2020年湖南高考理科數(shù)學(xué)試題

1、2020年湖南高考理科數(shù)學(xué)試題注意事項:1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位 置上。2 .回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo) 號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時， 將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項 中，只有一項是符合題目要求的。1 .若2=l+i ,則 z2 - 2z| =A . 0B . 1C . >/2D . 22 .設(shè)集合力=x| V - 4W0 , B=x2xaQ,且

2、nPl序x| - 2WxWl,則4A . -4B . -2C .2D . 43 .埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐， 以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱推一個側(cè)面三角形的面積， 則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A .B.旦 C .D .42424 .已知力為拋物線。：/=2px （垃。）上一點，點倒面焦點的距離為12 ,至1力軸的 距離為9 ,則片A . 2B . 3C . 6D . 95 .某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x （單位：。C ） 的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)由此散點圖，

3、在10° C至40° C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā) 芽率y和溫度x的回歸方程類型的是A .y = a + bxB.y = a + bx2C .y = a+ 加'D.y = + bnx6 .函數(shù) -2/的圖像在點（1,川）處的切線方程為A .>' = -2x-lB.>' = -2x4-1C .y = 2x3D.y = 2x+7 .設(shè)函數(shù)/（x）= cos（s + *在-兀兀的圖像大致如下圖，則F（x）的最小正周期為1071A ,丁C竺 一 38 .（后），的展開式中表的系數(shù)為B . 10C . 159 .已矢口 ce（。，兀）

4、，且 3cos2a _8cosa = 5 z 貝（Jsina =A-T B-t C.； D.f10 .已知a,及。為球。的球面上的三個點，o。為418。的外接圓，若。a的面積 為4兀，AB = BC = AC = OO1 /貝狂求0的表面積為A . 64兀B . 48兀C . 36兀D . 32兀11 .已知。旃：/ + 9_2%-2尸2 = 0，直線/ ： 2x+y+ 2 = 0 , P為/上的動點，過點P 作。必的切線",心，切點為48 ,當(dāng)IPMIIA8I最小時，直線鉆的方程為A . 2x-y-l=0B 2x+y-l = 0 Q . 2x-y + = 0D . 2x + y +

5、 =012 .+ log, fl = 4" + 2log4 b ,貝JA . a>2bB . a<2bC . a>b2D . a<h2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。2x + y-2<0,13 .若x, y滿足約束條件出。，則與戶7y的最大值為. y + l>0,14 .設(shè)。力為單位向量,且用+加=1 ,則I。-6=.15 .已知尸為雙曲線4-/1（”。力>。）的右焦點，力為。的右頂點,B為。上的 點，且 跖垂直于x軸.若四的斜率為3 ,則。的離心率為.16 .如圖，在三棱錐P ABC的平面展開圖中，力01 , ab = ad

6、 = 43 , ABVAC, AB A_AD , NOF30° ,貝U cosZFCB=.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù) 要求作答。（一）必考題：共60分。17 .（12分）設(shè)也是公比不為1的等比數(shù)列，可為。2 , %的等差中項.（1 ）求的公比；（2 ）若q=1 ,求數(shù)列J的前項和.18 . （ 12 分）如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，隹為底面直徑,ae=ad . aabc是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。上一點，PO = DO .(1 )證明：E4_L平面；(2

7、)求二面角人PC-七的余弦值.19 . ( 12 分)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場 比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰； 當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終 獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為g , (1 )求甲連勝四場的概率；(2 )求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；(3 )求丙最終獲勝的概率.20 . ( 12 分)已知從方分別為橢圓1(珀左、右頂點，。為E的上頂點 而.痂=8 , P為直線產(chǎn)6上的動點，P

8、A與月的另一交點為C, PB與f的另一交點為D .(1)求£的方程；(2 )證明：直線切過定點21 .(12分)已知函數(shù) fM = ex + 6/x2- x.(1 )當(dāng)后時，討論 X)的單調(diào)性；(2)當(dāng)GO時，F(xiàn)(x),求H的取值范圍.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則 按所做的第一題計分。22 .選修44 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)Y COS* t在直角坐標(biāo)系'S中，曲線G的參數(shù)方程為。為參數(shù))以坐標(biāo)原點為 y - bin t極點，'軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為 4/9COS 0 -16/7sin 8 +

9、 3 = 0(1)當(dāng)"=i時，a是什么曲線？(2 )當(dāng)人=4時,求G與G的公共點的直角坐標(biāo).23 .選修45 ：不等式選講(10分)已知函數(shù) f(x)T3x + ll-21x71 .(1)畫出丁=/(幻的圖像；(2 )求不等式/Ofa+D的解集理科數(shù)學(xué)試題參考答案（A卷）選擇題答案一、選擇題1 . D2 . B3 . C4 . C5 . D6.B7 . C8 . C9 . A10 . A11 . D12 . B非選擇題答案二、填空題1 113 . 114 . V315 . 216 .-4三、解答題17 .解：（1 ）設(shè)同的公比為夕,由題設(shè)得的=4+%,即公=。闖+/.所以42+夕-2

10、 = 0,解得”1 （舍去），夕=-2.故回的公比為-2.（2 ）設(shè)S“為”的前刀項和.由（1 ）及題設(shè)可得，=（-2嚴(yán).所以Sn = 1 + 2 x (2) + + x (2)一1-2Sn = 一2 + 2 x (2)2 + + ( - 1) x (2)1 + x (2)”.可得 3sl = 1 + (- 2) + (-2尸 + + (一2尸一 x (-2)所以卜空鏟18 .解：(1 )設(shè)。=。，由題設(shè)可得夕。=",/。=曝。，48 = ”， 63PA = PB = PC = a 2因此尸T + PB=AB?,從而/<4必.PA2 + PC2=AC2 ,故尸A_LPC.所以&

11、quot;，平面PBC.(2)以。為坐標(biāo)原點，近的方向為y軸正方向，無為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-a”.由題設(shè)可得40,1,0),A(0,-1,0),C(-乎,0),P(0,0,卓). 乙 乙乙所以比= (-g,-1,0)上戶=(0,-1，4).設(shè)切= (x,y,z)是平面PCE的;去向量，貝！m EP = 0m EC = 0 ,即-y H2耳X-2-y = 0 2,可取6=(-4,忘).由(1 )知A戶= (0.1,4是平面PCB的一個法向量,記=Q , 乙n-m_2卡一號所以二面角B-PC-E的余弦值為若.19 .解：(1 )甲連勝四場的概率為5(2 )根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行

12、四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽.比賽四場結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為5；乙連勝四場的概率為；丙上場后連勝三場的概率為1.O所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率為m.(3 )丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為!.O比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負(fù)、 輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為A,;,18 .因此丙最終獲勝的概率為-20 .解：(1 )由題設(shè)得力(- 3,0),6(3,0), G(0,l).則而=(/1), gb= ( a , - 1 ).由 aG g*=8彳導(dǎo)S - 1=8 ,即a=3.所以用昉程為卷+/二

13、1.(2 )設(shè)。(X，必)，(生，次)，尸(6 , 2 ).若H0 ,設(shè)直線Q的方程為小奶力，由題意可知- 3<?<3.由于直線用的方程為尸;(戶3 ),所以必3 ( &+3 ).直線電的方程為尸:(x- 3 ),所以乃二：(生一 3 ). JJ可得3% (生 - 3 )=%(Xi+3 ).由于小4=1 ,故£=C:尸),可得27)， f+3)(占+3),即(27 + m2 )yty2 + m(n + 3)(y + y2) + (n + 3)2 = 0,將 x = my + 代入.+ J = 1 得(m2 + 9)>-2 + 2/wn+n2-9 = 0.所以

14、=一熟n2-9代入式得(27 + nr)(n2 -9)-2m(n + 3)mn + ( + 3)2(nr +9) = 0.解得無-3(含去)*|.故直線抽勺方程為x=，LV + g ,即直線出定點(1 ,0).若0 ,則直線痢方程為尸0，過點(g，0)綜上，直線0過定點(1,0).21 .解：(1 )當(dāng)時，/'( x ) =eA+y - x ,貝！=e”+2x - 1 .故當(dāng)( - 8 , o )時,fx)<o ;當(dāng)工£ ( 0 , +8 )時，ra)o .所以f ( x) 在(- 8,0 )單調(diào)遞減，在(0 , +8 )單調(diào)遞增.(2 )+ 1 等彳介于一“v+x +

15、 De-yi.設(shè)函數(shù)g(x) = (Jx'一av'+x + De-xO ,貝(J13/(X)=一(耳%5 - ax2 +x + l +2ax-l)e-'=-xx2 -(2t/ + 3)x + 4a + 2e-v=_ ；_ 2/ _ l)(x - 2)e-v.(i )若2K1W0 ,即“4-;,則當(dāng)( 0 , 2 )時，g'(x)O.所以g( x)在(0 , 2 )單調(diào)遞增，而g( 0 )=1 ,故當(dāng)正(0 , 2 )時，g( X)1 ,不合題意.(ii )若0<2Kl<2 ,即,則當(dāng)(0 , 2K1) U (2 , +8)時，g，(x)<0 ;

16、 乙乙當(dāng)(2a+l , 2)時，屋(才)>0.所以夙才)在(0 , 2a+l) , (2 , +8)單調(diào)遞減，在 (2K1 , 2)單調(diào)遞增.由于g(0)=l ,所以8(才)0當(dāng)且僅當(dāng)?(2)=(7-4切6-1, 即。2了.所以當(dāng)時,g(x) W1.(iii )若2K122 ,即弓，貝哈(x) W(#+x+D.由于OeH),故由(ii )可得(#+x+l)WL故當(dāng)心；時,奴王)W1.綜上，a的取值范圍是【三內(nèi))fY = C0S t22 .解：(1 )當(dāng)hl時，G：二sw消去參數(shù)得一 + 丁=1 ,故曲線G是圓心為坐 標(biāo)原點，半徑為1的圓.X - COS” I(2 )當(dāng)h4時，G：二 ，消去參數(shù)，得q的直角坐標(biāo)