cos = A A A = cos 代入上式，得： 其中 0 為 =0 面,即橫截面上的正應(yīng)力. 斜截面上全應(yīng)力： p = 0cos p分解為： p = k P k P P 0 = p sin = 0 cos sin = sin2 2 = p cos = 0 cos 2 k P 反映：通過構(gòu)件上一點(diǎn)不同截面上應(yīng)力變化情況。 k 當(dāng) = 0°時(shí)，( ) max = 0 (橫截

19、面上存在最大正應(yīng)力) 當(dāng) = 90°時(shí)， ( ) min =0 2 當(dāng) = 0,90°時(shí)， | |min =0 0 (45 °斜截面上剪應(yīng)力達(dá)到最大) | 當(dāng) = ± 45°時(shí)， |max = 補(bǔ)充： 補(bǔ)充： 1.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)： 1.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：過一點(diǎn)有無數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面 上的應(yīng)力情況，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 2、單元體： 單元體構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn)的 單元體： 無限小的幾何體，常用的是正六面體。 單元體的性質(zhì)a、平行面上，應(yīng)力均布； M P b、平行面上，應(yīng)力相等。 3、拉壓桿內(nèi)一點(diǎn)M 的應(yīng)力單元體

20、: 拉壓桿內(nèi)一點(diǎn) 的應(yīng)力單元體: 4、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力 取分離體如圖3， 逆時(shí)針為正； 繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正； 由分離體平衡得： = 0 cos 2 = 0 sin cos x 圖3 0 = 2 (1+cos 2 ) 或: = 0 sin 2 2 例6 直徑為d =1 cm 桿受拉力P =10 kN的作用，試求最大剪應(yīng)力， 并求與橫截面夾角30°的斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 解：拉壓桿斜截面上的應(yīng)力，直接由公式求之： P 4×10000 0= = = 127.4MPa 2 A 3.14×10 max = 0 /2=127.4/2=63.7MPa 127.4

21、= (1+cos2 )= (1+cos60)=95.5MPa 2 2 127.4 = sin2 = sin60=55.2MPa 2 2 0 0 例7圖示拉桿沿mn由兩部分膠合而成,受力P，設(shè)膠合面的許用拉 應(yīng)力為=100MPa ；許用剪應(yīng)力為=50MPa ，并設(shè)桿的強(qiáng) 度由膠合面控制,桿的橫截面積為A= 4cm²，試問:為使桿承受最 大拉力,角值應(yīng)為多大?(規(guī)定: 在060度之間)。 m P P 解： P n P 2 = cos L L(1) A P = sincos LL(2) A B 30 60 聯(lián)立(1)、(2)得： B =26.6°,PB =50kN (1)、(2)

22、式的曲線如圖(2)，顯然，B點(diǎn)左 側(cè)由正應(yīng)力控制桿的強(qiáng) 度，B點(diǎn)右側(cè)由剪應(yīng)力控制桿的強(qiáng)度，當(dāng)=60°時(shí)，由(2)式得 P60 = A / cos 60 sin 60 = 4 × 50 ×10 2 × 4 / 3 = 46.2kN Pmax =50kN P 討論：若 =60MPa;Pmax =? B1 30 60 解(1)、(2)曲線交點(diǎn)處： B =31 °PB =54 .4 kN 1 1 PB1 , 60 = A /cos60°/sin60°=4×60×10 2×4/ 3=55.44kN Pma

23、x =55.44kN §2 4 拉壓桿的變形 胡克定律 一、拉壓桿的變形及應(yīng)變 橫截面 P a´ a c´ c x bb´ dd ´ P L 1、桿的縱向總變形： 桿的縱向總變形： L1 3、縱向線應(yīng)變： 縱向線應(yīng)變： L1 L L = = L L L = L1 L 2、線應(yīng)變：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的變形量。 線應(yīng)變：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的變形量。 5、橫向線應(yīng)變： 橫向線應(yīng)變： ac c ac ac = a = ac 彈性范圍內(nèi)) 二、胡克定律 (彈性范圍內(nèi)) 4、桿的橫向變形： 桿的橫向變形： 1、拉壓桿的胡克定律 L PL A L = PL NL = EA EA

24、 E拉壓彈性模量 “EA”稱為桿的 抗拉壓剛度。 “ ”稱為桿的抗拉壓剛度。 2、單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律 L 1 N = = = L E A E 即: = E 3、泊松比（或橫向變形系數(shù)） 泊松比（或橫向變形系數(shù)） = 或 : = 例8 小變形放大圖與位移的求法。 1、怎樣畫小變形放大圖？ 求各桿的變形量Li ，如圖； A L1 C L2 B 變形圖嚴(yán)格畫法，圖中弧線； L2 變形圖近似畫法，圖中弧之切線。 P C' C" L1 2、寫出圖2中B點(diǎn)位移與兩桿變形間的關(guān)系 A L1 B L1 uB L2 L2 C vB B' 解：變形圖如圖2， B點(diǎn)位移至B'

25、點(diǎn)，由圖知： L2 v B = L1ctg + sin uB = L1 例9設(shè)橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為 76.36mm² 的鋼索繞過 無摩擦的定滑輪。設(shè) P=20kN，試求剛索的應(yīng)力和 C點(diǎn)的垂直 位移。設(shè)剛索的 E =177GPa。 解：方法1：小變形放大圖法 A B 60° 60° D C 800 XA A YA 400 T C P 400 T P 1）求鋼索內(nèi)力：以ABCD為對(duì)象 mA = T sin60o × 0.8 1.2P + 1.6T sin60o = 0 T = P / 3 = 11 .55 kN B D 2) 鋼索的應(yīng)力和伸長(zhǎng)分

26、別為： = T 11 .55 = × 10 9 = 151 MPa A 76 .36 L = TL 11 .55 × 1 .6 = m = 1 .36 mm EA 76 .36 × 177 A B 60° C 60° D 1 C 2 3）變形圖如左圖 , C點(diǎn)的垂直位移為： BB + DD LC = 2 1 sin 60 + 2 sin 60 = 2 B' D' A 800 B 60° 60° D C 400 P 400 L 1.36 = 2 sin 60 2 sin 60o = 0.79mm = §

27、;28 拉伸、壓縮超靜定問題 拉伸、 一、超靜定問題及其處理方法 不 穩(wěn) 定 平 衡 穩(wěn) 定 平 衡 靜定問題 超靜定問題 1、超靜定問題 、超靜定問題：?jiǎn)螒{靜平衡方程不能確定出全部未知力 （外力、內(nèi)力、應(yīng)力）的問題。 2、超靜定的處理方法 、超靜定的處理方法：平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理 方程相結(jié)合，進(jìn)行求解。 例11 設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長(zhǎng)為： L1=L2、 L3 =L ；各桿面積為A1=A2=A、 A3 ；各桿彈性模量 為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。 解： 、平衡方程: B 3 1 D C 2 N3 X = N 1 sin N 2 sin

28、= 0 N1 = N 2 A P N1 A P Y = N cos + N 1 2 cos + N 3 P = 0 N2 B 3 1 D C 2 幾何方程變形協(xié)調(diào)方程： L1 = L 2 = L 3 cos A 物理方程彈性定律： L1 = N 1 L1 E 1 A1 L3 = N 3 L3 E 3 A3 L2 L3 A1 L1 補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得。 N 1 L1 N 3L3 = cos E 1 A1 E 3 A3 解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組，得: E1 A1P cos2 E3 A3 P N1 = N 2 = ; N3 = 3 2 E1 A1 cos + E3 A3 2

29、E1 A1 cos3 + E3 A3 3、超靜定問題的方法步驟： 、超靜定問題的方法步驟： 平衡方程； 幾何方程變形協(xié)調(diào)方程； 物理方程胡克定律； 補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得； 解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組 。 例12 木制短柱的四角用四個(gè)40×40×4的等邊角鋼加固，角鋼和 木材的許用應(yīng)力分別為1=160M Pa和2=12MPa，彈性模量 分別為E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求許可載荷P。 P P P P y y 解： 平衡方程: Y = 4 N 1 + N2 P = 0 4N1 N2 N2 250 4N 1 1m 幾何方程 L1 = L 2 物

30、理方程及補(bǔ)充方程： 250 L1 = N1L E 1 A1 = N2L E 2 A2 = L2 P P P P y y 解平衡方程和補(bǔ)充方程，得: 4N1 N2 N2 250 4N 1 N 1 = 0.07 P ; N 2 = 0.72 P 1m 求結(jié)構(gòu)的許可載荷： 方法1: N = 0.07 P A 1 1 1 角鋼面積由型鋼表查得: A1=3.086 2 =3.086cm 角鋼面積由型鋼表查得: 250 P1 = A1 1 / 0.07 = 308.6 × 160 / 0.07 = 705.4 kN N 2 = 0.72 P A2 2 P2 = A2 2 / 0.72 = 250

31、 × 12 / 0.72 = 1042kN 2 求結(jié)構(gòu)的許可載荷： 方法2: 1 = L 1 / E1 = 0.8mm 2 = L 2 / E2 = 1.2mm 的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)， 所以在1=2 的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)， 即角鋼決定最大載荷。 即角鋼決定最大載荷。 1 A1 N1 P= 0 .07 0 .07 160× 308.6 = 705.4kN = 0.07 另外：若將鋼的面積增大 倍 怎樣？ 另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？ 若將木的邊長(zhǎng)變?yōu)?5mm，又怎樣？ 若將木的邊長(zhǎng)變?yōu)?邊長(zhǎng)變?yōu)?， 怎樣？ 結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著。 結(jié)構(gòu)的最大

32、載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著。 二、裝配應(yīng)力預(yù)應(yīng)力 裝配應(yīng)力 預(yù)應(yīng)力 1、靜定問題無裝配應(yīng)力。 、靜定問題無裝配應(yīng)力。 B C 2、超靜定問題存在裝配應(yīng)力。 、 靜定問題存在裝配應(yīng)力。 如圖，3號(hào)桿的尺寸誤差為，求各桿 N3 的裝配內(nèi)力。 N1 N2 解： 、平衡方程: X = N sin N sin = 0 A1 1 A 3 D 2 B 1 C 2 Y = N1 cos + N2 cos N3 = 0 1 2 A1 A 、幾何方程 ( L3 ) cos = L1 N3 N1 、幾何方程 N2 A1 ( L3 ) cos = L1 、物理方程及補(bǔ)充方程： L3 A 1 N1L1 N 3 L3 ) cos

33、 = ( E1 A1 E3 A3 、解平衡方程和補(bǔ)充方程，得: L1 A E1 A1 cos2 N1 = N 2 = L3 1 + 2 cos3 E1 A1 / E3 A3 L2 2 E1 A1 cos3 N3 = L3 1 + 2 cos3 E1 A1 / E3 A3 B C 三 、溫度應(yīng)力 1、靜定問題無溫度應(yīng)力。 靜定問題無溫度應(yīng)力。 1 A 2 （可自由伸縮） 可自由伸縮） 2、超靜定問題存在溫度應(yīng)力。 超靜定問題存在溫度應(yīng)力。 （不可自由伸縮，內(nèi)力 應(yīng)力熱應(yīng)力） 不可自由伸縮， 內(nèi)力 應(yīng)力熱應(yīng)力） B 3 1 D C 2 A 例13 a 如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5 時(shí)被固定,

34、桿的上下兩段的面積分別 1=5cm2 ， 2=10cm2，當(dāng)溫度升至T2 =25時(shí),求各桿的溫度應(yīng)力。 a (線膨脹系數(shù) =12.5× 10 6 / oC ； N1 a 彈性模量E=200GPa) 解： 、平衡方程： Y = N N 1 2 =0 、幾何方程： a L = LT LN = 0 N2 、物理方程 LT = 2 a T ; 、補(bǔ)充方程 N 1a N 2 a LN = + EA1 EA2 N1 N2 2T = + EA1 EA2 N1 = N2 = 33.3kN 解平衡方程和補(bǔ)充方程，得: 、溫度應(yīng)力 N1 1 = = 66.7MPa A1 N2 2 = = 33.3MPa

35、 A2 §25 材料拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 力學(xué)性能：材料在外力作用下,在強(qiáng)度與變形方面表現(xiàn)出的特性。 一、試驗(yàn)條件及試驗(yàn)儀器 1、試驗(yàn)條件：常溫(20)；靜載（極其緩慢地加載）； 試驗(yàn)條件：常溫(20)；靜載（極其緩慢地加載）； (20) 2、試驗(yàn)對(duì)象：標(biāo)準(zhǔn)試件。 試驗(yàn)對(duì)象：標(biāo)準(zhǔn)試件。 d h 3、試驗(yàn)設(shè)備：萬能試驗(yàn)機(jī)；變形儀（常用引伸儀）。 試驗(yàn)設(shè)備：萬能試驗(yàn)機(jī)；變形儀（常用引伸儀）。 二、低碳鋼試件的拉伸圖(P-低碳鋼試件的拉伸圖( - L圖) 圖 PL L = EA L P = = = L EA E 三、低碳鋼試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線( - 圖) 低碳鋼試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線( -

36、應(yīng)變曲線 (一) 低碳鋼拉伸的彈性階段 (oe段) 段 比例段: 1、op - 比例段: p - 比例極限 = E E = tg -曲線段 曲線段: 2、pe -曲線段: e - 彈性極限 = f ( n ) 低碳鋼拉伸的屈服(流動(dòng)） (二) 低碳鋼拉伸的屈服(流動(dòng)）階段 (es 段) e s -屈服段: s -屈服極限 -屈服段 -屈服極限 屈服 塑性材料的失效應(yīng)力: 塑性材料的失效應(yīng)力:s 。 滑移線： 滑移線： (三)、低碳鋼拉伸的強(qiáng)化階段 ( 段) -強(qiáng)度 強(qiáng)度極限 、-強(qiáng)度極限 、卸載定律： 卸載定律： 、冷作硬化： 冷作硬化： 、冷拉時(shí)效： 冷拉時(shí)效： (四)、低碳鋼拉伸的頸縮（斷

37、裂）階段 (b f 段) 低碳鋼拉伸的頸縮（斷裂） 1、延伸率: 延伸率: L1 L = ×10000 L 2、截面收縮率： 截面收縮率： A A1 = × 100 0 0 A 3、脆性、塑性及相對(duì)性 脆性、 以 = 5 0 0 為界 四、無明顯屈服現(xiàn)象的塑性材料 0.2 名義屈服應(yīng)力: 名義屈服應(yīng)力: % 0.2 0.2 ，即此類材料的失效應(yīng)力。 即此類材料的失效應(yīng)力。 bL 五、鑄鐵拉伸時(shí)的機(jī)械性能 L -鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限（失效應(yīng)力） -鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限（失效應(yīng)力） 鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限 E = tg ; 割線斜率 六、材料壓縮時(shí)的機(jī)械性能 y -鑄鐵壓縮強(qiáng)度極限； -鑄鐵

38、壓縮強(qiáng)度極限； 鑄鐵壓縮強(qiáng)度極限 y （4 6） L 七、安全系數(shù)、容許應(yīng)力、極限應(yīng)力 安全系數(shù)、容許應(yīng)力、 1、許用應(yīng)力： = jx = jx n 2、極限應(yīng)力： s , 0.2 , b 3、安全系數(shù)： n 例10 銅絲直徑d=2mm，長(zhǎng)L=500mm， 材料的拉伸曲線如圖 所示。如欲使銅絲的伸長(zhǎng)為30mm， 則大約需加多大的力P？ (MPa) Pa） （MPa） Pa 200 300 解：變形量可能已超出了“線彈性” 范 圍，故，不可再應(yīng)用“彈性定律” 。應(yīng)如下計(jì)算： 100 = 30/ 500= 6 00 0 5 10 15 20（%） （%） 由拉伸圖知： (%) 2 = 160 MP

39、a P = A = 3.14 × 2 × 160 / 4 = 502 N §26 溫度和時(shí)間對(duì)材料力學(xué)性能的影響 一、溫度對(duì)材料力學(xué)性能的影響 短期，靜載下） （短期，靜載下） 總趨勢(shì): 溫度升高,E、S 、b下降； E (GPa ) 216 177 137 (MPa ) 700 600 500 E , (%) 100 90 80 、 增大。 b 70 60 50 但在260°以前隨溫度的升高， 400 300 200 b反而增大，同時(shí)、卻減小。但 象低碳鋼這種在260°以前的特征， 并非所有的鋼材都具有。 40 S 30 20 10 o 10

40、0 0 100 200 300 400 500 ( C ) 72 (MPa ) 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250 0 -200 -100 0 (%) 80 b 0.2 70 60 50 40 30 20 10 0 o 100 200 300 400 500 600 700 800 ( C ) 溫度對(duì)鉻錳合金力學(xué)性能的影響 73 P(kN) 30 253o C P(kN) 30 253o C 196 o C 20 - 196o C 20 o 10 - +20 C +20 o C 10 0 0 l(mm) 0 0 l(mm) - - - 10 - 5 15

41、5 10 15 溫度降低，塑性降低，強(qiáng)度極限提高 74 二、蠕變與松馳（高溫，長(zhǎng)期靜載下） 蠕變與松馳（高溫，長(zhǎng)期靜載下） 蠕變： 1、蠕變： 在高溫和長(zhǎng)期靜載作用下，即使構(gòu)件上的應(yīng)力不變，塑性變 形卻隨時(shí)間而緩慢增加，直至破壞。這種現(xiàn)象稱為蠕變。 加靜載 經(jīng)過較長(zhǎng) 時(shí)間后 P 注意：應(yīng)力沒增加，桿自己在長(zhǎng)長(zhǎng)！ P 75 構(gòu)件的工作段不能超過穩(wěn)定階段 ！ 加速階段 不穩(wěn)定 階段 A B 穩(wěn)定階段 C 破壞 階段 E D 0 t O 材料的蠕變曲線 76 4 T4 3 2 1 T3 T2 溫度不變 4 > 3 > 2 > 1 應(yīng)力越高蠕變?cè)娇?T1 應(yīng)力不變 T1<T2

42、<T3 <T4 溫度越高蠕變?cè)娇?蠕變變形是不可恢復(fù)的塑性變形。 蠕變變形是不可恢復(fù)的塑性變形 。 77 2、應(yīng)力松弛： 應(yīng)力松弛： 在一定的高溫下，構(gòu)件上的總變形不變時(shí)，彈性變形會(huì)隨時(shí) 間而轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄宰冃危ㄔ驗(yàn)槿渥儯?，從而使?gòu)件內(nèi)的應(yīng)力變小 。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力松弛。 加靜載 經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間后 卸載 桿也是自己長(zhǎng)了一段！ 78 溫度不變 3 > 2 >1 初始彈性應(yīng)變不變 T1<T2 <T3 3 2 1 T3 T2 T1 初應(yīng)力越大，松弛的初速率越大 溫度越高，松弛的初速率越大 79 一、軸向拉壓桿的內(nèi)力及軸力圖 B 1、軸力的表示? P 2、軸力的求法?

43、P 3、軸力的正負(fù)規(guī)定? 4、軸力圖：N=N(x)的圖象表示? N A 簡(jiǎn)圖 N A C P P 為什么畫軸力圖? 應(yīng)注意什么? + x 軸力的簡(jiǎn)便求法: 軸力的簡(jiǎn)便求法: 以x點(diǎn)左側(cè)部分為對(duì)象,x點(diǎn)的內(nèi)力N(x)由下式計(jì)算: N ( x ) = P () P () 其中“P( )”與“P( )”均為x點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)部分的 所有外力。 例1 圖示桿的A 圖示桿的A、B、C、D點(diǎn)分別作用著5P、8P、4P、P的 點(diǎn)分別作用 著5 力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。 O A 5P 8P B 5P C 4P D P N 2P P x 3P 二、拉壓桿的應(yīng)力 1、橫截面上的應(yīng)力: P N(x) = N (

44、 x) A 2、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力 x 應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定? Saint-Venant原理? 0 = 2 (1 + cos2 ) = 0 sin 2 2 應(yīng)力集中? 危險(xiǎn)截面及最大工作應(yīng)力? 三、強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則（Strength Design Criterion）： 強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則（ ）： 1、強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則? 、強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則? N ( x) max = max( ) A( x ) 校核強(qiáng)度： max Amin 設(shè)計(jì)截面尺寸： N max ; 設(shè)計(jì)載荷： N max A P = f ( N max ) 四、拉壓桿的變形及應(yīng)變 1、等內(nèi)力拉壓桿的胡克定律 P 2、變內(nèi)力拉壓桿的胡克定律 P PL NL

45、L = = EA EA N（x） N(x) x dx dx 3、單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律 dL = L (dx ) = n L N ( x )d x EA ( x ) L = i =1 N i Li E i Ai 1 = E 4、泊松比（或橫向變形系數(shù)） 5、小變形放大圖與位移的求法 = A L1 C L2 B L2 P C' C" L1 6、超靜定問題的方法步驟： 平衡方程； 幾何方程變形協(xié)調(diào)方程； 物理方程胡克定律； 補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得； 解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。 裝配溫度 裝配應(yīng)力預(yù)應(yīng)力 五、 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 1 、胡克定律 2、極限應(yīng)力 = E = ; E = tg jx s , 0.2 , b 3、卸載定律；冷作硬化；冷拉時(shí)效。 L1 L = ×10000 4、延伸率 L A A1 5、截面收縮率 = × 100 0 0 A jx = 6、許用應(yīng)力 n 例2 結(jié)構(gòu)如圖，AB、CD、EF、GH都由兩根不等邊角鋼組成， 已知材料的=170 M P a ，E=210 G P a。 AC、EG