專題二：平行四邊形常用輔助線的作法

1、專題講義平行四邊形十幾何輔助線的作法、知識點1 .四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1)四邊形的內(nèi)角和等于360° ;(2)四邊形的外角和等于360° .2 .多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1) n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180 °(2)任意多邊形的外角和等于 36003 .平行四邊形的性質(zhì)：性質(zhì)四邊形ABC北平行四邊形判定(1)兩組對邊分別平行;(2)兩組對邊分別相等;(3)兩組對角分別相等;(4)對角線互相平分； (5)鄰角互補.4、平行四邊形判定方法的選擇已知條件選擇的判定方法邊1 一助邊超等L方法，方法一組對邊平行定義(方法1),方法(3)角一組對用相等.二

2、方法5時曲線方法315、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法(1)利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1、如圖，已知點O是平行四邊形ABCD勺對角線AC的中點，四邊形OCD日平行四邊形.求證：OE與AdM相平分.9代 / 亨/ 詼說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求“證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)， 可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.(2)利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2、如圖，在 ABC中，E、F為AB上兩點,AE=BF ED 求證:ED+FG=AC. 說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對邊平 行時，可通過作平行線構(gòu)造另一組 對邊平行，得到平行四邊形解決問(3)利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3、如圖

3、，已知 ADbABC勺中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求證BF=AC.說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行 四邊形，實際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊 形.當(dāng)已知中點或中線應(yīng)思考這種方法.(4)連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形例4、如圖，在平行四邊形ABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE CF ,請你以F為一和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新線段,猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)(5)平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形C12,A、 1 m 11B 、2 m 22例5、如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O,如果

4、ACBD 10, AB m,那么m的取值范圍是(C、 10 m 12(6)過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例6、已知：如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD 2 DA2(7)延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形例7、已知：如右上圖4,在正方形ABCD中,于P點，求證：AP ABE,F分別是CD、DA的中點，BE與CF交并證明你的圖4二、課堂練習(xí)：1、如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，AC與DE相交于點F ,若平行四邊形ABCD的面積為S,則圖中面積為1s的三角形有()2A. 1個 B .2個 C .3

5、個D.4個2、順次連接一個任意四邊形四邊的中點，得到一個 四邊形.3、如圖，AD, BC垂直相交于點 O, AB/ CD BC=8 AD=q 貝U AB+CD勺長=4、已知等邊三角形 ABC的邊長為a, P是 ABC內(nèi)一點，PD/ AB, PE/ BC PF /AC,點DE、F 分另I在 BC、AG AB上，猜想：PN PE+PF=猜想.5、平行四邊形ABCM , E,G,F,H分別是四條邊上的點，且 AE CF , BC DH ,試說明：EF與GH相互平分.8、如圖，E是梯形ABCD要DC的中點.E6、如圖，平行四邊形 ABCD勺對角線AC和BD交于O, E、F分別為OB OD的中點，過O

6、任作一直線分另I交AR CD于G、H,試說明：GF/ EH7、如圖，已知AB AC , B是AD的中點，E是AB的中點.試說明：CD 2CE9、已知六邊形 ABCDEF勺6個內(nèi)角均為120° , C52cm, BO 8cm, AB= 8cm, AF=5cm試求此六邊形的周長.10、已知 ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC邊上的任一點，且DE ABDF AC,CH AB ,垂足分別為 E、F、H,求證：DE DF CH11、已知：在 Rt ABC中，AB BC ;在Rt ADE中，AD DE ;連結(jié)EC ,取EC的中點M ,連結(jié)DM和BM .(1)若點D在邊AC上，點E在邊AB上

7、且與點B不重合，如圖, 求證：BM DM 且 BM DM ;(2)如果將圖8-中的ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍成立如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明.AD圖圖-DEAO OC, DO OB AO AE OC FC 即 OE OF BF DECE , DC BE ,貝U有四邊形CDBE為平行10, AE 2AB 2m22 解得1 m 11 故選ADF BC的延長線于點FBE)2 AB2 BC2 2BE BC222CF) CD BC 2BC CF2BC CF 2BC BE四邊形ABCD為平行四邊形AB / CD 且 AB CD , AD

8、BCABC DCFAEB DFC 900答案：例 4、(1)連結(jié) BF(2) BF(3)證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè)DB,AC交于點O四邊形ABCD為平行四邊形v AE FC四邊形EBFD為平行四邊形例5、解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB 四邊形，.在 ACE 中，AC 12, CE BD .12 10 2m 12 10,即 2 2m例6、證明：過A,D分別作AE BC于點E , .AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC22222BD DF BF (CD CF ) (BC貝(JAC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DAABEDCF._22_222_2 AC BD AB BC CD

9、 DA例7、證明：延長CF交BA的延長線于點K二.四邊形ABCD為正方形AB / CD 且 AB CD, CD AD , BAD BCDD 900 二 1 K 又' D DAK 900, DF AFCDF KAF一 1 1 AK CD AB. CE CD,DF -AD. CE DF22V BCD D 900BCE0 CDF1213 90023 900CPB 90°加 KPB 900二 AP AB二、課堂練習(xí)1、C 2、平行 3、1045、分析:形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)即可得到EF與GH相互平分£ B6、分析：觀察圖形，GF與EH為四邊形GEHFF勺

10、對邊，若能說明四邊形EHFB平行四邊形,平行四邊形具有對邊平行的性質(zhì)可得 GF/ EH7、分析：延長CE至F,使EF= CE連結(jié)AF、BF,得四邊形AFBO平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)證明 DB3 zFBC即可。觀察圖形，EF與HG為四邊形HEGFF勺對角線，若能說明四邊形 HEG即平行四邊8、分析：過點E作MN/ AB,交BC于N,交AD的延長線于M,則四邊形ABN曝平行四邊形, ABE與四邊形ABNM底等高所以Saabe= 1 S平行四邊形abnm2S梯形ABCH S平行四邊形ABnMIJ可。9、延KBA、EF.交點記作G；ED*交點記作ILV , 1=130%M理，-4=_7=此 推

11、導(dǎo)出AHL與6CDH都是止 三角形F（.：=GA=FA=5b -06幽CD=DH=CH-，一 H7H.7 B+ H-1 的，二； G+ F=ISO0, 二 GEf<BH因此四邊形"KHli是平行四功生， GBWW=- BH=BC+<H=W西邊海GBH£的周長13+10）x276六的幫的周長的周歸二四切序3BHF的周長-12=3，10、 證明：過D點作DGL CH于G又 DEL AB于 E, CHL AB于 H四邊形 DGH時矩形. DE= GH EH/ DG. ./B= /GDC又 AB= AC./B= /ACB /GDe /ACB又/DGC /DFC 90&#

12、176;CD = DC （公共邊）. .CD冬ADCF（ AAS .DE CG又 C+ CG+ GH；C+ DF+ DG （等量代換）11、能 :.AEG和AME都是母餐 .且曲ECWIT洱，/政丁政軻，靈整遙;叩湖中星。網(wǎng)號鵡 掰償玫；包“ &瑞1C,二煙4KE/ /BME 是乙3冢燈的外角，.ZMBC- ZMCB=2 ZMCE,同理 2期= CMDC+MCLW 2MCD（ /心+ zijtgs） ；42* 一三蜴0加寸門、n4rL平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同 性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造

13、就線段的平行、垂直，構(gòu)成三 角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常 用方法有下列幾種，舉例簡解如下：(1)連對角線或平移對角線：(2)過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3)連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或 中位線(4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。(5)過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形ABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE CF ,請你以F為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成

14、一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)連結(jié)BFBF DE證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè)DB,AC交于點O四邊形ABCD為平行四邊形. AO OC, DO OBV AE FCAO AE四邊形EBFD為平行四邊形OC FC 即 OE OF BF DE圖2第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點0,如果AC 12,BD 10, AB m,那么m的取值范圍是()A1 m 11 B 2 m 22 C 10 m 12 D 5 m 6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB CE , DC BE ,則有四邊形CD

15、BE為平行四 邊形，.在 ACE 中，AC 12, CE BD 10, AE 2AB 2m .12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故選 A第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。 例3已知：如左下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2證明：過A,D分別作AE BC于點E , DFBC的延長線于點F .AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF2 (CD2CF2)(BC CF)2 CD2 BC2 2BC CF貝(JAC

16、2 BD2 AB2 BC2CD2DA2 2BC CF 2BC BE四邊形ABCD為平行四邊形AB / CD 且 AB CD , AD BCABCDCFAEBDFC 900ABEDCFCF2_222_2BD AB BC CD DA圖4第四類：延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4:已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點，BE與CF 交于P點，求證：AP AB證明：延長CF交BA的延長線于點K 二.四邊形ABCD為正方形AB / CDH AB CD, CD AD , BAD BCD D 90°1 K 又. D DAK 90°, DF

17、AF - CDF KAF11 . AK CD ABv CE 1CD,DF 1 AD. . CE DF22V BCD D 90°. BCE0 CDF120_013 9023 90CPB 900,WJ KPB 900 AP AB第五類：延長一邊上一點與一頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形ABCD中，點E為邊CD上任一點，請你在該圖基礎(chǔ)上， 適當(dāng)添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長 AE與BC的延長線相交于 F ,則有 AEDs FEC , FAB s FEC , AED s FABAEB圖5C第六類：把對角線交點與一邊中點連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線1例6已知：如右上圖6,在平行四邊形ABCD中，AN BN , BE BC ,