高中統(tǒng)計與概率知識點

1、高 中 統(tǒng) 計 與 概 率 知 識 點 （文 科 ）（一）統(tǒng)計一、簡單隨機(jī)抽樣1 .總體和樣本在統(tǒng)計學(xué)中，把研究對象的全體叫做總體.把每個研究對象叫做個體.把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量.為了研究總體二的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：廠，門,入研究，我們稱它為樣本.其中個體的個數(shù)稱為樣本容量.2. 簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是 在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采

2、用這種方法。3. 簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：（1）抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法；計算機(jī)模擬法；使用統(tǒng)計軟件直接抽取。在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計中，主要考慮：總體變異情況；允許誤差范圍；概 率保證程度。4 .抽簽法：（1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號；（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實施抽簽（3）對樣本中的每一個個體進(jìn)行測量或調(diào)查例：請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動情況。5. 隨機(jī)數(shù)表法：例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級中抽取 10位同學(xué)參加某項活動。二、系統(tǒng)抽樣1. 系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：把總體的單位進(jìn)行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣 本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦

3、法抽取。K （抽樣距離）=N （總體規(guī)模）/n （樣本規(guī)模）前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相 關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有 明顯差別，說明樣本在總體中的分布成某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施 也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變 量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。三、分層抽樣 1分層抽樣（類型抽樣） ：先將總體中的所有單位按照

4、某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再?各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起 來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法：（1）先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。（2）先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系 統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。 2分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個個同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本 分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn)：（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各

5、層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3分層的比例問題：（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的 方法。（2）不按比例分層抽樣： 有的層次在總體中的比重太小， 其樣本量就會非常少， 此時采用該方法， 主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則 需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實際的 比例結(jié)構(gòu)。四、用樣本的頻率分布估計總體分布1. 頻率分布直方圖 組距與分組：樣本容量越大，分組越多，當(dāng)樣本容量不超過1

6、00時，一般可分成512組，組距力求“取整”。 直方圖中小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，小長方形的面積之和為1。 頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖。2. 莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)，中間的數(shù)字表示得數(shù)的十位數(shù)， 旁邊的數(shù)字分別表示兩個人得分的個位數(shù) .一般將各個數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谇o的左右側(cè)。五、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1.平均數(shù)：xx1x2nXn2. 極差：一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值的差，它反映了這組數(shù)據(jù)的偏離程度4.標(biāo)準(zhǔn)差：ss2_ 2X)(X2一、2X)3. 方差：9(Xn X)，標(biāo)準(zhǔn)差越小越穩(wěn)定

7、5用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是 一個估計，但這種估計是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。6. ( 1)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變(2) 如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k,標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍(3) 一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間(x 3s,x 3s)的應(yīng)用;“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學(xué)道理7. 如何

8、從頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征： 中位數(shù)：在直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。 平均數(shù)：在直方圖中，平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和。六、兩個變量的線性相關(guān)1、概念:(1) 回歸直線方程：散點圖中的點從整體上看分布在一條直線附近，這條直線叫回歸直線.(2) 回歸系數(shù)：直線方程y=kx+b,我們把直線方程記作：y=bx+a，其中，a,b叫做回歸系數(shù).b 是直線的斜率，a是截距.2. 最小二乘法3 直線回歸方程的應(yīng)用(1) 描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系(2) 利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報因子(即自變量x)

9、代入回歸方程對預(yù)報量(即因變量Y進(jìn)行估計，即可得到個體 丫值的容許區(qū)間。(3) 利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計控制規(guī)定 Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標(biāo)。如已經(jīng)得到了空氣中NQ的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來 控制空氣中N02的濃度。(二)概率隨機(jī)事件的概率及概率的意義1基本概念：(1) 必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件 S的必然事件；(2) 不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件 S的不可能事件；(3) 確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；(4) 隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條

10、件 S的隨機(jī)事件;(5) 頻數(shù)與頻率：在相同的條件 S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件 A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件 A出現(xiàn)的比例fn(A)= n為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機(jī)事件 A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件 A發(fā)生的 頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作 P( A)，稱為事件A的概率。(6) 頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù) nA與試驗總次數(shù)nAn的比值n，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多， 這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī) 事件

11、發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率。3.1.3概率的基本性質(zhì)1基本概念：(1) 事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2) 若An B為不可能事件，即An B=m，那么稱事件A與事件B互斥；(3) 若An B為不可能事件，AU B為必然事件，那么稱事件 A與事件B互為對立事件；(4) 當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AU B)= P(A)+ P(B)若事件A與B為對立事件，則AU B 為必然事件，所以 P(AU B)= P(A)+ P(B)=1 于是有 P(A)=1 P(B)2、概率的基本性質(zhì)：1) 必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0W

12、P(A) 1；2) 當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AU B)= P(A)+ P(B)3) 若事件A與B為對立事件，則 AU B為必然事件，所以P(AU B)= P(A)+ P(B)=1于是有P(A)=1 P(B)；4) 互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；(2)事件A不發(fā)生且事件B 發(fā)生；(3)事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件 A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其 包括兩種情形；(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生；(2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的 特殊情形。3.2.11、（1）古典概型的使用條件：試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟； 求出總的基本事件數(shù)；A包含的基本事件數(shù) 求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式 P（A）=總的基本事