北師大初中數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：圓綜合復(fù)習(xí)--知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、中考總復(fù)習(xí)：圓綜合復(fù)習(xí)一知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1 .圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考考查的重點(diǎn)，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明定會(huì)有下降趨 勢(shì)，不會(huì)有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2 .今后的中考試題中將更側(cè)重于具體問題中考查圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對(duì)應(yīng)用、創(chuàng)新、開放探 究型題目，會(huì)根據(jù)當(dāng)前的政治形勢(shì)、新聞背景和實(shí)際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用 于生活.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】與阿有關(guān)的 位置關(guān)系直線和-f圓的位置關(guān)系三角f形內(nèi) 切圓【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、圓的有關(guān)概念1 .圓的定義如圖所示，有兩種定義方式:在一個(gè)平面內(nèi)，線段 OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) 。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖

2、形 叫做圓.固定的端點(diǎn)。叫做圓心，以。為圓心的圓記作。0,線段OA叫做半徑；圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.2 .與圓有關(guān)的概念弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；如上圖所示線段AB, BG AC都是弦.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如AC是。的直徑，直徑是圓中最長的弦.?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，如曲線 BC BAGTB是。中的弧，分別記作 BC , BAC .半圓：圓中任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，如AC是半圓.劣弧：像BC這樣小于半圓周的圓弧叫做劣弧.優(yōu)?。合馚AC這樣大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧.同心圓：

3、圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓.弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.?圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角，如上圖中/ AOB / BOC是圓心角.?圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如上圖中/ BAC /ACBtB是圓周角.考點(diǎn)二、圓的有關(guān)性質(zhì)1 .圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸，有無數(shù)條.圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是對(duì)稱中 心，又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，即旋轉(zhuǎn)任意角度和自身重合.2 .垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且

4、平分弦所對(duì)的兩條弧.如圖所示：D要點(diǎn)詮釋：在圖中直徑CD), (2)CD±AB, (3)AM=MB (4) AC = BC , (5) AD = BD ,若上述5個(gè) 條件有2個(gè)成立，則另外3個(gè)也成立.因此，垂徑定理也稱“五二三定理”.即知二推三.注意：(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制 AB不能為直徑.3 .弧、弦、圓心角之間的關(guān)系在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相 等.4 .圓周角定理及推論圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一 半.圓周角定

5、理的推論：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.要點(diǎn)詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中.考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1 .點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如圖所示.d表示點(diǎn)到圓心的距離，r為圓的半徑.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如下表:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d與r的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)d< r點(diǎn)在圓上d= r點(diǎn)在圓外d> rB要點(diǎn)詮釋：(1)圓的確定：過一點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示.過兩點(diǎn)A、B的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示.經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.如圖所示.(2)三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，并且只能畫一個(gè).經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外

6、接圓.三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心 就是三角形三條邊的垂直平分線交點(diǎn).它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，都等于三角形外接圓的半徑.如 圖所示.2 .直線與圓的位置關(guān)系設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系如下表.圓的切線.切線的定義：和圓有唯一公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線.這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn).切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端.且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.友情提示：直線l是。的切線，必須符合兩個(gè)條件：直線 l經(jīng)過。上的一點(diǎn)A;。叱1.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.切線長定義：我們把圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段

7、的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長.切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩 條切線的夾角.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：找三角形內(nèi)心時(shí)，只需要畫出兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn).三角形外心、內(nèi)心有關(guān)知識(shí)比較圖形名稱確定方法性質(zhì)外心（三三角形三()A = OB =角形外邊垂直平3C外心不接圓的分線的一定在三角形圓心）交點(diǎn)的內(nèi)部A A內(nèi)心（三三角形三角形內(nèi)個(gè)內(nèi)角平ataja 分切圓的分線的別平分/即CD圓心）她3 .圓與圓的位置

8、關(guān)系在同一平面內(nèi)兩圓作相對(duì)運(yùn)動(dòng),可以得到下面5種位置關(guān)系，其中 R r為兩圓半徑（R>r） . d為圓心距.位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)Rm與d的關(guān)系外離ch0d>R-r外切1aR+r相交2內(nèi)切邕1內(nèi)含()dVRi r要點(diǎn)詮釋：相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)舍.其中相切和相交是重點(diǎn).同心圓是內(nèi)含的特殊情況.圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來理解.4時(shí)，要特別注意，ri2.考點(diǎn)四、正多邊形和圓1 .正多邊形的有關(guān)概念正多邊形的外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫正多邊形的中心.外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距，正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，這個(gè)角叫正

9、多邊形的中心角，正多邊形的每一個(gè)中心角都等于360-.要點(diǎn)詮釋:通過中心角的度數(shù)將圓等分，進(jìn)而畫出內(nèi)接正多邊形，正六邊形邊長等于半徑.2 .正多邊形的性質(zhì)任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩圓是同心圓.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，偶數(shù)條邊的正多邊形也是中心對(duì)稱圖形，同邊數(shù)的兩個(gè)正多邊形相似，其周長之比等于它們的邊長（半徑或邊心距）之比.3 .正多邊形的有關(guān)計(jì)算定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形.正n邊形的邊長a、邊心距r、周長360180°an =， an =2RUsin,nnp和面積s的計(jì)算歸結(jié)為直角三角形的計(jì)算.180°rn = R

10、 U cos，nI =1an Urn Lin =Pn7 .22考點(diǎn)五、圓中的計(jì)算問題1.弧長公式：i=nLR,其中l(wèi)為n180的圓心角所對(duì)弧的長，R為圓的半徑.n- R22.扇形面積公式：S扇=LR-,其中36011S扇=1lR .圓心角所對(duì)的扇形的面積，另外S扇=lR.223.圓錐的側(cè)面積和全面積：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長.圓錐的全面積是它的側(cè)面積與它的底面積的和.要點(diǎn)詮釋：千萬不要錯(cuò)把圓錐底面圓半徑當(dāng)成扇形半徑.在計(jì)算圓錐的側(cè)面積時(shí)要注意各元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 考點(diǎn)六、求陰影面積的幾種常用方法（1） 公式法；（2）割補(bǔ)法；（3）拼湊法

11、；（4）等積變形法；（5）構(gòu)造方程法.【典型例題】 類型一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì).（2015?石景山區(qū)一模） 如圖，A, B, E為。0上的點(diǎn)，。的半徑OCX AB于點(diǎn)D,若/ CEB=30 , ）A. V3 B. 4C. 2代 D . 6【思路點(diǎn)撥】連接OB由垂徑定9可知， AB=2BD由圓周角定理可得，/ COB=60 ,在 RUDOB中,OD=1則 BD=< tan60 ° = £,故 AB=2幾.【答案】C;【解析】連接OB AB是。的一條弦，OCL AB,AD=BD 即 AB=2BD/ CEB=30 ,/ COB=60 , OD=1，BD= tan60

12、76; = V3,AB=2/3,故選C.【總結(jié)升華】弦、弦心距，則應(yīng)連接半徑，構(gòu)造基本的直角三角形是垂徑定理應(yīng)用的主要方法.M OM OD=3 5.則 AB 的長是()解：連接OA CD是。的直徑，AB是O O的弦,AB=2AMCD=5cmOD=OA= CD= X 5= cm,AB，CD22. OM OD=3 5, . OM OD=X k=k) 5 -一一在 RtAAOM, AM = ,OA2 -OM 2(2)2 -二2,.AB=2AM=2 2=4cm故選C.類型二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系2 .如圖所示，已知D,連接CDAB為。的直徑，直線 BC與。相切于點(diǎn)B,過A作AD/ OC交O。于點(diǎn)(1)

13、求證：CD是。的切線；(2) 若AD= 2,直徑AB= 6,求線段BC的長. 【思路點(diǎn)撥】要證明DC是。的切線，因?yàn)辄c(diǎn) D在OO±,所以連接交點(diǎn)與圓心證垂直即可. 【答案與解析】(1)證明：如圖(2),連接OD AD / OC ， Z 1 = 7 3, Z 2=Z A,OA=OD /3=/A,/1 = /2. OD=OB OC= OC ACOD2 COB / CDO= / CBO= 90° , CD是。的切線.(2)解：連接BD, AB是。的直徑, /ADB= 90° .在 DAM BOC 中， / ADB= / OBC / A= / 2, DA。 BO(CAD

14、BDOB BC 'e OB LBDBC uAD在RtDAB中，由勾股定理得BD =JAB2 - AD2 = ,62 -22 =4技【總結(jié)升華】如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)，那么連半徑，證垂直；如果已知直線與圓是否有公共點(diǎn)在條件中并沒 有給出，那么作垂直，證半徑.舉一反三：【變式】如圖所示，已知 CD是 ABC中AB邊上的高，以 CD為直徑的。O分別交CA CB于點(diǎn)E、F,點(diǎn) G是AD的中點(diǎn).求證：GE是。的切線.證法1：連接 OE DE(如圖(1).CD是。的直徑，/AED= / CED= 90° .G 是 AD的中點(diǎn)， EG = 1aD= DG2/ 1 = / 2. OE =O

15、D / 3=/ 4./1+/3=/2+/4,即/ OEG= / ODG= 90° .GE是。的切線.C(1) 證法2:連接 OE ED(如圖(2).在 ADC中，/ ADC= 90° , /A+/ ACD= 90° .又 CD是。的直徑， /AED= / CED= 90° .在 4AED 中，/ AED= 90° , G 是 AD 中點(diǎn),AG =GE= DG/A= /AEG又 OE = OCZOEC= / ACD又: /A+/ACD= 90° ,/AEG廿 OEC= 90° ./OEG= 90° , OE 

16、7;EGGE是。的切線.類型三、與圓有關(guān)的計(jì)算 了這樣一個(gè)問題：若將三個(gè)正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個(gè)圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形3.在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師拿出三個(gè)邊長都為5cm的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出硬紙板的最小直徑應(yīng)有多大？問題提出后， 同學(xué)們經(jīng)過討論，大家覺得本題實(shí)際上就是求將三個(gè)正方形 硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，圓形硬紙板能蓋住時(shí)的最小直徑. 老師將同學(xué)們討論過程中探索出的三種不 同擺放類型的圖形畫在黑板上，如下圖所示：(1)通過計(jì)算(結(jié)果保留根號(hào)與兀).(I)圖能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑應(yīng)為cm ;(n)圖能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為cm

17、;(出)圖能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為cm;(2)其實(shí)上面三種放置方法所需的圓形硬紙板的直徑都不是最小的，請(qǐng)你畫出用圓形硬紙板蓋住三個(gè)正方形時(shí)直徑最小的放置方法，(只要畫出示意圖，不要求說明理由)，并求出此時(shí)圓形硬紙板的直徑.【思路點(diǎn)撥】(1) (I)連接正方形的對(duì)角線 BD,利用勾股定理求出 BD的長即可；(n)利用勾股定理求出小正方形對(duì)角線的長即可；(出)找出過 A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心及半徑，利用勾股定理求解即可；(2)連接OB ON延長OH交AB于點(diǎn)巳則OPL AB, P為AB中點(diǎn)，設(shè) OG=x則OP=10-x,再根據(jù)勾 股定理解答.【答案與解析】解：(1) ( I )如

18、圖連接 BD, AD=3X 5=15cm, AB=5cmBD= 1 15,I ?=5 V JJ cm；(n)如圖所示，A -三個(gè)正方形的邊長均為 5,A、B、C三點(diǎn)在以。為圓心，以 OA為半徑的圓上，OA='，& ；+=5 2 cm, 能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10” cm;(出)如圖所示，連接 OA OB CEAB, AC=BCCE是過 A B、C三點(diǎn)的圓的直徑，OA=OB=O D。為圓心，。的半徑為OAOA=一:：二5 二 cm, 能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為5吏X2=10Mcm；(2)如圖為蓋住三個(gè)正方形時(shí)直徑最小的放置方法，連接OB ON延

19、長OH交AB于點(diǎn)P,則OPL AB, P為AB中點(diǎn)，設(shè) OG=x 貝U OP=10-x,則有：£+54 = (104十八一我解得：工一 16,則ON=P十I引一 16 ,.直徑為-E-.【總結(jié)升華】此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是找出以各邊頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓的圓心及半徑，再根據(jù)勾股定理解答.舉一反三：【變式】如圖，圖1、圖2、圖3、圖n分別是。的內(nèi)接正三角形 ABC正四邊形ABCD正五邊形 ABCDE、正n邊形ABCD,點(diǎn)M N分別從點(diǎn)B、C開始以相同的速度在。 。上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng).(1)求圖1中/ APN的度數(shù)是 ;圖2中，/ APN的度數(shù)是,圖3中/ APN的度數(shù)是 (2)試探索/ APN

20、的度數(shù)與正多邊形邊數(shù) n的關(guān)系(直接寫答案) .E解：（1）圖1:二點(diǎn)M N分別從點(diǎn) 日C開始以相同的速度在。 O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),/ BAMh CBN又 / APN4BPM / APN4 BPMW ABN吆 BAMh ABN+Z CBNW ABC=60 ;同理可得：圖 2中，/APN=90 ;圖 3中/APN=108 .（2）由（1）可知，/ APN斯在多邊形的內(nèi)角度數(shù)，故在圖 n中，5-猾的.牝.如小"直10, P為AB一點(diǎn)C, D為半圓的三等分點(diǎn)，_ 積等于.【答案】【解析】【思路點(diǎn)撥】觀察圖形，可以適當(dāng)進(jìn)行“害與“補(bǔ)”，使陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積25 二6連接OC OD CDC、D

21、為半圓的三等分點(diǎn)，180°/ AOC= / COD= / DOB= 180- = 603又 OC = OD /OCD= Z ODC=60° , DC /AB,SA PCD= S/OCD，C _e _ 60 L - - , 52SK 影=S 扇形 OCD =36025 二答案:25 二【總結(jié)升華】用等面積替換法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的規(guī)則圖形是解本類題的技巧.類型四、與圓有關(guān)的綜合應(yīng)用C5. (201471陂區(qū)模擬)如圖，在 ABC中，以AC為直徑的。O交BC于D,過C作。的切線，交AB的延長線于 P, /PCB=/BAC2(1)求證：AB=AC(2)若 sin / BAC

22、=3，求 tan / PCB的值.5【思路點(diǎn)撥】(1)連接AD,根據(jù)圓周角定理求得/ ADC=90 ,根據(jù)弦切角定理求得/PCBWCAD進(jìn)而求得/ CADW BAD然后根據(jù) ASA證得人口黃 ADB即可證得結(jié)論.(2)彳B已AC于E,得出BE/ PC,求彳導(dǎo)/ PCBW CBE根據(jù)已知條件得出 黑士 從而求得坐卷，根5-4 11據(jù) AB=AC 得出 tan Z CBE=-一-=,就可求得 tan / PCB=.BE 3 33【答案與解析】解：(1)連接AD, AC是。O的直徑，/ ADC=90 , ADL BC, PC是。O的切線， / PCB4 CAD . / PCB/ BAC2 Z CAD

23、W BAD在 ADCn ADB 中，fZCAD=ZBAD& 仙二 AD,ZADC=ZADB=9(r. .AD隼 ADB (ASA, AB=AC(2)彳BEX AC于 E, PC是。O的切線，Ad PC,BE/ PC,.Z PCBW CBEsin Z BAC=££=W,AB 5AE=4AB于V AB=AC【總結(jié)升華】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角函數(shù)等，作出 輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】已知：如圖，。0是RtABC的外接圓，AB為直徑，Z ABC=30 , CD是。的切線，ED± AB 于F.(1)

24、判斷 DCBI勺形狀并說明理由；【答案】(1)解：. / ABC=30 , / BAC=60 .又. 0A=0G .4A0Q正三角形.又.CD是切線， ./ OCD=90 , .Z DCE=180 -60 0 -90 =30 .而 ED±AB于 F,CED=90 - Z BAC=30 .故4 CDE為等腰三角形.(2)證明：在 ABC中，AB=2, AC=AO=J BC=-；22 -12 = %'3 , OF-V1 , . AF=AO+OF22又/AEF=30° , . . AE=2AF=；3+1 . . . CE=AE-AC=3 =BC.而 / OCB之 ACB-Z ACO=90 -60 ° =30° =/ABC,故CD® COB.C6.如圖，已知。0的直徑AB= 2,直線m與。相切于點(diǎn)A, P為。上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn) A、點(diǎn)B不重合)，PO的延長線與。相交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C的切線與直線 m相交于點(diǎn)D.(1)求證： AP6 COD(2)設(shè)AP= x, OD= y,試用含x的代數(shù)式表不y.(3)試探索x為何值時(shí)， ACD一個(gè)等邊三角形.【思路點(diǎn)撥】(1)可根據(jù)“有兩