復(fù)習(xí)-2中值定理羅比達(dá)單調(diào)性凹凸性極值ppt課件

1、(1)費(fèi)馬費(fèi)馬(Fermat)引理引理 ,000 xfxfxfxf，xU 或或若若上上在在 00 xf則則0 x 00 xf第三章第三章 中值定理中值定理1 1、中值定理、中值定理 ，xf存存在在0 (2)(2)、羅爾中值定理、羅爾中值定理ab1 2 xyo)(xfy C(3)(3)、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理abafbff )()()( 或或ab1 2 xoy)(xfy ABCDABCAB線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切上至少有一點(diǎn)上至少有一點(diǎn)在曲線弧在曲線弧,).(fab)a(f)b(f 應(yīng)用應(yīng)用.)(, 0)(單單增增上上在在區(qū)區(qū)間間xfxfI .)(,0)(單減單減

2、上上或在區(qū)間或在區(qū)間xfxfI (4)、柯西(Cauchy)中值定理 使使得得若若有有二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)例例,1. 1321xxxxf 21121,1:xxxfxf 證證 01 f有有 32xfxf 同同理理 02 f有有 ,Cxf,xf211 對(duì)于對(duì)于 021 ff1x2x3x 01 f 02 f1 2 0 f 3121x,x, .f0 滿足滿足 xxxfx 21, 00,2 二二階階可可導(dǎo)導(dǎo) . 0,:31 fxx使使得得證證明明 .321xfxfxf . 01 , 0: f使得使得證明證明 322, xx 例例2 2證證結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 x

3、xxf,)(2xxg 設(shè)設(shè), 1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即).0()1(2)(),1 , 0(fff 使使至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn):,)1 , 0(,1 , 0)(證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xf與與直直線線相相交交三三點(diǎn)點(diǎn)，二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，若若曲曲線線)()(xfyxf 0)( f滿滿足足則則1思考題思考題 .),(,)(2上可導(dǎo)上可導(dǎo)上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在思考題思考題babaxf 上上單單調(diào)調(diào)（

4、增增加加或或減減少少）在在則則若若證證明明baxfxf,)(, 0)( 2 2、洛必達(dá)法則、洛必達(dá)法則型型未未定定式式型型及及 00.10型型未未定定式式000,1 ,0 ,0.2 將它們化為將它們化為)()00( 或或.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 型極限計(jì)算型極限計(jì)算 xgxfxgxf1limlim 型型 00101 000000 型型 通分通分 )lim(xgxf xgxflim例例3 3解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 x

5、x tan)00()00( 1sec2x22031seclimxxx 或或2203tanlimxxx 31 型型00,1 ,0 ln01ln0ln01000取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù).0 xgxflim xfxglnlim:1 型另有重要極限的方法型另有重要極限的方法對(duì)于對(duì)于 euuu 11lim0)(ln)(limxfxge 例例4 4解解1.xlimxx2121 求求)1( xlnxxelim2121 原式原式2112xxlnlimxe xxlimxe2121 .e1 2解解用用重重要要極極限限法法)1( 2212111112111xxxxxxxlimxlim )(00 xxxxelim 11211.e

6、1 .)1cos2(sinlim5xxxx 求求例例解解1tx 1令令ttxxttxx10)cos2(sinlim)1cos2(sinlim ttttecos2sinln1lim0 1cos2sinsin2cos2lim0ttttte 2e )1( 解解2tx 1令令ttxxttxx10)cos2(sinlim)1cos2(sinlim )1( tttttttt1cos2sin1cos2sin10)1cos2sin1(lim tttt1cos2sinlim0 21cos2sin1cos2sin10)1cos2sin1(limetttttttt )00(21sin2cos2lim0 ttt3 3

7、、泰勒中值定理公式）、泰勒中值定理公式）)()()!1()()(010)1(之之間間與與在在其其中中xxxxnfxRnnn 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn )(00nxx 皮亞諾形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng) 常用函數(shù)帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式常用函數(shù)帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin121253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx ).(0! 212nnxxnxxxe 2! 2)1(1)1(xmmmxxm)(!)1()1(nnx

8、oxnnmmm Nm )(1112nnxoxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)()1(1112nnnxoxxxx 解解 )(! 21142222xoxxex 則則)x(o!x!xxcos442421 3cos22 xex)(12744xox )(! 21122tottet 3)(! 4! 21(2)()(! 2115424222 xoxxxoxx)(! 211442xoxx 4440)(127limxxoxx 403cos2lim2xxexx 127 )(! 2114422xoxxex )x(o!x!xxcos442421 例例730)1(sinlimxxxx

9、exx 求求)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3()(! 3! 21(limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx 31 解解思考題思考題3xxxxx21lnlim 求求.),(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)babaxfy 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法，內(nèi)內(nèi)如如果果在在0)(),(20 xfba，內(nèi)內(nèi)如如果果在在0)(),(10 xfba上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在那那末末函函數(shù)數(shù),)(baxfy .,)(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在那

10、那末末函函數(shù)數(shù)baxfy ,)(上內(nèi)連續(xù)上內(nèi)連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)Ixf恒有恒有上任意不同兩點(diǎn)上任意不同兩點(diǎn)如果對(duì)如果對(duì),21xxI上任意不同的上任意不同的如果對(duì)如果對(duì)I,2)()()2(,212121xfxfxxfxx 恒恒有有兩兩點(diǎn)點(diǎn);)()(凹凹的的向向上上上上的的圖圖形形是是在在那那末末稱稱Ixf,2)()()2(2121xfxfxxf ;)()(凸凸的的向向上上上上的的圖圖形形是是在在那那末末稱稱Ixf2. 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)定理定理 內(nèi)內(nèi)具具有有在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果),(,)(babaxf,二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)若在若在),(ba ;,)(, 0)()1(上的圖形

11、是凹的上的圖形是凹的在在則則baxfxf .,)(, 0)()2(上上的的圖圖形形是是凸凸的的在在則則baxfxf 連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上凹凹凸凸的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn).例例8 8證證.)1ln(,0成成立立試試證證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè)01)( xxxf可可導(dǎo)導(dǎo)，在在上上連連續(xù)續(xù)在在), 0(,), 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f而而時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)則則0 x , 0)1ln( xxxf).1ln(xx 即即例例9 9.)7(2的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)求曲線求曲線 xeyx解解)72()72()(22 xxe

12、xxeyxx ,)7(2xxeyx 0 xy令令)7()7()(22 xexeyxx)72(2 xxex)1)(5()54(2 xxexxexx1; 521 xx得得, 0,)5,( y內(nèi)內(nèi)在在 ;5,(上上是是凹凹的的曲曲線線在在 , 0,)1 , 5( y內(nèi)內(nèi)在在 .1, 5上是凸的上是凸的曲線在曲線在 .)18, 5(5的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線點(diǎn)點(diǎn) e, 0,), 1( y內(nèi)內(nèi)在在 ., 1上上是是凹凹的的曲曲線線在在 .6, 1的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線點(diǎn)點(diǎn)e )1)(5( xxeyx)7(2 xeyx極大值極大值oxyoxy0 x0 x極小值極小值3. 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其

13、求法定理定理1(1(必要條件必要條件) )定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) ),)(連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)xf步驟步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小比較大小,注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值, ,4. 最大值、最小值問(wèn)題最大值、最小值問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題求最值實(shí)際問(wèn)題求最值: :1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值求最值:點(diǎn)，則該點(diǎn)的點(diǎn)，則該點(diǎn)的若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐（或最小）值（或最?。┲岛瘮?shù)值即為所求的最大函數(shù)

14、值即為所求的最大那個(gè)大那個(gè)就是最大值那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值那個(gè)小那個(gè)就是最小值;則這個(gè)極值就則這個(gè)極值就 是最值是最值(最大值或最小值最大值或最小值).例例1010解解)5()(2 xxexfx求求函函數(shù)數(shù))5()5()()(22 xxexxexfxx. 1, 421 xx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)：時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)4 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在4,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)14 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在1 , 4 .的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間)43(2 xxex 4)1( xxex.與與極極值值 極極大大值值474 ey 04 y注注：時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x1, 0)( xf

15、上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 1 單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，4,( ，1 , 4 )., 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)14 x, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在1 , 4 極極小小值值ey21 )5()(2 xxexfx 01 y注：注：的的墻墻為為，上上接接一一個(gè)個(gè)半半圓圓形形面面積積若若要要建建一一下下底底為為長(zhǎng)長(zhǎng)方方形形例例511xy,221yxxl 解解5812 xxys xxxxy 8158152 xxl1041 21041xl 440 x取取得得最最小小。使使得得周周長(zhǎng)長(zhǎng)問(wèn)問(wèn)如如何何選選擇擇底底邊邊lx,0203 xl用用所所剩剩材材料料形形的的圓圓形形薄薄片片截截去去一一個(gè)個(gè)傘傘半半

16、經(jīng)經(jīng)為為思思考考題題,4R RRhr 為多少時(shí)可獲得最大為多少時(shí)可獲得最大問(wèn)問(wèn)如圖如圖做一個(gè)圓錐形的漏斗做一個(gè)圓錐形的漏斗 .容量的漏斗容量的漏斗弧微分弧微分.105 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圓曲率圓 .12dxyds tytx 對(duì)于參數(shù)曲線對(duì)于參數(shù)曲線2 .22dttds 22)()(dydxds xfy 對(duì)對(duì)于于直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲線線1,)1(1232yyk 曲率半經(jīng)曲率半經(jīng).20曲率曲率 .)1(1232yyk 2322)(2 k.122的曲率函數(shù)的曲率函數(shù)求求例例xeyx 2xeyx 解解 232212xeekxx 曲率曲率 .1 , 0點(diǎn)的曲率及曲率半徑點(diǎn)的曲率及曲率半徑及曲線

17、在及曲線在232)1(yyk xeyx2 2 xey 02322120 xxxxeek223 思考題思考題些點(diǎn)處曲率最大？些點(diǎn)處曲率最大？ 橢圓橢圓 上哪上哪,cos2tx tysin3 思考題解答思考題解答2322)()()()()()(ttttttk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此時(shí)此時(shí) 最大，最大，k,cos2tx tysin3 與直線相交三點(diǎn)，與直線相交三點(diǎn)，二階可導(dǎo)，若曲線二階可導(dǎo)，若曲線)()(. 1xfyxf 0)( f滿滿足足則則思考題思考題 .),(,)(2上上

18、可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在babaxf 上上單單調(diào)調(diào)（增增加加或或減減少少）在在則則若若證證明明baxfxf,)(, 0)( xxxxx21lnlim. 3 求求用用所所剩剩材材料料形形的的圓圓形形薄薄片片截截去去一一個(gè)個(gè)傘傘半半經(jīng)經(jīng)為為,4R 為多少時(shí)可獲得最大為多少時(shí)可獲得最大問(wèn)問(wèn)如圖如圖做一個(gè)圓錐形的漏斗做一個(gè)圓錐形的漏斗 .容量的漏斗容量的漏斗 , 0),(50003 xfxfxUCxf 思思考考題題 .xf.xf是是否否極極值值說(shuō)說(shuō)明明000 與直線相交三點(diǎn)，與直線相交三點(diǎn)，二階可導(dǎo)，若曲線二階可導(dǎo)，若曲線)()(. 1xfyxf 0)( f滿滿足足則則滿滿足足羅羅爾爾條條件件)()()(bkxxfxF 證證 證明證明上可導(dǎo)上可導(dǎo)上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在.),(,)(. 2babaxf 上上單單調(diào)調(diào)（增增加加或或減減少少）在在則則若若baxfxf,)(, 0)( 非單調(diào)，非單調(diào)，若若)(xf證證,321xxx 則則有有 )()(, )(max231xfxfxf 使得使得 )()(, )(min231xfxfxf 或或 值值。的的內(nèi)內(nèi)部部取取得得最最大大或或最最小小在在必必在在區(qū)區(qū)間間則則31,)(xxxf),(),(31baxx 即即0)( f滿滿足足與條