中考數(shù)學(xué)圓中常作哪些輔助線 新課標(biāo) 人教版

1、中考數(shù)學(xué)圓中常作哪些輔助線通過作輔助線能使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，圓問題中常用的輔助線是哪些呢？現(xiàn)把一些規(guī)律總結(jié)如下：弦與弦心距，密切緊相連.直徑對(duì)直角，圓心作半徑.已知有兩圓，常畫連心線.遇到相交圓，連接公共弦.遇到相切圓，作條公切線.“有點(diǎn)連圓心，無(wú)點(diǎn)作垂線.”切線證明法，規(guī)律記心間.一、作弦心距.在解決有關(guān)弦的問題時(shí)，常常作弦心距，以利用垂經(jīng)定理或圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理及推論.因此“弦與弦心距，密切緊相連.”.例1.如圖，是O的直徑,POAB交O于P點(diǎn)，弦PN與AB相交于點(diǎn)M，求證：PMPN=2PO2.分析：要證明PMPN=2PO²，即證明PM=PO²，過O點(diǎn)作OC

2、PN于C，根據(jù)垂經(jīng)定理=PC，只需證明PMPC=PO²，由，“三點(diǎn)定型”法可判斷需證明RtPOCRtPMO.證明: 過圓心O作OCPN于C，PC=PNPOAB, OCPN，MOP=OCP=900.又OPC=MPO，RtPOCRtPMO.，即PO2= PMPC.PO2= PMPN，PMPN=2PO2.二、連結(jié)半徑圓的半徑是圓的重要元素，圓中的許多性質(zhì)如：“同圓的半徑相等”和“過切點(diǎn)的半徑與切線相互垂直”都與圓的半徑有關(guān).連結(jié)半徑是常用的方法之一.例2已知：ABC中，B=900，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓切AC與D點(diǎn)，交AB與E點(diǎn)，AD=2，AE=1.ABCDEO求證:

3、CD的長(zhǎng).分析：D為切點(diǎn)，連結(jié)DO，ODA=900.根據(jù)切線長(zhǎng)定理CD=CB.DO=EO= 半徑r，在RtADO中根據(jù)勾股定理或RtADO RtABC，求出CD.證明: 連結(jié)DO ODAC于D, OCP=900. AB過O點(diǎn), B=900.BC為O的切線, CD=CB設(shè)CD=CB=x,DO=EO=y在RtADO中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=1(1+y)2=22+y2, y=在RtABC中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+)2+x2, x=3CD=3.三、連結(jié)公共弦在處理有關(guān)兩圓相交的問題時(shí)，公共弦像一把“鑰匙”，常?？梢源蜷_相應(yīng)的“鎖”，因此“遇到相交圓，連

4、接公共弦.”。例3已知：如圖，O1和O2相交于點(diǎn)A和B，O2O1的延長(zhǎng)線交O1于點(diǎn)C，CA、CB的延長(zhǎng)線分 別和O2相交于點(diǎn)D、E，求證：AD=BE. 分析：O1和O2是相交的兩圓，作公共弦AB為輔助線.證明：連結(jié)AB交O2O1于P點(diǎn) ，O1 O2A B且O1 O2的平分ABCA=CBACP=BCP點(diǎn)O2到線段AD、CE的距離相等AD=BE. 四、作連心線 兩圓相交，連心線垂直平分兩圓的公共弦；兩圓相切，連心線必過切點(diǎn).通過作兩圓的連心線，可溝通圓心距、公共弦、兩圓半徑之間的關(guān)系.因此，“已知有兩圓，常畫連心線.”.例4已知：如圖，A和B外切于P點(diǎn)，A的半徑為r和B的半徑為3r, CD為A、B

5、的外公切線，C、D為切點(diǎn)，求：（1）CD的長(zhǎng)；（2）CD與弧PD及弧PC所圍成的陰影部分的面積.解：連結(jié)AB、AC、BDA和B外切于P點(diǎn)，AB過P點(diǎn)CD為A、B的外公切線，C、D為切點(diǎn)，ACCD，BDCD過A點(diǎn)作AEBD于E，則四邊形ACDE為矩形.DE=AC= r，BE=BD-DE=3r-r=2r在RtAEB中，AB=AP+PB=r+3r=4r，BE=2rAE=.CD=2 r .COSB=，B=600.CAB=CAE+BAE=900+300=1200.S陰影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP=4r2r2r2=（4）r 2.五、作公切線分析：相切兩圓過切點(diǎn)有一條公切線，這條公切線在解

6、題時(shí)起著非常重要的作用，如本題中，所作的內(nèi)公切線MN起到溝通兩圓的作用.因此，相切兩圓過切點(diǎn)的公切線是常用輔助線.例已知：O1和O2外切于點(diǎn)A，是O1和O2外公切線，、為切點(diǎn).求證：A證明：過切點(diǎn)作公切線交于點(diǎn)，是O1和O2外公切線，PBA=PAB，PAC=PCAPBA+PAB+PAC+PCA= 180 0.BAC= 90 0.A.六、切線判定分兩種：公共點(diǎn)未知作垂線、公共點(diǎn)已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時(shí)滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以,在證明直線是切線時(shí),

7、往往需要通過作恰當(dāng)?shù)妮o助線,才能順利地解決問題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1無(wú)點(diǎn)作垂線.需證明的切線，條件中未告之與圓有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.例6已知：如圖，AB是半圓的直徑，ADAB于A， BCAB于B，若DOC= 90 0.求證：DC是半圓的切線.分析：DC與O沒有交點(diǎn)，“無(wú)點(diǎn)作垂線”，過圓心O作OEDC，只需證OE等于圓的半徑.因?yàn)锳O為半徑，若能證OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中，如何證明DEODAO呢？證明：作OEDC于E點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF.又DOC= 90 0. FO=FD1=3.ADAB，BCAB,BCA

8、D,OF為梯形的中位線.OFAD . 2=3.1=2.DO是ADE的角平分線.OADA，OEDC，OA=OE=圓的半徑. DC是半圓的切線.2有點(diǎn)連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點(diǎn)與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例7AB為O的直徑，BC為O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，求證：CD是O的切線.分析：D在O上，“有點(diǎn)連圓心”，連結(jié)DO，證明DODC即可. 證明：連結(jié)DO，OCAD DAO=COB，DAO=DOCDOC=COB，又OC=OC，DO=BODOCBOC ODC=OBC，BC為O的切線，切點(diǎn)為BOBC=900，ODC=900，又D 在O上，CD是O的

9、切線. 課后沖浪一、填空題1. 已知圓的半徑為2,圓心到弦的距離為1,則此弦長(zhǎng)為_.2從O的直徑兩端到此圓的一條切線的距離分別為1和3,則此圓的半徑長(zhǎng)為_.3以點(diǎn)O為圓心畫兩個(gè)半徑不等的圓，大圓的弦AB交小圓于C、D，若AB=10，CD=6，則BD=_.4已知兩圓外離，圓心距為5，大圓半徑為2.5，小圓半徑為1.5 ,則外公切線長(zhǎng)為 ，內(nèi)公切線長(zhǎng)為 .5.如圖,PA,PB是O的兩條切線,過AB弧上一點(diǎn)C,作切線分別交PA,PB于D,E,若P=40°,求DOE . . 第5題 第6題 第7題 6已知，在DABC,AB=AC=2cm, BAC=120°,O是它的外接圓，則O的直

10、徑為 .7已知,如圖，O與O相交于A、B兩點(diǎn)，且，O半徑為8cm，O半徑為6cm，則AB的長(zhǎng)是 .8已知：DABC，C=90°，AC=6cm,BC=8cm，以C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑畫圓交AB于D，則弦AD的長(zhǎng)為 .9O1與O2的一條內(nèi)公切線與連心線的夾角等于45°，O1與O2的直徑分別為10cm和8cm，則其內(nèi)公切線的長(zhǎng)是 cm.10如圖，MA、MB與O相切，已知M=600， AB=1，則O的直徑為_. 第10題 第11題11如圖，直徑都是4的O1與O2外切于C點(diǎn)，半徑為6的O分別與O1和O2內(nèi)切于A、B，則陰影部分的面積為 2.12O1與O2外切于P點(diǎn)，外公切線與連心線

11、夾角是cm，則兩圓半徑分別為 和 .13如圖，弦DC、EF的延長(zhǎng)線交于圓外一點(diǎn)P，割線PAB經(jīng)過圓心O，請(qǐng)你結(jié)合現(xiàn)有圖形，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件： ，使1=2.14如圖，AB為O的直徑，P點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，PM切O于M點(diǎn)，若OA=a,PM=,那么DPMB的周長(zhǎng)是 . 第13題 第14題 第15題15如圖，AB為O的直徑，CD是弦，若AB=10，CD是8，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為 .二、證明解答題16已知：P是O外一點(diǎn)，PB，PD分別交O于A、B和C、D，且AB=CD.求證：PO平分BPD.17如圖，ABC中，C=90°，圓O分別與AC、BC相切于M、N，點(diǎn)O在AB上，如果A

12、O=15，BO=10，求圓O的半徑.18已知：ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，BC切O于E點(diǎn).求證：AD也和O相切.19如圖，學(xué)校A附近有一公路MN，一拖拉機(jī)從P點(diǎn)出發(fā)向PN方向行駛，已知NPA=30°，AP=160米，假使拖拉機(jī)行使時(shí)，A周圍100米以內(nèi)受到噪音影響，問：當(dāng)拖拉機(jī)向PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪音影響？請(qǐng)說明理由.如果拖拉機(jī)速度為18千米小時(shí)，則受噪音影響的時(shí)間是多少秒？20如圖，A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn)，OA=2，AB是圓O的切線，B是切點(diǎn)，弦BCOA，連結(jié)AC，求陰影部分的面積.21如圖，已知AB是的直徑，CD是弦，AECD，垂足為E,BFCD，垂足為F.求證：DE=CF.22如圖，O2是O1 上的一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心，O1O2為半徑作一個(gè)圓交O1 于C，D直線O1O2分別交O1 于延長(zhǎng)線和O1 ，O2于點(diǎn)A與點(diǎn)B連結(jié)AC，BC求證：AC=BC；設(shè)O1 的半徑為r，求AC的長(zhǎng)