例談數(shù)學(xué)知識在物理中的應(yīng)用

1、例談數(shù)學(xué)知識在物理中的應(yīng)用      新的物理學(xué)科的考試說明對學(xué)生的能力考核從五個方面提出了具體的要求：一是理解能力，二是推理能力，三是分析綜合能力，四是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力，五是實驗?zāi)芰Γ绕涫莿?chuàng)新實驗?zāi)芰?。其中對?yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力具體說明是：要求學(xué)生能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行相關(guān)推導(dǎo)和求解，并根據(jù)計算結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時能靈活運用幾何圖形、圖像或函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行表達(dá)、分析。數(shù)學(xué)是與物理聯(lián)系最為緊密的學(xué)科之一。隨著高考改革的深入及素質(zhì)教育的全面推開。各學(xué)科之間的滲透不斷加強(qiáng)，作為對理解能力和演繹推理能

2、力及運算能力都有很高要求的物理學(xué)科，在平時的教學(xué)中，及時靈活地滲透數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力尤為重要。我們在平時的教學(xué)中要隨時注重數(shù)學(xué)知識和物理內(nèi)容的整合。運用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力，主要指兩個方面。一是從物理現(xiàn)象與過程出發(fā)，經(jīng)過概括、抽象，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；二是綜合運用數(shù)學(xué)知識，例如比例關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、不等式關(guān)系、幾何關(guān)系、極值關(guān)系等，正確、簡潔地進(jìn)行有關(guān)問題的求解。1、運用數(shù)學(xué)語言和方法表述物理概念、物理規(guī)律，便于理解。物理中有大量的物理概念和物理規(guī)律，其中有很多概念的引入，就是通過數(shù)學(xué)語言來描述的。例如，金屬導(dǎo)體兩端的電壓與其流過的電流成正比。為了描述它

3、們的比例系數(shù)，引入了電阻R的概念。同類的概念還有，電容器的電容C、電場強(qiáng)度E、物體運動的速度v、加速度a等。不過，物理知識畢竟與數(shù)學(xué)知識不同，所以教師在教授這類物理概念和物理規(guī)律時，要特別強(qiáng)調(diào)它們的物理含義和成立條件，不能進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)類推。例如：對于電阻的定義式R=U/I，我們就不能說成R與U成正比，與I成反比。物理規(guī)律是對各種物理現(xiàn)象或物理變化的精辟概括。是人類智慧的結(jié)晶。為了便于表述或理解，有許多規(guī)律使用了數(shù)學(xué)方法。例如在研究理想氣體狀態(tài)參量間的制約關(guān)系時，使用了P-V、V-T、P-T圖像。又如為了分析線圈在勻強(qiáng)磁場中勻角速轉(zhuǎn)動過程中，線圈中的磁通量、瞬時感應(yīng)電動勢、感應(yīng)電流隨時間的變化

4、規(guī)律，采用了正弦波圖像的數(shù)學(xué)方法。除了圖像描述外，物理中幾乎所有的規(guī)律都可以寫成數(shù)學(xué)解析式的公式。2、恰當(dāng)選用數(shù)學(xué)工具解決各類物理問題，化繁為簡。中學(xué)物理中，除了大量用到初等數(shù)學(xué)的各種基本運算和方程、恒等變換等數(shù)學(xué)知識外，在許多問題中，還可以靈活運用數(shù)學(xué)中的其他知識，另辟捷徑，化繁為簡。2.1  幾何知識的運用平面幾何知識是物理中應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)知識之一。例如兩邊互相垂直或兩邊互相平行的兩角相等，相似三角形對應(yīng)邊成比例，這兩種判斷方法常用于受力分析圖中。又如光的反射、光的折射中更是用到大量的幾何知識。       

5、       2.2  三角知識的應(yīng)用物理學(xué)中的力、速度、位移等矢量物理量的合成均遵循平行四邊形法則。因此，在對這些物理量進(jìn)行分析時，經(jīng)常會大量應(yīng)用三角知識。許多題目因此會大大簡化分析過程或運算步驟，起到曲徑通幽的效果。2.3  極值判別式的應(yīng)用物理量間的關(guān)系往往是相互制約的，當(dāng)某個量發(fā)生變化時其他量隨之變化。在變化過程中常常會出現(xiàn)極值問題。若能合理利用數(shù)學(xué)中的極值問題的判別式，常能簡化解題過程。例3  一個下端封閉，上端開口的粗細(xì)均勻的玻璃管，豎直放置，管的全長為90cm，管中有一段20cm的

6、水銀柱，在溫度為27時，水銀下面的空氣柱長為60cm，若外界大氣壓為1大氣壓，問溫度升至多少時，水銀全部溢出？解析  管內(nèi)的封閉氣體在水銀溢出前作等壓變化，當(dāng)水銀溢出后，氣體的溫度，體積和壓強(qiáng)都要發(fā)生變化。但始終遵循理想氣體狀態(tài)方程。設(shè)管內(nèi)還剩余xcm水銀柱時，溫度為T，則整理得T= ，可見T是x的二次函數(shù)：因（76+x）和（90-x）這兩項之和為定值，根據(jù)數(shù)學(xué)中極值知識可知：當(dāng)76+x=90-x時，即x=7cm時，T有極大值，為T=358.8K。例4  在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，有一根長為L的軟導(dǎo)線，制成的封閉線圈，開始時，線圈面積為零，當(dāng)它在t秒內(nèi)迅速張開，所張的曲

7、線平面與磁場垂直時，求線圈中所能產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動勢的最大值。解析  本題是電磁感應(yīng)中求感應(yīng)電動勢問題，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可知，要使有最大值，只有使線圈面積擴(kuò)張到最大才行。由數(shù)學(xué)中邊長和所圍面積間關(guān)系可得，在周長恒定的情況下，圓形面積最大。因此本題答案為。2.4  數(shù)列知識的應(yīng)用例5  小球從h0=45m高處自由下落，著地后跳起，然后又下落，每與地面相碰一次，速度就減少為原來的k倍。若k= ，求小球從下落開始直至停止運動所用的總時間。（g取10m/s2，碰撞時間忽略不計）解析  要求小球運動的總時間，必須根據(jù)小球的運動特征，由運動學(xué)公式將小球每碰一

8、次在空中運動的時間求出，然后再累加求和。小球從h0處下落到地面時的速度： ，運動的時間： 。第一次碰地后小球的速度：。小球在再次與地面碰撞之前作豎直上拋運動，這一過程小球運動的時間：。同理可推得，第n次碰地后，小球的運動速度為：，運動時間為： ，由此可知，小球從下落到停止運動的總時間為：t = t0+t1+tn+= +2k +2k2 +2kn += +2 (k+k2+kn+)上式括號中是一個無窮遞減的等比數(shù)列，其首項為k，公式也為k，可用數(shù)學(xué)中等比數(shù)列的求和公式求得其最終答案：t=9s。本題是數(shù)學(xué)中的數(shù)列與物理學(xué)中的運動學(xué)的數(shù)理結(jié)合問題，在求解該問題中，正確寫出某一物理量的通項表達(dá)式是解題的關(guān)

9、鍵。在解決物理問題時除了以上幾種數(shù)學(xué)知識經(jīng)常運用外，比例知識、正弦定理、余弦定理、不等式知識等也時時會涉及。數(shù)學(xué)是解決物理問題的重要工具，借助數(shù)學(xué)方法可使一些復(fù)雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性，能達(dá)到打通關(guān)卡、長驅(qū)直入地解決問題的目的中學(xué)物理考試大綱中對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力作出了明確的要求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題”的能力對這一能力的考查在歷年高考試題中也層出不窮，如2009年高考北京理綜卷第20題、寧夏理綜卷第18題、江蘇物理卷第15題；2008年高考四川理綜卷第24題、延考區(qū)理綜卷第25題、上海物理卷第23題、北京理綜卷第24題等所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)

10、系和過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預(yù)測可以說，任何物理問題的分析、處理過程，都是數(shù)學(xué)方法的運用過程本專題中所指的數(shù)學(xué)方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差(比)數(shù)列求和法等一、極值法數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等1利用三角函數(shù)求極值yacos bsin a2b2(aa2b2cos ba2b2sin )令sin aa2b2，cos ba2b2則有：ya2b2(sin cos cos sin )a2b2sin ()所以當(dāng)2

11、時，y有最大值，且ymaxa2b22利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù)：yax2bxca(x2baxb24a2)cb24aa(xb2a)24acb24a(其中a、b、c為實常數(shù))，當(dāng)xb2a 時，有極值ym4acb24a(若二次項系數(shù)a>0，y有極小值；若a<0，y有極大值)3均值不等式對于兩個大于零的變量a、b，若其和ab為一定值p，則當(dāng)ab時，其積ab取得極大值 p24；對于三個大于零的變量a、b、c，若其和abc為一定值q，則當(dāng)abc時，其積abc取得極大值 q327二、幾何法利用幾何方法求解物理問題時，常用到的有“對稱點的性質(zhì)”、“兩點間直線距離最短”、“直角三角形中斜邊大于直角邊

12、”以及“全等、相似三角形的特性”等相關(guān)知識，如：帶電粒子在有界磁場中的運動類問題，物體的變力分析時經(jīng)常要用到相似三角形法、作圖法等與圓有關(guān)的幾何知識在力學(xué)部分和電學(xué)部分的解題中均有應(yīng)用，尤其在帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運動類問題中應(yīng)用最多，此類問題的難點往往在圓心與半徑的確定上，確定方法有以下幾種1依切線的性質(zhì)確定從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對應(yīng)的切點，過切點作切線的垂線，兩條垂線的交點為圓心，圓心與切點的連線為半徑2依垂徑定理(垂直于弦的直徑平分該弦，且平分弦所對的弧)和相交弦定理(如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項)確定如圖81所示 圖81

13、由EB2CEEDCE(2RCE)得：REB22CECE2也可由勾股定理得：R2(RCE)2EB2解得：REB22CECE2以上兩種求半徑的方法常用于求解“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動”這類習(xí)題中三、圖象法中學(xué)物理中一些比較抽象的習(xí)題常較難求解，若能與數(shù)學(xué)圖形相結(jié)合，再恰當(dāng)?shù)匾胛锢韴D象，則可變抽象為形象，突破難點、疑點，使解題過程大大簡化圖象法是歷年高考的熱點，因而在復(fù)習(xí)中要密切關(guān)注圖象，掌握圖象的識別、繪制等方法1物理圖象的分類整個高中教材中有很多不同類型的圖象，按圖形形狀的不同可分為以下幾類(1)直線型：如勻速直線運動的st圖象、勻變速直線運動的vt 圖象、定值電阻的UI圖象等(2)正弦曲線

14、型：如簡諧振動的xt圖象、簡諧波的yx 圖象、正弦式交變電流的et圖象、正弦式振蕩電流的it 圖象及電荷量的qt 圖象等(3)其他型：如共振曲線的Af圖象、分子力與分子間距離的fr圖象等下面我們對高中物理中接觸到的典型物理圖象作一綜合回顧，以期對物理圖象有個較為系統(tǒng)的認(rèn)識和歸納圖象 函數(shù)形式 特例 物理意義  yc 勻速直線運動的vt圖象 做勻速直線運動的質(zhì)點的速度是恒矢量  ykx 勻速直線運動的st圖象初速度v00的勻加速直線運動的vt圖象(若v00，則縱截距不為零)純電阻電路的IU圖象&#

15、160;表示物體的位移大小隨時間線性增大表示物體的速度大小隨時間線性增大表示純電阻電路中I隨導(dǎo)體兩端的電壓U線性增大  yakx 勻減速直線運動的vt圖象閉合電路中的UI圖象(UEIr) 表示物體的速度大小隨時間線性減小表示路端電壓隨電流的增大而減小  yaxbx(雙曲線函數(shù)) 由純電阻用電器組成的閉合電路的UR圖象(UERrR)在垂直于勻強(qiáng)磁場的XCzt71tifBP導(dǎo)軌上，自由導(dǎo)體棒在一恒定動力F的作用下做變加速運動的vt圖象 表示純電阻電路中電源的端電壓隨外電阻而非線性增大將達(dá)到穩(wěn)定速度vmFR總B2L2&#

16、160; ykx2(拋物線函數(shù)) 小燈泡消耗的實際功率與外加電壓的PU 圖象位移與時間的st圖象(s12at2)表示小燈泡消耗的實際功率隨電壓的增大而增大，且增大得越來越快表示位移隨時間的增大而增大，且增大得越來越快  xyc(雙曲線函數(shù)) 機(jī)械在額定功率下，其牽引力與速度的關(guān)系圖象(PFv) 表示功率一定時，牽引力與速度成反比  yAsin t 交流電的et圖象(eEmsin t) 表示交流電隨時間變化的關(guān)系2物理圖象的應(yīng)用(1)利用圖象解題可使解題過程更簡化，思路更清晰利用圖象法解題不僅思路

17、清晰，而且在很多情況下可使解題過程得到簡化，起到比解析法更巧妙、更靈活的獨特效果甚至在有些情況下運用解析法可能無能為力，但是運用圖象法則會使你豁然開朗，如求解變力分析中的極值類問題等(2)利用圖象描述物理過程更直觀從物理圖象上可以比較直觀地觀察出物理過程的動態(tài)特征(3)利用物理圖象分析物理實驗運用圖象處理實驗數(shù)據(jù)是物理實驗中常用的一種方法，這是因為它除了具有簡明、直觀、便于比較和減少偶然誤差的特點外，還可以由圖象求解第三個相關(guān)物理量，尤其是無法從實驗中直接得到的結(jié)論3對圖象意義的理解(1)首先應(yīng)明確所給的圖象是什么圖象，即認(rèn)清圖象中比縱橫軸所代表的物理量及它們的“函數(shù)關(guān)系”，特別是對那些圖形相

18、似、容易混淆的圖象，更要注意區(qū)分例如振動圖象與波動圖象、運動學(xué)中的 st 圖象和vt圖象、電磁振蕩中的it圖象和qt圖象等(2)要注意理解圖象中的“點”、“線”、“斜率”、“截距”、“面積”的物理意義點：圖線上的每一個點對應(yīng)研究對象的一個狀態(tài)要特別注意“起點”、“終點”、“拐點”、“交點”，它們往往對應(yīng)著一個特殊狀態(tài)如有的速度圖象中，拐點可能表示速度由增大(減小)變?yōu)闇p小(增大)，即加速度的方向發(fā)生變化的時刻，而速度圖線與時間軸的交點則代表速度的方向發(fā)生變化的時刻線：注意觀察圖線是直線、曲線還是折線等，從而弄清圖象所反映的兩個物理量之間的關(guān)系斜率：表示縱橫坐標(biāo)上兩物理量的比值常有一個重要的物理

19、量與之對應(yīng)，用于求解定量計算中所對應(yīng)的物理量的大小以及定性分析變化的快慢如 vt 圖象的斜率表示加速度截距：表示縱橫坐標(biāo)兩物理量在“邊界”條件下物理量的大小由此往往可得到一個很有意義的物理量如電源的UI圖象反映了UEIr的函數(shù)關(guān)系，兩截距點分別為(0，E)和Er，0面積：有些物理圖象的圖線與橫軸所圍的面積往往代表一個物理量的大小如vt圖象中面積表示位移4運用圖象解答物理問題的步驟(1)看清縱橫坐標(biāo)分別表示的物理量(2)看圖象本身，識別兩物理量的變化趨勢，從而分析具體的物理過程(3)看兩相關(guān)量的變化范圍及給出的相關(guān)條件，明確圖線與坐標(biāo)軸的交點、圖線斜率、圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”的物理意義四、數(shù)

20、學(xué)歸納法在解決某些物理過程中比較復(fù)雜的具體問題時，常從特殊情況出發(fā)，類推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的利用數(shù)學(xué)歸納法解題要注意書寫上的規(guī)范，以便找出其中的規(guī)律五、微元法利用微分思想的分析方法稱為微元法它是將研究對象(物體或物理過程)進(jìn)行無限細(xì)分，再從中抽取某一微小單元進(jìn)行討論，從而找出被研究對象的變化規(guī)律的一種思想方法微元法解題的思維過程如下(1)隔離選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃鳛檠芯繉ο笪⒃梢允且恍《尉€段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個小體積、小質(zhì)量或一小段時間等，但必須具有整體對象的基本特征(2)將微元模型化(如視為點電荷、質(zhì)點、勻速直線運動、勻速轉(zhuǎn)動等)，

21、并運用相關(guān)的物理規(guī)律求解這個微元與所求物體之間的關(guān)聯(lián)(3)將一個微元的解答結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對稱關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系等，對各微元的求解結(jié)果進(jìn)行疊加，以求得整體量的合理解答六、三角函數(shù)法三角函數(shù)反映了三角形的邊、角之間的關(guān)系，在物理解題中有較廣泛的應(yīng)用例如：討論三個共點的平衡力組成的力的三角形時，常用正弦定理求力的大小；用函數(shù)的單調(diào)變化的臨界狀態(tài)來求取某個物理量的極值；用三角函數(shù)的“和積公式”將結(jié)論進(jìn)行化簡等七、數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點，但每一個重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化該類問題求解的基本思路為：(1)逐個分析開始的幾個物理過程；(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項公式(這是解題的關(guān)鍵)；(3)最后分析整個物理過程，應(yīng)用數(shù)