《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程教學(xué)大綱

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)大綱課程名稱(chēng)：復(fù)變函數(shù)與積分變換 課程代碼：ELEA3035英文 名稱(chēng)： Function of Complex Variable and IntegralTransformation課程性質(zhì)：專(zhuān)業(yè)必修課程學(xué)分/學(xué)時(shí)：2學(xué)分/36學(xué)時(shí)開(kāi)課學(xué)期：第3學(xué)期適用專(zhuān)業(yè)：電氣工程及其自動(dòng)化先修課程：高等數(shù)學(xué)后續(xù)課程：自動(dòng)控制原理、信號(hào)與系統(tǒng)、檢測(cè)技術(shù)與儀表開(kāi)課單位：機(jī)電工程學(xué)院課程負(fù)責(zé)人：楊歆豪大綱執(zhí)筆人：周純大綱審核人：余雷 一、課程性質(zhì)和教學(xué)目標(biāo)（在人才培養(yǎng)中的地位與性質(zhì)及主要內(nèi)容, 指明學(xué)生需掌握知識(shí)與能力及其應(yīng)達(dá)到的水平）課程性質(zhì)：復(fù)變函數(shù)與積分變換的理論和方法廣泛應(yīng)用

2、于電 氣工程、通訊工程、自動(dòng)化等相關(guān)學(xué)科，并且已經(jīng)成為解決眾多理論 和實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，成為了電氣工程及其自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)一門(mén)重要 的基礎(chǔ)理論課程，而高等數(shù)學(xué)的是它的必須的先修課程。對(duì)于本專(zhuān)業(yè) 而言，是學(xué)習(xí)自動(dòng)控制原理、現(xiàn)代控制理論、線性系統(tǒng)理論、 信號(hào)與系統(tǒng)等許多相關(guān)課程的必須先修課程之一。教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)本課程的講授和學(xué)習(xí)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的 基礎(chǔ)上，系統(tǒng)的掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換中必要的基礎(chǔ)理論和常 用的計(jì)算方法，培養(yǎng)學(xué)生比較熟練的運(yùn)算能力，能比較熟練運(yùn)用復(fù)變 函數(shù)、積分變換的方法來(lái)有效地比較系統(tǒng)地解決一些問(wèn)題。并且逐步 培養(yǎng)能夠建立比較復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的能力，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步地 提升分

3、析問(wèn)題、解決問(wèn)題的水平和能力。并為后續(xù)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程、 專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)，以及將來(lái)從事教學(xué)、科研及其它實(shí)際工作打下必要 相當(dāng)水準(zhǔn)的理論知識(shí)基礎(chǔ)。本課程的具體教學(xué)目標(biāo)如下：1 .熟練掌握復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)、 留數(shù)、傅里葉變換和拉普拉斯變換的基本概念、基本理論、基本方法 和某些相關(guān)的應(yīng)用，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。2 .大致了解理想典型電子線性器件的時(shí)域和頻域的數(shù)學(xué)模型，為 后續(xù)課程比較復(fù)雜的線性電氣系統(tǒng)或者比較復(fù)雜的線性力學(xué)系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模型的建立、分析和控制做好理論、學(xué)識(shí)上準(zhǔn)備。3 .基本理解時(shí)滯環(huán)節(jié)的頻域表達(dá)形式，并且與上述的線性系統(tǒng)有 機(jī)結(jié)合，構(gòu)建相對(duì)更加復(fù)雜

4、的非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為以后專(zhuān)業(yè)課 上對(duì)此非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的分析、控制做好基礎(chǔ)的準(zhǔn)備。為以后 解決實(shí)際復(fù)雜工程問(wèn)題做好知識(shí)上的儲(chǔ)備。教學(xué)目標(biāo)與畢業(yè)要求的對(duì)應(yīng)關(guān)系：畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)課程目標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)明畢業(yè)要求1:工程知識(shí)1-1握專(zhuān)業(yè)所需的 數(shù)理知識(shí)，能用于專(zhuān) 業(yè)問(wèn)題的理解、建 模、分析與求解教學(xué)目標(biāo)1能比較熟練運(yùn)用復(fù)變函 數(shù)、積分變換的方法，大 致了解理想典型電子線 性器件的時(shí)域和頻域的 數(shù)學(xué)模型。畢業(yè)要求2：?jiǎn)栴}分析2-1運(yùn)用數(shù)理和工 程知識(shí)進(jìn)行專(zhuān)業(yè)領(lǐng) 域復(fù)雜工程問(wèn)題中 的內(nèi)涵識(shí)別與理解 分析教學(xué)目標(biāo)2了解理想典型電子線性 器件的時(shí)域和頻域的數(shù) 學(xué)模型，為復(fù)雜的線性系 統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析提供

5、 理論基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)3基本理解時(shí)滯環(huán)節(jié)的頻 域表達(dá)形式，并且對(duì)與線 性系統(tǒng)有機(jī)結(jié)合、構(gòu)建相 對(duì)更加復(fù)雜的非線性系 統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有所認(rèn)識(shí)。二、課程教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配（含課程教學(xué)、自學(xué)、作業(yè)、討論等內(nèi) 容和要求，指明重點(diǎn)內(nèi)容和難點(diǎn)內(nèi)容。重點(diǎn)內(nèi)容：?;難點(diǎn)內(nèi)容：？1、復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)（4學(xué)時(shí)）（支撐教學(xué)目標(biāo)1）1.1復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，共胡復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算L 2復(fù)平面及復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式知識(shí)點(diǎn)：復(fù)平面，復(fù)數(shù)的模與幅角及三角表達(dá)式，復(fù)數(shù)模的 三角不等式，利用復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式作乘除法，復(fù)數(shù)的乘方和開(kāi)方。1.3 平面點(diǎn)集知識(shí)點(diǎn)：鄰域和開(kāi)集，區(qū)域、簡(jiǎn)單曲線，連通域，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)1.4 復(fù)變函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：復(fù)變函

6、數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性要求：掌握復(fù)數(shù)的概念（復(fù)數(shù)是向量）及其各種不同的表示方法, 了解各個(gè)表示方法的特點(diǎn)和適合使用的場(chǎng)合；復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、乘方、 開(kāi)方運(yùn)算及其幾何意義；能夠在復(fù)平面上找到由代數(shù)或三角表示復(fù)數(shù) 的坐標(biāo)所在；共胡復(fù)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)；復(fù)變函數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的 極限和連續(xù)的概念（與實(shí)函數(shù)做比較）。了解：復(fù)平面的概念，平面點(diǎn)集的概念，復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù) 的概念。理解：復(fù)變函數(shù)的概念，共規(guī)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)。掌握：復(fù)數(shù)的概念及其各種表示法，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、乘方、開(kāi) 方運(yùn)算及其幾何意義。重點(diǎn)內(nèi)容：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及乘累與開(kāi)方的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的表示法, 復(fù)變函數(shù)的概念。教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的

7、極限與連續(xù)性。2、解析函數(shù)（6學(xué)時(shí)）（支撐教學(xué)目標(biāo)1）2.1解析函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解析函數(shù)的概念與求導(dǎo)規(guī)則，函 數(shù)解析的充要條件2. 2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)：調(diào)和函數(shù)，共匏調(diào)和函數(shù)3. 3初等函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，累函數(shù)，三角函數(shù)在復(fù)數(shù)域下的概念及解析性要求：掌握函數(shù)解析的充要條件，柯西-黎曼條件判別函數(shù)解析 性的方法，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。了解：調(diào)和函數(shù)的定義，初等函數(shù)的定義及解析性。理解：復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算性質(zhì)及求導(dǎo)方法，解析函數(shù)的 概念。掌握：函數(shù)解析的充要條件，用柯西-黎曼條件判別函數(shù)解析性 的方法，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。重點(diǎn)內(nèi)容：解析

8、函數(shù)的概念，函數(shù)解析的充要條件，解析函數(shù)與 調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)：解析函數(shù)的概念，函數(shù)解析的充要條件。3、復(fù)變函數(shù)的積分（6學(xué)時(shí)）（支撐教學(xué)目標(biāo)1）3.1復(fù)變函數(shù)的積分知識(shí)點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)積分的定義，基本性質(zhì)，計(jì)算方法3. 2柯西-古薩定理知識(shí)點(diǎn)：柯西積分定理，復(fù)合閉路定理，利用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分4. 3柯西積分公式知識(shí)點(diǎn)：柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式要求：掌握復(fù)變函數(shù)積分的定義，基本性質(zhì)和基本的計(jì)算方法； 原函數(shù)的概念，如何利用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分?？挛鞣e分定理， 柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合閉路定理的計(jì)算。了解：柯西積分定理、柯西積分公式、復(fù)合閉路定理的證明。理解：復(fù)變函數(shù)積分的概

9、念和性質(zhì)，原函數(shù)的概念，利用原函數(shù) 求解析函數(shù)的積分。掌握：柯西積分定理，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合閉路 定理的計(jì)算。重點(diǎn)內(nèi)容：柯西積分定理，柯西積分公式，復(fù)合閉路定理及其應(yīng) 用。教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合閉路定理及其應(yīng)用。4、級(jí)數(shù)（6學(xué)時(shí)）（支撐教學(xué)目標(biāo)1）4.1復(fù)級(jí)項(xiàng)數(shù)的基本概念知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其收 斂的判定4. 2幕級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)：阿貝爾定理，收斂半徑的求法5. 3泰勒級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)：泰勒展開(kāi)定理，直接法，間接法將函數(shù)展開(kāi)成泰勒展開(kāi)式4.4羅朗級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)：羅朗定理，將函數(shù)在不同環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)要求：掌握復(fù)數(shù)列極限的概念，復(fù)數(shù)列收斂的充要條件，復(fù)函數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域與和

10、函數(shù)的概念，阿貝爾定理，幕級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)的 性質(zhì)。鬲級(jí)數(shù)收斂半徑的求法，將函數(shù)展開(kāi)成泰勒展開(kāi)式、羅朗展開(kāi) 式的方法。了解：復(fù)數(shù)列極限的概念，復(fù)數(shù)列收斂的充要條件，復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)收斂域與和函數(shù)的概念，幕級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)的性質(zhì)。理解：阿貝爾定理，泰勒級(jí)數(shù)概念，羅朗級(jí)數(shù)概念。掌握：塞級(jí)數(shù)收斂半徑的求法，將函數(shù)展開(kāi)成泰勒展開(kāi)式、羅朗 展開(kāi)式的方法。重點(diǎn)內(nèi)容：泰勒級(jí)數(shù)，羅朗級(jí)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：間接法求簡(jiǎn)單函數(shù)的泰勒展開(kāi)式，在不同環(huán)域內(nèi)將解 析函數(shù)展開(kāi)成羅朗展開(kāi)式。5、留數(shù)定理（6學(xué)時(shí)）（支撐教學(xué)目標(biāo)1、2）5.1零點(diǎn)與孤立奇點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：孤立奇點(diǎn)的概念，判別，零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系5. 2留數(shù)定理知識(shí)點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算

11、方法，留數(shù)定理及其應(yīng)用6. 3留數(shù)理論在實(shí)積分中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：不同的三類(lèi)實(shí)積分的計(jì)算要求：掌握零點(diǎn)、孤立奇點(diǎn)以及孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)及判定方法，零 點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系。留數(shù)的概念及計(jì)算方法，留數(shù)定理及其在定積分計(jì) 算中應(yīng)用。了解：孤立奇點(diǎn)性質(zhì)的證明，留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用。理解：孤立奇點(diǎn)的概念，函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的概念。掌握：孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)及判定方法，留數(shù)的計(jì)算方法，留數(shù)定理 及其應(yīng)用。重點(diǎn)內(nèi)容：孤立奇點(diǎn)的概念，留數(shù)的概念及計(jì)算方法，留數(shù)定理。教學(xué)難點(diǎn)：孤立奇點(diǎn)的判別，留數(shù)在定積分中的應(yīng)用。6、傅里葉變換（4學(xué)時(shí)）（支撐教學(xué)目標(biāo)2、3）1.1 傅里葉變換的概念與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)：傅里葉積分定理，傅里葉變換

12、，單位脈沖函數(shù)及傅 里葉變換6. 2傅里葉變換的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)：線性性質(zhì)、位移性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、乘積 定理、能量積分、卷積定理6. 3傅里葉變換的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：傅里葉變換應(yīng)用的舉例要求：掌握傅里葉變換、傅里葉變換的逆變換的定義以及相關(guān)的 性質(zhì)和定理。典型時(shí)域信號(hào)的頻域表達(dá)式，大致有個(gè)一一對(duì)應(yīng)的概念。了解：函數(shù)的定義，卷積定理。理解：傅里葉變換的定義及傅里葉積分公式。掌握：函數(shù)的基本性質(zhì)及其傅氏變換，傅氏逆變換的基本性質(zhì)。重點(diǎn)內(nèi)容：求傅氏變換的方法，求傅氏逆變換的方法，傅氏變換 的基本性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：求傅氏變換和傅氏逆變換的方法。7、拉普拉斯變換（4學(xué)時(shí)）（支撐教學(xué)目2、3）7. 1拉普拉斯變

13、換的概念知識(shí)點(diǎn)：傅里葉變換的局限性，拉普拉斯變換的定義與存在性定理，拉普拉斯逆變換公式7. 2拉普拉斯變換的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)：線性性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、位移性質(zhì)、延遲 性質(zhì)7. 3卷積及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)：卷積的概念，卷積定理7.4拉普拉斯變換的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用舉例要求：掌握拉氏變換、拉氏變換的逆變換的定義以及相關(guān)的性質(zhì) 和定理，利用留數(shù)計(jì)算拉氏逆變換的方法以及拉氏變換在求解微分方 程中的應(yīng)用。大致了解理想典型電子線性器件的時(shí)域和頻域的數(shù)學(xué)模 型，為后續(xù)課程比較復(fù)雜的線性電系統(tǒng)或者比較復(fù)雜的線性力學(xué)系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)模型的建立、分析和控制做好理論、學(xué)識(shí)上準(zhǔn)備。進(jìn)一步如果 有可能

14、，基本理解時(shí)滯環(huán)節(jié)的頻域表達(dá)形式，并且與上述的線性系統(tǒng) 有機(jī)結(jié)合，構(gòu)建相對(duì)更加復(fù)雜的非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為以后專(zhuān)業(yè) 課上對(duì)此非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的分析、控制做好基礎(chǔ)的準(zhǔn)備。為以 后解決實(shí)際復(fù)雜工程問(wèn)題做好知識(shí)上的儲(chǔ)備。了解：拉氏變換在求解微分方程中的應(yīng)用。理解：拉氏變換的定義，反演積分公式。掌握：拉氏變換的性質(zhì)，利用留數(shù)計(jì)算拉氏逆變換的方法。重點(diǎn)內(nèi)容：拉氏變換的性質(zhì)，拉氏變換的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)；利用留數(shù)計(jì)算拉氏逆變換。三、教學(xué)方法主要通過(guò)實(shí)函數(shù)與復(fù)函數(shù)的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)兩者之間的 聯(lián)系和不同，從而總結(jié)出復(fù)變函數(shù)的一些特征和結(jié)論。以此培養(yǎng)學(xué)生 分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)己經(jīng)解決過(guò)

15、的問(wèn)題分析出未 知問(wèn)題的規(guī)律以及癥結(jié)所在。在積分變換的教學(xué)過(guò)程中，主要通過(guò)由 傅里葉變換得到拉普拉斯變換的特征和性質(zhì)。從而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題 的能力。讓學(xué)生知道解決問(wèn)題的一般方法：由特殊現(xiàn)象到一般規(guī)律， 再由一般規(guī)律來(lái)得到特殊情況的解決方法。傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué) 手段相結(jié)合，由于總學(xué)時(shí)的限制，以傳統(tǒng)教學(xué)手段為主，采用多媒體 輔助教學(xué)的教學(xué)手段。在教學(xué)方式上，根據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容，綜合運(yùn)用 課堂講授和演示、課堂討論、課堂練習(xí)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)法和自學(xué)指導(dǎo)法， 通過(guò)引入問(wèn)題和啟發(fā)式教學(xué)，使學(xué)生更加明確教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)體系， 引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，激發(fā)內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高課堂的積極性。在教學(xué) 過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，

16、思考解決方案，為后續(xù)教學(xué)內(nèi)容作鋪墊。作業(yè)是本課程的主要實(shí)踐環(huán)節(jié)，每次課程均應(yīng)有相應(yīng)的作業(yè)作為學(xué)生的練習(xí)。作業(yè)分為兩種類(lèi)型：一種為必做題，另一種為選做題， 學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇做題。輔導(dǎo)答疑方式有隨堂答疑、作業(yè)集中答疑、QQ或WE CHAT答疑、 E-MAIL答疑和定點(diǎn)、定時(shí)間的答疑，期中考試、期末考試前分別安 排一次集中答疑。在教學(xué)方法的實(shí)際執(zhí)行過(guò)程中，每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都應(yīng)具有明確的目 的性。同時(shí)，以上教學(xué)方法需要根據(jù)教學(xué)過(guò)程中的實(shí)際效果、學(xué)生對(duì) 知識(shí)點(diǎn)的掌握和應(yīng)用情況不斷改進(jìn)。教學(xué)效果不好、學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)理 解程度不高時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整教學(xué)方法,適當(dāng)增加演示法或?qū)嶒?yàn)訓(xùn)練法, 或在講授后續(xù)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生前后聯(lián)系，結(jié)合前置難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn) 行討論，強(qiáng)化知識(shí)掌握。在學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握情況較好，系統(tǒng)性較好、 實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練效果較好的情況下，適當(dāng)提高教學(xué)內(nèi)容或?qū)嶒?yàn)內(nèi)容