M推理與證明(文科)

1、M推理與證明M1合情推理與演繹推理12. M1 2012陜西卷觀察下列不等式1 31 + 浮2，1 + N+N<322 32 3171 + ” +<4,照此規(guī)律，第五個,不等式為 .11111 1112. 1 + 22+32+42+52+62<6 斛析本小題王要考查了歸納與推理的能力，斛題的關(guān)鍵是對給出的幾個事例分析，找出規(guī)律，推出所要的結(jié)果.從幾個不等式左邊分析，可得出第五個式子的左邊為：1+£+/+，+£,對幾個不等式右邊分析，其分母依次為：234562,3,4,所以第5個式子的分母應(yīng)為 6,而其分子依次為：3,5,7,所以第5個式子的分子應(yīng)1 111

2、1 11為11,所以第 5個式子應(yīng)為：1+級+屐+不+屋+ 不<了.16. M1 2012 湖南卷對于 nCN*,將 n 表示為 n = akX2k+ a.1X 21 + + ax 21 + aoX20,當(dāng)i=k時，ai=1,當(dāng)0wiwk 1時，ai為0或1.定義bn如下：在n的上述表示中， 當(dāng)a。，a1, a2,，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1;否則bn = 0.(1)b2 + b4 + b6+ b8=;(2)記cm為數(shù)列bn中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則 cm的最大 值是.17. (1)3 (2)2 解析本題以二進制為依據(jù)考查數(shù)列推理，意在考查考生的邏輯推理

3、 能力，具體的解題思路和過程：由前幾項的結(jié)果，得出規(guī)律.(1)由 2=21 + 0=10(2)易知 b2= 1,4= 1 X22+ 0X 21+ 0X 20= 100(2)可知 b4= 1,同樣可知 b6=0, b8= 1,所以 b2+b4+b6+b8= 3;(2)任何一個二進制的數(shù)，當(dāng) 1的個數(shù)為奇數(shù)的時候，連續(xù)的這樣的數(shù)最多只有兩個，所以Cm的最大值是2.易錯點本題易錯一：推理能力不行，無法找到規(guī)律，導(dǎo)致無從下手；易錯二：發(fā)現(xiàn) 不了數(shù)列與二進制白關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致第(2)問無從下手.18. M1 2012湖北卷傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖1-6所

4、示的三角形數(shù)：3610圖1 6將三角形數(shù)1,3,6,10,記為數(shù)列an,將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組 成一個新數(shù)列bn.可以推測：(1)b2 012是數(shù)列an中的第 項；(2)b2k 1 =.(用 k 表木)17.答案(1)5 030 (2)5k 5k1n n+ 1解析由以上規(guī)律可知三角形數(shù) 1,3,6,10,的一個通項公式為 an=-2,寫出其若 干項來尋找規(guī)律：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,其中能被 5 整除的為 10,15,45,55,105,120,即 b1=a4, b2=a5, b3=a9, b4=a10, bs

5、= a14, b6=a15.5k 5k+ 1由上述規(guī)律可猜想：b2k = a5k=2(k為正整數(shù)),5k- 1 5k1 + 15k 5k 1b2k 1 = a5k 1 =2，故 b2 012= a2>< 1 006= a5>< 1 006 = a5 030,即 b2 012是數(shù)列an中的第5 030項.20 . C1、M1 2012福建卷某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等 于同一個常數(shù)：(1)sin213 °+ cos217 sin13 cos17 ；(2)sin215 °+ cos215 sin15 cos15 ；(3)sin218

6、 °+ cos212 sin18 cos12 ；(4)sin2( 18 °)+ cos248 sin( 18 )cos48(5)sin2( 25 °)+ cos255 -sin( 25 )cos55 :(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.21 .解：解法一：(1)選擇(2)式，計算如下:sin215 ° + cos215 ° sin15 cos15 = 1 2sin30=1=34 4.3(2)二角恒等式為sin2cos(30 o) sin acos(30 a

7、) = 4.證明如下：sin2 a+ cos2(30 a) sin ocos(30 0)=sin2 a+ (cos30 cosa+ sin30 sin a)2 sin a(cos30 cos a+ sin30 sin 力23231 2312=sin a+ 4cos a+ 2 sin acos a+ 4sin a 2 sin ocos a "sin a='sin2 a+ J?cos2 a= *444解法二：(1)同解法一.3(2)三角恒等式為 sin2 訃 cos2(30 -力一sin”cos(30 - 0 = 4.證明如下：sin2 a+ cos2(30 a) sin oco

8、s(30 0)1 cos2 a2+1 + cos 60 1 2。一sin Xcos30 cos a+ sin30 sin o)111 , 1 oo2 -2cos2a+ 2 + 2(cos60 cos2a+ sin60 sin2 o) 2cos2(x+ 2+ 4cos2 計 11, 1=1 - 4cos2 a 4 + 4cos2 a=,3, 34 sin2 a 4 sin234.3122：.-22 sin(xcos(X 2$，。民1(X 4(1 cos2 ex)5. M1 2012江西卷觀察下列事實：|x|十|y|=1的不同整數(shù)解(x, y)的個數(shù)為4, |x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x, y

9、)的個數(shù)為8, |x|十|y|=3的不同整數(shù)解(x, y)的個數(shù)為12,，則|x| 十 |y|= 20的不同整數(shù)解(x, y)的個數(shù)為()A. 76 B. 80 C. 86 D. 925. B 解析個數(shù)按順序構(gòu)成首項為4,公差為4的等差數(shù)列，因此岡+|y|=20的不同整數(shù)解(x, y)的個數(shù)為4+4(20 1)= 80,故選B.M2直接證明與間接證明23. D5、M2 2012上海卷對于項數(shù)為 m的有窮數(shù)列an,記bk= max ai, a2,， ak( k= 1,2,，m),即bk為a1, a2,，ak中的最大值,并稱數(shù)列bn是an的控制數(shù)歹U.如 1,3,2,5,5 的控制數(shù)列是 1,3,

10、3,5,5.(1)若各項均為正整數(shù)的數(shù)列an的控制數(shù)列為2,3,4,5,5,寫出所有的an；(2)設(shè) bn是 an的控制數(shù)列，滿足ak+ bm k+1= C(C為常數(shù)，k= 1,2,，m),求證：bk=ak(k=1,2,，m);1.4c.nn+1(3)設(shè) m = 100,吊數(shù) a 2, 1 .右 an= an2- (- 1)23 bn是an的控制數(shù)歹U,求 (b1 a1)+ (b2 a2)+ + (b1。一 a100).23.解：(1)數(shù)列an為：2,3,4,5,1 或 2,3,4,5,2 或 2,3,4,5,3 或 2,3,4,5,4 或 2,3,4,5,5.(2)因為 bk= maxa1,

11、 a2, ，ak, bk+1=maxa1, a2, ，a. ak+1,所以 bk+ 1 > bk.因為 ak+ bm- k + 1 = C, ak + 1+bm-k=C,所以 ak+ 1 ak= bm k+1 bm k>0, 即 ak+ 1 > ak.因此，bk= ak.(3)對 k=1,2,，25,a4k 3 = a(4k 3)2+(4k- 3);a4k 2 = a(4k 2)2+(4k- 2);a4k 1 = a(4k- 1)2-(4k- 1);a4k= a(4k)2_ (4k).比較大小，可得 a4k 2> a4k 3.1因為 2V av 1,所以 a4k 1 a

12、4k2 = (a 1)(8k 3)v 0,即 a4k 2> a4k-1.a4ka4k 2= 2(2a1)(4k 1) >0,即 a4k>a4k 2.又 a4k>a4k 1.從而 b4k 3= a4k-3, b4k-2 = a4k-2, b4k-1=a4k-2, b4k= a4k.因此(b一 a1)+ (b2 a2)+ + (b1。一 a100)=(a2 a3)+ (a6 a7) + + (a98 a99)25=(a4k 2a4k 1)k=125=(1 - a) (8k-3) = 2525(1 a). k= 122. B12、M22012 湖南卷已知函數(shù) f(x) = e

13、x-ax,其中 a>0.(1)若對一切xC R, f(x)>1恒成立，求a的取值集合；(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點 A(x1, f(x1), B(x2, f(x2)(x1x2),記直線 AB的斜率為 k,證明：存在 xoC(xi, X2),使 f' (xo)=k成立.22.解：(1)f' (x)=eXa.令 f' (x)=0得 x=lna.當(dāng)xvlna時，f' (x)< 0, f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x> Ina時，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞增.故當(dāng) x =ln a時,f(x)取最小值 f(lna) = aal

14、na.于是對一切xCR, f(x)>1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)a alna> 1.令 g(t)=ttint,則 g' (t)=Int.當(dāng)0vtv1時，g' (t)>0, g單調(diào)遞增；當(dāng)t>1時，g' (t)<0, g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t=1時，g(t)取最大值g(1)=1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，式成立.綜上所述，a的取值集合為1.f x2 f x1ex2ex1(2)由題意知, k= 一 a.x2x1x2 x1ex2 ex1 令(f)(x)=f/ (x) - k= ex,則x2 x1exi(f(x1) = ex2 x1 (x2 x1) 1,x2

15、x1ex2(j(x2) =ex1 x2 (x1 x2) 1.x2 x1令 F(t) = et t1,則 F' (t)=et1.當(dāng)t<0時，F(xiàn)' (t)<0, F(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t>0時，F(xiàn)' (t)>0, F單調(diào)遞增.故當(dāng) tw0 時，F(xiàn)(t)>F(0) = 0,即 et-t-1>0.ex1-ex2-從而 ex2 x1 (x2x1) 1 >0, ex1 x2 (x1 x2) 1 >0, 又 >0,>0,x2 x1x2 x1所以 4(x1)V0, 4(x2) >0.因為函數(shù)y= (f)(x)在區(qū)間x1 ,

16、 x2上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0C(x1,x2),使 ©x0)=0,即 f' (xo)=k成立.M3數(shù)學(xué)歸納法M4 單元綜合23. M42012江蘇卷設(shè)集合Pn = 1,2,，n, nC N*.記f(n)為同時滿足下列條件的 集合A的個A? Pn；若 xC A,貝u 2x?A;若 xC ?PnA,貝u 2x?PnA.求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示).23.解：(1)當(dāng) n=4 時，符合條件的集合 A 為：2 , 1,4 , 2,3 , 1,3,4,故 f(4) =4.(2)任取偶數(shù)xC Pn,將x除以2,若商仍為偶數(shù)，再除以 2,，經(jīng)過k次以后

17、，商必 為奇數(shù)，此時記商為 m,于是x=m2k,其中m為奇數(shù)，kC N*.由條件知，若mCA,則xCA? k為偶數(shù)；若m?A,則xC A? k為奇數(shù).于是x是由m是否屬于A確定的.設(shè) Qn是Pn中所有奇數(shù)的集合，因此 f(n)等于Qn的 子集個數(shù).當(dāng)n為偶數(shù)(或奇數(shù))時，Pn中奇數(shù)的個數(shù)是2或nJ ,所以f(n)= 22, n為偶數(shù)，n+1,，22一, n為奇數(shù).20. B3、D4、M42012北京卷設(shè)A是如下形式的 2行3列的數(shù)表,abcdef滿足性質(zhì) P： a, b, c, d, e, fC 1,1,且 a+b+c+ d + e+f= 0.記ri(A)為A的第i行各數(shù)之和(i=1,2),

18、Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(j= 1,2,3);記 k(A)為|r1(A)|, |2(A)|, |ci(A)|, |C2(A)|, |C3(A)|中的最小值.對如下數(shù)表A,求k(A)的值；11 0.80.1-0.3-1(2)設(shè)數(shù)表A形如11-1- 2ddd1其中一1WdW0,求k(A)的最大值；對所有滿足性質(zhì) P的2行3列的數(shù)表A,求k(A)的最大值.20.解：因為 n(A)=1.2, r2(A)=- 1.2, ci(A) = 1.1, c2(A) = 0.7, c3(A) = - 1.8, 所以 k(A)=0.7.(2)r1(A)= 1 -2d, r2(A) = 1 + 2d,ci(A)=C2(A)= 1 + d, c3(A)=2 2d.因為一1 w dw 0,所以 |r1(A)|= |r2(A)|>1 + d>0,|C3(A)|>1 + d>0.所以k(A)=1 + dW1.當(dāng)d=0時，k(A)取得最大值1.任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表A(如下所示).abcdef任意改變A的行次序或