無窮級數(shù)習題課 ppt課件

1、無窮級數(shù)無窮級數(shù)第十一章 習題課常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)一一般般項項級級數(shù)數(shù)正正項項級級數(shù)數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)三角級數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項項級級數(shù)數(shù)傅氏展開式傅氏展開式傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)0)(xRnnu 為為常常數(shù)數(shù)( )nnuux為為函函數(shù)數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級數(shù)與數(shù)級數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 1nnu 主要內(nèi)容主要內(nèi)容數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)一 基本要求1.理解級數(shù)收斂理解級數(shù)收斂,發(fā)散的概念發(fā)散的概念.了解級數(shù)的基了解級數(shù)的基本性質(zhì)本性質(zhì),熟悉級數(shù)收斂的必要條件熟悉級數(shù)收

2、斂的必要條件.2.掌握正項級數(shù)收斂的比較判別法掌握正項級數(shù)收斂的比較判別法,熟練掌熟練掌握正項級數(shù)收斂的比值判別法握正項級數(shù)收斂的比值判別法.3.掌握交錯級數(shù)收斂的萊布尼茲判別法掌握交錯級數(shù)收斂的萊布尼茲判別法,理理解絕對收斂和條件收斂的概念解絕對收斂和條件收斂的概念. 4.掌握冪級數(shù)的收斂半徑掌握冪級數(shù)的收斂半徑, 收斂區(qū)間和收斂收斂區(qū)間和收斂域的求法域的求法.了解冪級數(shù)的主要性質(zhì)了解冪級數(shù)的主要性質(zhì).5.會求較簡單函數(shù)的冪級數(shù)展開式及和函數(shù)會求較簡單函數(shù)的冪級數(shù)展開式及和函數(shù).6.理解傅里葉級數(shù)的收斂定理理解傅里葉級數(shù)的收斂定理.7.掌握函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的方法掌握函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的

3、方法.(一一)常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)10lim.nnnnuu 10lim,nnnnuu 11nn 二 要點提示常用來判定級數(shù)是發(fā)散的常用來判定級數(shù)是發(fā)散的. .切不可用來判定切不可用來判定由此可得由此可得:假設假設 則級數(shù)則級數(shù) 必發(fā)散必發(fā)散.假設假設 收斂收斂,那么那么級數(shù)是收斂的級數(shù)是收斂的, ,例如調(diào)和級數(shù)例如調(diào)和級數(shù) 就是發(fā)散的就是發(fā)散的. .1.級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:2.正項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)的審斂法11pnn p-級數(shù)級數(shù)11nn 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)1nnaq 等比級數(shù)等比級數(shù)使用比較判別法時使用比較判別法時, ,必須熟記一些斂散性必須熟記一些斂散性已知的正項級數(shù)作為

4、已知的正項級數(shù)作為“參照級數(shù)參照級數(shù), ,如如判定一個正項級數(shù)的斂散性判定一個正項級數(shù)的斂散性, ,常按下列順序常按下列順序: :0lim,nnu (4)級數(shù)收斂的定義級數(shù)收斂的定義: (3)用比較判別法用比較判別法.(2)用比值或根值判別法用比值或根值判別法,若失效若失效. (1) 則發(fā)散則發(fā)散.同時考慮到級數(shù)的基本性質(zhì)同時考慮到級數(shù)的基本性質(zhì). .部分和數(shù)列極限是否存在部分和數(shù)列極限是否存在.3.任意項級數(shù)任意項級數(shù) 萊布尼茲判別法的條件是交錯級數(shù)收斂萊布尼茲判別法的條件是交錯級數(shù)收斂的充分條件而不是必要條件的充分條件而不是必要條件.當不滿足條件時當不滿足條件時,不能判定級數(shù)必發(fā)散不能判定

5、級數(shù)必發(fā)散.2.若用正項級數(shù)的比值判別法判定若用正項級數(shù)的比值判別法判定 發(fā)散發(fā)散,1nnu 絕對收斂的級數(shù)必收斂絕對收斂的級數(shù)必收斂. .1nnu ，注意注意對于任意項級數(shù)對于任意項級數(shù) 假設假設 收斂收斂,則稱則稱 絕對收斂絕對收斂.1nnu 1nnu 1. 可先考查任意項級數(shù)是否絕對收斂；可先考查任意項級數(shù)是否絕對收斂；假設假設 發(fā)散而發(fā)散而 收斂收斂,則稱則稱 條件收斂條件收斂.1nnu 1nnu 1nnu 則級數(shù)則級數(shù) 也發(fā)散也發(fā)散. . 1nnu 000,(0,0,1,2,)nnnnnnna xaxxan 對對于于或或1limnnnala 若若，1,0,00,llRll 1.收斂半

6、徑和收斂區(qū)間收斂半徑和收斂區(qū)間( (二二) )冪級數(shù)冪級數(shù)則則收收斂斂半半徑徑為為,)R R (,R R .,RR (,)R R 收斂域：收斂域：或或或或或或 ,RR 00,xR xR 或或收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為 對于缺項的冪級數(shù) 可按下式 0,nnux 11201lim,nnnuxxx xux 12,x x從而得收斂區(qū)間為從而得收斂區(qū)間為求出求出 的范圍的范圍2.冪級數(shù)的重要性質(zhì)冪級數(shù)的重要性質(zhì) (1)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù) 連續(xù)連續(xù).(2)可逐項求導可逐項求導.(3)可逐項積分可逐項積分. ,R RS x 逐項求導或逐項積分后的冪級數(shù)與原冪逐項求導或逐項積分后的冪級數(shù)與原冪級

7、數(shù)有相同的收斂半徑級數(shù)有相同的收斂半徑, , 但在收斂域可能但在收斂域可能改變改變. .3.冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)的求法冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)的求法 在熟記幾個常用的冪級數(shù)的和函數(shù)的在熟記幾個常用的冪級數(shù)的和函數(shù)的基礎上基礎上, 對照已知級數(shù)的特點對照已知級數(shù)的特點,可通過恒等可通過恒等變形變形,變量代換及逐項求導或積分的方法來變量代換及逐項求導或積分的方法來求和函數(shù)求和函數(shù).4.函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù) 0=!nnfxan lim0nnRx ， 00nnnfxaxx 按按公公式式，這通常是較困難的這通常是較困難的. .(1)(1)直接展開法直接展開法: :展開展開, ,但

8、必須證明余項的極限但必須證明余項的極限(2)間接展開法：間接展開法： 利用已知函數(shù)的展開式利用已知函數(shù)的展開式, 通過恒等變形通過恒等變形,變量代換變量代換, 級數(shù)的代數(shù)運算級數(shù)的代數(shù)運算及逐項求導或積分及逐項求導或積分,把函數(shù)展開成冪級數(shù)把函數(shù)展開成冪級數(shù). 注意兩點注意兩點:1.熟記幾個常用初等函數(shù)的馬克勞林展出式熟記幾個常用初等函數(shù)的馬克勞林展出式.2.根據(jù)已知展開式寫出所求展開式相應的根據(jù)已知展開式寫出所求展開式相應的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.逐項求導或積分后逐項求導或積分后,原級數(shù)的收斂半徑不變原級數(shù)的收斂半徑不變,但收斂域可能會變但收斂域可能會變. 幾個常用初等函數(shù)的馬克勞林展開幾個常用初

9、等函數(shù)的馬克勞林展開 20202135023111111 ;11;!2!1sin;21 !3!5!ln 1111 .23nnnnnxnnnnnnnxxxxxxxxxexxnnxxxxxxnxxxxxxn 1.試判斷下列命題是否正確試判斷下列命題是否正確?(1,2,),nnucvn 三 思考與分析11,nnnnuv那么那么 同斂散同斂散.11,nnnnuv(2)設設 是正項級數(shù)是正項級數(shù), c為大于零的常數(shù)為大于零的常數(shù),1lim0,nnnnuu (1)假設假設 那么那么 必定收斂必定收斂.答：均不正確答：均不正確.211,.nnuvnn(2)反例反例,考慮考慮0lim,nnu (1) 那么那么

10、 發(fā)散發(fā)散.0nnu 正項級數(shù)比較判別法的極限形式正項級數(shù)比較判別法的極限形式 11,nnnnuv 0lim,()nnnullv11,nnnnuv那么那么 同斂散同斂散. .設設 為正項級數(shù)為正項級數(shù), , 假設假設有有 證明證明: 也收斂也收斂.假設假設 均收斂均收斂,且對一切自然數(shù)且對一切自然數(shù) 2.下列運算是否正確下列運算是否正確?,nnnacb1nnc 11(1,2,),nnnnnnnacb nab 且且1nnc 11,nnnnabn證明證明: 均收斂均收斂,由比較判別法知由比較判別法知 收斂收斂.答：不正確答：不正確. . 因為證明中使用了比較判別法因為證明中使用了比較判別法, ,

11、而比較而比較判別法只適用于正項級數(shù)判別法只適用于正項級數(shù), , 題目中并未指題目中并未指出級數(shù)是正項級數(shù)出級數(shù)是正項級數(shù). .正確方法如下正確方法如下: :(1,2,)nnnacb n 證證明明：由由，可可得得 11nnnnnnbaca 故故與與均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，111()nnnnnnnabba 與與收收斂斂，從從而而收收斂斂 1nnnca 也也收收斂斂， ,nnnnccaa而而11().nnnnnnccaa故故收收斂斂由正項級數(shù)的比較判別法由正項級數(shù)的比較判別法0,nnnnbaca 3.若級數(shù) 和 都收斂, 那么 2211nnnnab 22222220nnnnnnnnnnabaabb

12、aba b 證證明明：，11.nnnnnna ba b 收收斂斂，從從而而絕絕對對收收斂斂根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法可知根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法可知2211nnnnab由題意知由題意知, , 和和 收斂收斂, , 2212nnnna bab絕對收斂絕對收斂. .1nnna b 2211()2nnnab 故故 也收斂也收斂, ,4.當下列條件( )成立時, 111(0)nnnnu u 1( )(1,2,); ( ) lim0;nnnna uu nbu 111nnnu 當當(c)成立時成立時,由萊布尼茲定理可得由萊布尼茲定理可得.收斂收斂. .當當(d)成立時成立時, 絕對收斂絕對收斂,因此必定收斂

13、因此必定收斂.1( )nndu 1( )(1,2,)lim0;nnnnc uu nu ， 11234222112311341.12.tan;3356sin3.;4.;1234ln10111111ln5.; 6.1.310320330nnnnnnnaaaannn ； 判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性, ,若收斂若收斂, ,是絕對是絕對收斂還是條件收斂收斂還是條件收斂? ?練習題練習題 解解 級數(shù)為級數(shù)為 1lim102nnnn 1112nnnn 由于一般項由于一般項所以發(fā)散所以發(fā)散. .1341.1356 ；112.tan;3nnn 21121tan11133limlim133tan33

14、nnnnnnnnunun 所以級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂.由正項級數(shù)的比值判別法由正項級數(shù)的比值判別法 12121limlimnnnnnnanuaaun 1a 當當時時，發(fā)發(fā)散散，1a 當當時時，絕絕對對收收斂斂， 12211111,.nnnann 當當時時，級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂 1211nnnan 2342223.;1234aaaa解解 原級數(shù)為原級數(shù)為由比值法由比值法 1111ln10ln10nnq 而而所以原級數(shù)絕對收斂所以原級數(shù)絕對收斂. . sin1,ln10ln10nnn 解解是收斂的等比級數(shù)是收斂的等比級數(shù), , 1sin4.;ln10nnn 1111310nnnn 與與的的一一般

15、般項項之之和和113nn 收收斂斂，1110nn 而而發(fā)發(fā)散散，解解 原級數(shù)可看作原級數(shù)可看作由級數(shù)的基本性質(zhì)由級數(shù)的基本性質(zhì), ,原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散. .為為一一般般項項的的級級數(shù)數(shù)，231111115.;310320330 1lnln113 ,nnnnnnn 解解 11ln1nnnn 故故發(fā)發(fā)散散 2ln1lnln(1)03 ,xxnxxxn 又又單單調(diào)調(diào)減減少少，ln(2)lim0,nnn 由萊布尼茲定理知，由萊布尼茲定理知， 11ln6.1nnnn 11nn 而而發(fā)發(fā)散散，從而條件收斂從而條件收斂. .交錯級數(shù)收斂交錯級數(shù)收斂, ,( (二二) )冪級數(shù)冪級數(shù)11lim,2nnnaa

16、 2,R 2,2 . 解解 由于由于 21112nnnx 求求 的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為故收斂半徑為故收斂半徑為1.1.下列運算是否正確下列運算是否正確? ? 上述運算是錯誤的上述運算是錯誤的. .原級數(shù)是僅含奇次冪原級數(shù)是僅含奇次冪的級數(shù)的級數(shù), ,即為缺項情形即為缺項情形, ,應該用比值判別法應該用比值判別法來求收斂半徑來求收斂半徑. . 21211212limlim,22nnnnnnnnxuxxxux 2, 2 . 故原級數(shù)的收斂區(qū)間為故原級數(shù)的收斂區(qū)間為當當 即即 時時, ,原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂. .21,22xx正確方法為正確方法為: :解解 2112(1);(2)

17、nnnnxnxn 1limlim1,1.1nnnnanRan 1111nnnnttnn 當當時時，收收斂斂, ,1111.nnnttnn當當時時，發(fā)發(fā)散散1nntn 則原級數(shù)變?yōu)閯t原級數(shù)變?yōu)?,tx(1)令令2.求求的收斂域的收斂域. .11,t 121,x 21.nnn t 11,t 故原級數(shù)的收斂區(qū)間為故原級數(shù)的收斂區(qū)間為 或或 11.xx 111,x 即即原級數(shù)化為原級數(shù)化為解解 所給級數(shù)不是冪級數(shù)所給級數(shù)不是冪級數(shù), ,原級數(shù)的收斂域為原級數(shù)的收斂域為因而因而, ,收斂域為收斂域為 1,3 .即即21(2)nnnx 不難知收斂區(qū)間為不難知收斂區(qū)間為1,tx 引入變換引入變換3.求求 的

18、和函數(shù)及的和函數(shù)及 的和的和. 2221112121!1 !nnnnnnnS xxxxnnn 22211,xS xxe2121!nnnxn .,0212!nnnn 解解 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為法法1.拆成兩個級數(shù)之和拆成兩個級數(shù)之和,再分別求和再分別求和. 2120121!nnnnxxnn 0,!nxnxen 2220021!nnnnxxxnn ,x 法法2.記記 2121,!nnnS xxn 2211100211!xxnnnnnS x dxx dxxnn .,x則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項積分則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項積分: 222101111 ,!nnxnnxxxxx exnn 22201211,

19、xxxS xS x dxx exe 由 222121211!nxnnS xxxen 211121121!2!22nnnnnnSnn 1202111121112!22nnnSen 0212!nnnn 求求令令12x 那么那么122.e 解解01(2)1nnnxn 0021nnnnxnxn 4. 4. 求冪級數(shù)求冪級數(shù)01(2)1nnnxn 的和函數(shù)的和函數(shù). .02nnnx 的收斂域為的收斂域為 1,1 . 01nnxn 的收斂域為的收斂域為 1,1). 的收斂域為的收斂域為 1,1 . 01( )(2)1nnS xnxn 設設(1)(2)10122,nnnnnxxnx 11( ),nnA xn

20、x 設設1001( )xxnnA x dxnxdx 1nnx,1xx 1| x( )1xA xx ,)1(12x 022( )nnnxxA x 22.(1)xx (1)01nnxn 1011nnxxn 001xnnx dxx 001xnnx dxx 0111xdxxx 1ln(1),xx 1| x0021nnnnxnxn 01( )(2)1nnS xnxn 22(1)xx 1ln(1),xx| 1,0 xx 故故(2)5.求冪級數(shù)展開式求冪級數(shù)展開式 (1)將將 展開成展開成x的冪級數(shù)的冪級數(shù) 2ln43f xxx (2)將將 展開成展開成x-1的冪級數(shù)的冪級數(shù). 12fxx (3)將將 展開

21、成展開成x的冪級數(shù)的冪級數(shù). arctan2fxx ln 13ln 1ln 3f xxxxx 解解(1)(1)1101ln31.31nnnxn 1111,3xx 其其中中且且故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為 1,1). ln 1ln3ln 13xx 11001ln311131nnnnnnxxnn 其中其中 111121231313fxxxx 111,3x .4 , 2故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為 10011111.333nnnnnnnxx 223arctan2,14xx 220002arctan221214xxnnnxdxxdxx 由逐項積分的性質(zhì)可得由逐項積分的性質(zhì)可得, ,2220111 1( 1)

22、(2 ) ,142 21(2 )nnnxxx 212121002121,2121nnnnnnnxxnn 11.22x011nnxx xyo 6.0,0( ),0 xf xxx 寫出函數(shù)寫出函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù). 2 2 3 作周期延拓，作周期延拓， 由狄利克雷充分條件，由狄利克雷充分條件，解解和函數(shù)和函數(shù)( ),( )0,22f xxS xx 四四.自測題自測題1.選擇題選擇題 (1)假設假設 收斂收斂,那么那么 11lim().nnnnuu 11,lim0,nnnnnnaaaa ，則該級數(shù)則該級數(shù)( ). (a)條件收斂條件收斂 (b)絕對收斂絕對收斂 (c)發(fā)散發(fā)散

23、 (d)可能收斂可能發(fā)散可能收斂可能發(fā)散(a)1；(b)0；(c)不存在；不存在；(d)不能確定不能確定(2)對任意級數(shù)對任意級數(shù) 假設假設 且且ad(3)若正項級數(shù) 及 都收斂,那么( )收斂. 11nnnnvu 211nnnnnaubu v 11210limlimlimnnnnnnnuabucuduuu 存存在在部分和數(shù)列有界部分和數(shù)列有界1nnu(4)當下列條件( )成立時, 收斂. 11min(,)max(,)nnnnnncu vdu vcba,da,(5)假設 在 處收斂,則在 處( ).13nnna xx 2311113!11.2.13.2 sin,03.132nnnnnnnnnn

24、nnnxnx 二二.判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性(a)發(fā)散發(fā)散 (b)條件收斂條件收斂 (c )絕對收斂絕對收斂 (d)不能確定不能確定2x c三三.判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性,若收斂是絕對若收斂是絕對收斂收斂,還是條件收斂還是條件收斂? 311122111cos1.2.2112!3.,03.!nnnnnnnnxnnannann 21111211.2.22nnnnnnxnxn 四四.求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間七七.證明證明:假設假設 和和 絕對收斂絕對收斂,那么那么 五五.求求 的和函數(shù)的和函數(shù),并求并求 的和的和. 021nnnx 11nnnnuv

25、112nnn 2132f xxx 2. 展開為 的冪級數(shù). 211fxx 1. 展開為展開為x的冪級數(shù)的冪級數(shù).六六.將函數(shù)展開為冪級數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)1nnnu v 也絕對收斂也絕對收斂. 4x 一一. 1.a; 2.d; 3.a,b,c; 4.a,d; 5.c.213.lim0,nnnnnnuuuu 收收斂斂有有（某某一一項項之之后后） 221;min,.2nnnnnnnu vuvu vu n自測題參考答案自測題參考答案由正項級數(shù)的比較判別法可得由正項級數(shù)的比較判別法可得(b),(c).由正項級數(shù)的比較判別法可得由正項級數(shù)的比較判別法可得(a).提提示示：類似地類似地,就是在就是在 內(nèi)收斂內(nèi)收斂, ,故在故在 處收斂處收斂. . 1326nnnaxxx 若若在在處處收收斂斂，則則二二. 1.發(fā)散發(fā)散,2.發(fā)散發(fā)散(比較比較),3.收斂收斂, 4.發(fā)散發(fā)散(必要條件必要條件)處絕對收斂處絕對收斂, ,為什么為什么? ?考慮考慮:5.由冪級數(shù)收斂域的特點由冪級