實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、實(shí)數(shù)平方根的有關(guān)概念1夯實(shí)基礎(chǔ).算術(shù)平方根名稱(chēng)定義表小方法舉例算術(shù)平方根一般地，如果一個(gè)正 數(shù)x的平方等于a ,即x2 = a ,那么這個(gè) 正數(shù)x叫做a的算術(shù) 平方根。規(guī)定0的算 術(shù)平方根是0非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根記作“四”,讀作“根號(hào)a”，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)1-2-L如5 = 25 ,那么 5叫做25的算術(shù)平方根（或者說(shuō)25的算術(shù)平方根是5）溫馨提示一個(gè)正數(shù)a的平方根后兩個(gè)，分別為 *匕和-Ja ,我們把正的平方根4a叫做a的算術(shù)平方根。一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；零的算術(shù)平方根仍為零；負(fù)數(shù)沒(méi)算術(shù)平方根。例1:寫(xiě)出下列各數(shù)的算術(shù)平方根。 ,-81, 、2（1） 0.0009; （2） 一

2、；（3） -5 049二.平方根21.定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于 a,這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方根）。即如果x =a,，一r 3丫 9那么x就叫做a的平萬(wàn)根。如：（±2f = 4 ,所以4的平方根是±2 ； ±- I =，所以< 5；2593o的平萬(wàn)根是 士 ； 02 = 0 ,所以0的平方根是0。2552 .表示方法一個(gè)數(shù)a的正的平方根，用符號(hào)" 2'a”表示，a叫做被開(kāi)方數(shù)，2叫做根指數(shù)，a的 負(fù)平方根用一小”表示，根指數(shù)是2時(shí)，通常省略不寫(xiě)。如2/a記作 爪,讀作“根號(hào)a”, 土嗚記作± Ja ,讀作“正、負(fù)根號(hào) a”

3、。(溫馨提示:任何數(shù)的平方都不能為負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根?！?是25的平方根”這種說(shuō)法是正確的，反過(guò)來(lái)說(shuō)“25的平方根是5”就錯(cuò)了，因?yàn)椤罢龜?shù)有兩個(gè)平方根”，所以必須說(shuō)“ 25的平方根是土 5”。求一個(gè)數(shù)的平方根就是把平方后等于這個(gè)數(shù)的所有數(shù)都求出來(lái)，而判斷一個(gè)數(shù)是不是另一(數(shù)的平方根，只要把這個(gè)數(shù)平方，看其是否等于另一個(gè)數(shù)即可。)3 .平方根的性質(zhì)(1)一個(gè)正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，記作士 ja。(2)零的平方根是零。(3)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。，溫馨提示a±0時(shí)，ja表示a的算術(shù)平方根，±Ta表示a的平方根。因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根， 所以被開(kāi)方數(shù)a之0。如JX3中隱含

4、著x-3之0,即x之 3這一條件。(石2 =a(a >0 ),席/ a-0,k- a, a < 0.J例2:判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由。(1) ±6的平方根是36; (2) 1的平方根是1; (3) -9的平方根是±3； (4)v361 =±19;(5) 9是(9 2的算術(shù)平方根。三.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系算術(shù)平方根平方根區(qū)別概念如果一個(gè)正數(shù) x的平方等于a,即 x2 =a ,那么這個(gè)正數(shù)叫做 a的算 術(shù)平方根如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即 x2 = a ,那么這個(gè)數(shù)叫做 a的平方 根或二次方根表小方法<a土7a性質(zhì)正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平

5、方根，且恒正；正數(shù)后兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)；規(guī)定<0= 0;負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根0的平方根是0 ；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根求法開(kāi)平方后取非負(fù)的平方根開(kāi)平方聯(lián)系(1) a的取值范圍相同，均為 a >0；(2)平方根中包含了算術(shù)平方根，即算術(shù)平方根是平方根中的一個(gè)，平方根中非負(fù)的那一個(gè)即為算術(shù)平方根?？谡莆辗椒ㄒ?開(kāi)平方的方法求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方。開(kāi)平方運(yùn)算與平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。士?jī)?nèi)表示非負(fù)數(shù)a的平方根，va 表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，-ja表示非負(fù)數(shù)a的 負(fù)的平方根。例1：下列各式中正確的是()A. 3 -32 = 一3B.- .32 = -3C. . _3 2 = 3D.32

6、 = 3二.平方根的性質(zhì)的應(yīng)用方法要判斷一個(gè)數(shù)有無(wú)平方根或平方根有幾個(gè)，關(guān)鍵是確定這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0。如果m,n是正數(shù)a的平方根，那么有 m = n或m+n=0；但如果正數(shù)a平方根是m,n,那么只能有m + n = 0。例2:如果一個(gè)數(shù)的平方根是*十3與2*-15,那么這個(gè)數(shù)是多少？三.利用平方根的概念解方程的方法一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0只有一個(gè)平方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。在解方程時(shí)，利用平方根的定義進(jìn)行開(kāi)方，從而求出未知數(shù)的值。例3:求下列各式中的x的值。22(1) x =361； (2) 81x -49=0;(3) 49(x2 +1)=50； (4) (3x-1f=(-5

7、f實(shí)數(shù)立方根的有關(guān)概念1夯實(shí)基礎(chǔ)一.立方根1.立方根名稱(chēng)定義表小方法舉例立方根一般地，如果一個(gè)數(shù) x 的立方等于a,即x3 =a ,那么x叫做a的立方根或二次方根數(shù)a的立方根記作“ Va ”，讀作“三次根號(hào)a"，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)如 53 = 125,那么5叫做125的立方根溫馨提示負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，但有立方根。根據(jù)立方根的概念可知：“5是125的立方根”，反過(guò)來(lái)說(shuō)“125的立方是5”也正確。判斷一個(gè)數(shù)x是不是某數(shù)a的立方根，就看X3是不是等于a。例1:求下列各數(shù)的立方根：/ 、 27, 、/ 、1 1); (2) 27； (3) 0.216642 .立方根的性質(zhì)(1)正數(shù)只有一個(gè)正的

8、立方根；(2)負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)的立方根；(3)零的立方根為零。溫馨提示一個(gè)數(shù)的立方根是唯一的。正數(shù)的奇次方根時(shí)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)，零的任何正整數(shù)次方根均為0。*=一痘、&匚！3=-a、 3;a3 =a,公式中的a可取任意數(shù)。當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)， 這兩個(gè)數(shù)的立方根相等， 反過(guò)來(lái)，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的立方根相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)卜?相等。即若 a =b ,則 3/a =''b ；若 3'a =3b ,則 a = b。J例2：下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有(任何一個(gè)數(shù)都有立方根；14的立方根是V14 ;3是27的立方根；正數(shù)的平方根有兩個(gè)，立方根也有兩個(gè)。A.0 個(gè) B.1 個(gè) C.2 個(gè) D

9、.3 個(gè)二.開(kāi)立方求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫做開(kāi)立方。例如：8的立方根為3/8=2。馨提示、被開(kāi)方數(shù)的數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0。開(kāi)立方運(yùn)算與立方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，負(fù)數(shù)(在實(shí)數(shù)范圍內(nèi))不能開(kāi)平方但可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算。求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根，可以先求出這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的立方根，然后取它的相反數(shù)，即a3 = a (a > 0 )ok求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí)，必須把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求它的立方根。例3:求下列各式的值。(1)-，-三；場(chǎng)3； 3；10-5; (4) 3/1-7。 、271 2 7>18，三.立方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系1.立方根與平方根的不同點(diǎn)：(1)定義不同：平方根的概念強(qiáng)

10、調(diào)“平方”二字，立方根的概念強(qiáng)調(diào)“立方”二字，即平方根的逆運(yùn)算是平方，立方根的逆運(yùn)算是立方。(2)表示方法不同：平方根用" ±2f”表示，根指數(shù)2可以省略，寫(xiě)成“ 土，”；立方 根用“ 廠”表示，根指數(shù)3不能省略，更不能寫(xiě)成" ±3廠”。(3)性質(zhì)不同：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；而任何一個(gè)數(shù)的立方根卻只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，零的立方根是零。(4)a的取值范圍不同：平方根±Ja中a的取值范圍必須是非負(fù)數(shù)，而立方根3/W中a的取值為任何數(shù)，即正數(shù)、負(fù)數(shù)、零均可。2.立方根與平方根的相同點(diǎn):(1)都是求根：平方

11、根與立方根的定義都是建立在乘方概念的基礎(chǔ)上。在指數(shù)式xn =a中，當(dāng)n = 2時(shí)，求x的值就是求a的平方根；當(dāng)n = 3時(shí)，求x的值就是求a的立方根。這就表明無(wú)論是求平方根還是求立方根，都是已知指數(shù)和哥，求底數(shù)。(2)都與乘方知識(shí)有關(guān)：不論是求平方根還是求立方根，都屬于開(kāi)方運(yùn)算。開(kāi)方是乘方的逆運(yùn)算，開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算，開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算。(3)零的平方根與立方根都是零。(4)都可以歸結(jié)為非負(fù)數(shù)的非負(fù)方根來(lái)研究：平方根主要是通過(guò)算術(shù)平方根來(lái)研究；而負(fù)數(shù)的立方根也可以通過(guò) 匚a = -Va (a >0 )轉(zhuǎn)化為整數(shù)的立方根來(lái)研究。掌握方法0一.立方根性質(zhì)的應(yīng)用方法(1)正數(shù)、0、負(fù)數(shù)

12、都有立方根，且只有一個(gè)立方根，一個(gè)數(shù)的立方根的符號(hào)與這個(gè)數(shù)的符號(hào)是一致的；(2) 一個(gè)數(shù)的立方的立方根、一個(gè)數(shù)的立方根的立方都等于其本身；(3)互為相反數(shù)的立方根仍互為相反數(shù)，互為相反數(shù)的立方仍互為相反數(shù)。例 1:若 V2a -1 =5a+8 ,求 a2015 的值。二.利用立方根的概念解方程的方法正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；0的立方根是0。在解方程時(shí)，利用立方根的定義進(jìn)行開(kāi)立方，從而求出未知數(shù)的值， 在求立方根時(shí)，常需轉(zhuǎn)化為x3 = a的形式，也常常將(x + a 3中的x + a看作一個(gè)整體。例2:求下列各式中x的值：(1) 8x3+27=0； (2)僅-1，=64;(

13、3) 64(x+13=27； (4) 3(x-3)3-24=0。三.方根中小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用在開(kāi)方運(yùn)算中，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)， 其方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)地移動(dòng)是有規(guī)律的：(1)在開(kāi)平方運(yùn)算中，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左(右)移動(dòng)兩位時(shí)，其平方根的小數(shù)點(diǎn)向左(右)移動(dòng)一位；(2)在開(kāi)立方運(yùn)算中，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左(右)移動(dòng)三位時(shí)，其立方根的小數(shù)點(diǎn)向左(右)移動(dòng)一位。例3:填空：(1)已知藥216=6,則 3/0.216=, 3/216000=。(2)已知 V1331 =11 ,貝U V1.331 =, 3/1331000=實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)夯實(shí)基礎(chǔ)J一.無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。馨提示無(wú)限小數(shù)包括無(wú)限循

14、環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，而無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。常遇到的無(wú)理數(shù)有三類(lèi)：開(kāi)放開(kāi)不盡的數(shù)的方根，如J3, -3/5等；特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.303 003 0003;特定意義的數(shù)，如 冗。許多帶根號(hào)的數(shù)是無(wú)理數(shù)，如卡、J7等，但帶根號(hào)并不是無(wú)理數(shù)的本質(zhì)特征，因?yàn)橄袷?，出，V8, 3上等都是有理數(shù)。；27有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，所以都是有理數(shù)；而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)，是無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的和、差一定是無(wú)理數(shù)。好理數(shù)乘或除以一個(gè)不為0的有理數(shù)，結(jié)果一定是無(wú)理數(shù)。二.實(shí)數(shù)及其分類(lèi)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。正整數(shù)，零四整數(shù) :正分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)1 .按定義分類(lèi)整數(shù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)遷無(wú)理數(shù)

15、、負(fù)無(wú)理數(shù)2 .按性質(zhì)分類(lèi)正無(wú)理數(shù)'正整數(shù) 正分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)J負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)無(wú)理數(shù)例1:把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi):-0.55, 3P8,0，S仔，源, 4.85,9,0.232232223(每?jī)蓚€(gè)3之間依次多1個(gè)2),-6.5整數(shù)集合;。只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相正無(wú)理數(shù)集合 負(fù)分?jǐn)?shù)集合 負(fù)實(shí)數(shù)集合 三.實(shí)數(shù)的性質(zhì)(1)實(shí)數(shù)的相反數(shù)實(shí)數(shù)的相反數(shù)的意義和有理數(shù)的相反數(shù)的意義是一樣的。反數(shù)，即實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a。實(shí)數(shù)a與b互為相反數(shù)，則a+b=0,反之也成立。(2)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和有理數(shù)的絕對(duì)值的意義相同，一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)；0的絕對(duì)

16、值是0。a a 0 ,一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值：a =彳0(a=0)-a a ：二 0 .(3)實(shí)數(shù)的倒數(shù)1實(shí)數(shù)的倒數(shù)和有理數(shù)的倒數(shù)一樣，如果a表本一個(gè)非零的實(shí)數(shù)，那么 a與,互為倒數(shù)。a實(shí)數(shù)a與b互為倒數(shù)，則ab =1,反之也成立。(4)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。在數(shù)軸上，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大；正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，0大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)都大于0。任意兩個(gè)實(shí)數(shù)間都有無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。(5)實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算；有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用

17、。交換律：a + b = b+a, ab = ba ；結(jié)合律：(a+b )+c = a+(b + c), (ab)c = a(bc)；分配律：a(b +c)= ab + aco例2：求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值。(1) J7；(2) 3/9 ； (3) ;(4)1 22.。2掌握方法.一.無(wú)理數(shù)的識(shí)別方法判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)，關(guān)鍵就看它能不能寫(xiě)成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的形式，而把無(wú)理數(shù)寫(xiě)成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的形式不但很麻煩，而且還是我們利用現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法解決的難題。初中常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種類(lèi)型：(1)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)的方根，但切不可認(rèn)為帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)；(2)化簡(jiǎn)后含 兀；(3)不循環(huán)的無(wú)限小數(shù)。掌握常見(jiàn)無(wú)

18、理數(shù)的類(lèi)型有助于識(shí)別無(wú)理數(shù)。例1：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)。33 二0, 1.5789, 416, 0.3, -0.202002000200002，-,。372二.無(wú)理數(shù)的估計(jì)方法對(duì)于無(wú)理數(shù)的估算問(wèn)題，要理解算術(shù)平方根、立方根的意義。求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與 哪個(gè)整數(shù)最接近，就要看被開(kāi)方數(shù)的值在哪兩個(gè)相鄰正整數(shù)的平方之間，與被開(kāi)方數(shù)的差值較小的那個(gè)正整數(shù)的算術(shù)平方根即為與其最接近的整數(shù)。求一個(gè)數(shù)的立方根與哪個(gè)整數(shù)最接近，方法和求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與哪個(gè)整數(shù)最接近相同，只要確定被開(kāi)方數(shù)的值在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)的立方之間，再確定和被開(kāi)方數(shù)差值最小的那個(gè)整數(shù)的立方根即可。例2：若m = 440 -4

19、 ,則m的值所在范圍是()A.1 :二 m : 2 B,2 : m :二 3 C,3 :二 m : 4 D,4 : m : 5三.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用方法每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示；數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，即數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例3:如圖所示，數(shù)軸上表示1, V2的點(diǎn)分別為A, B ,點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離相等，設(shè)點(diǎn)C所表示白勺數(shù)為x。(1)寫(xiě)出實(shí)數(shù)x的值；四.實(shí)數(shù)大小的比較方法比較實(shí)數(shù)大小的方法較多，常見(jiàn)的有作差法、作商法、倒數(shù)法、平方法、估算法。這里主要介紹一下平方法。用平方法比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)是對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,b ,有2, 2,a &g

20、t;b u a >b °例4:比較下面幾組數(shù)的大小：(1) 3 與西；(2) 1.732 與弋3； (3) 1.5 與立二；(4)2.10 二 3五.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用方法(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱(chēng)為非負(fù)數(shù)。常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)：任意實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即 a >0;任意實(shí)數(shù)a的平方(偶次方)是非負(fù)數(shù)，即 a2之0(a2n之0, n為正整數(shù))；任意非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即之0。(2)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0,那么這兩個(gè)數(shù)一定都為 0,常見(jiàn)一下幾種形式：c ca = 0 a = 0右a? + b? = 0 則 ；反之亦然。右 a+b = 0 ,則， ；反之亦然。右 b=01111"0j-a-a = 0 一、小一八