線性代數(shù)與解析幾何：3向量組的秩

1、四、向量組的秩四、向量組的秩1.1.極大線性無(wú)關(guān)組極大線性無(wú)關(guān)組2.2.向量組的秩向量組的秩3.3.向量組的秩的研究和應(yīng)用向量組的秩的研究和應(yīng)用4.4.極大線性無(wú)關(guān)組的求解極大線性無(wú)關(guān)組的求解1.極大線性無(wú)關(guān)組極大線性無(wú)關(guān)組定義：設(shè)定義：設(shè) A1 是向量組是向量組 A 的一個(gè)部分向量組，的一個(gè)部分向量組，如果如果 A1 線性無(wú)關(guān)，但將線性無(wú)關(guān)，但將 A 中其他向量中其他向量(若有若有)添加進(jìn)添加進(jìn) A1 后所得的部分向量組線性相關(guān)，后所得的部分向量組線性相關(guān)，則稱則稱 A1 是是 A 的的極大線性無(wú)關(guān)組極大線性無(wú)關(guān)組幾個(gè)等價(jià)定義：幾個(gè)等價(jià)定義：1. A1 線性無(wú)關(guān)，且線性無(wú)關(guān)，且 A1 與與

2、A等價(jià)等價(jià)2. A1 線性無(wú)關(guān)，且線性無(wú)關(guān)，且 A中向量均可由中向量均可由A1線性表示線性表示 2.向量向量組的秩組的秩定義：設(shè)定義：設(shè) A 是一個(gè)向量組，是一個(gè)向量組， A1 是是 A 的的極大極大線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)組，組， A1中向量的個(gè)數(shù)稱為是中向量的個(gè)數(shù)稱為是A的秩的秩。 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：1. 極極大線性無(wú)關(guān)組是否唯一？大線性無(wú)關(guān)組是否唯一？2. 該定義是否合理？該定義是否合理？3. 若要使該定義合理，需要說(shuō)明什么？若要使該定義合理，需要說(shuō)明什么？121212:,:,( )( )rsABABrsA 設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)向向量量組組和和滿滿足足定定：向向量量組組可可由由向向量量組組線線性性表表示示則則

3、向向量量組組必必線線理理：性性相相關(guān)關(guān)。121212,.1,rsrrs 設(shè)設(shè)可可由由線線性性表表示示，且且線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，則則推推論論 ：1nn 任任意意個(gè)個(gè)維維向向量量一一定定線線性性相相關(guān)關(guān)。一一般般地地，向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)超超過(guò)過(guò)維維數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，它它們們一一定定線線推推論論2 2：性性相相關(guān)關(guān)。所以，向量組的秩的定義合理所以，向量組的秩的定義合理定義：設(shè)定義：設(shè) A 是一個(gè)向量組，是一個(gè)向量組， A1 是是 A 的的極大極大線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)組，組， A1中向量的個(gè)數(shù)稱為是中向量的個(gè)數(shù)稱為是A的秩的秩。 4等等價(jià)價(jià)的的向向量量組組有有相相推推論論 ：同同的的秩秩。3一一個(gè)個(gè)向向量量組組的的所

4、所有有極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組都都含含有有相相同同個(gè)個(gè)推推論論 ：數(shù)數(shù)的的向向量量。3.向量組的秩的研究和應(yīng)用向量組的秩的研究和應(yīng)用矩陣的行秩和列秩矩陣的行秩和列秩111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa A A的每一行都是的每一行都是n n維的行向量，一個(gè)有維的行向量，一個(gè)有m m個(gè)行向量，個(gè)行向量，這這m m個(gè)行向量組成的向量組的秩稱為個(gè)行向量組成的向量組的秩稱為矩陣矩陣A A的行秩的行秩；A A的每一列都是的每一列都是m m維的行向量，一個(gè)有維的行向量，一個(gè)有n n個(gè)列向量，個(gè)列向量，這這n n個(gè)行向量組成的向量組的秩稱為個(gè)行向量組成的向量組的秩稱為矩陣矩陣A A的列

5、秩的列秩；1134021400050000A 例例題題：求求矩矩陣陣的的行行秩秩和和列列秩秩。224311 3 40 21 40 0 0 511102400500011( , , , ),( , , ),( , , ,3,=)=3 為為行行為為列列向向量量向向量量組組的的極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組，所所以以行行秩秩為為 。組組的的極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組，所所以以列列秩秩解解也也為為：。矩矩陣陣的的行行秩秩和和列列秩秩都都等等于于定定理理：矩矩陣陣的的秩秩?；仡櫨仃嚨闹鹊亩x：非零子式的最高階數(shù)，回顧矩陣的秩的定義：非零子式的最高階數(shù)，主要計(jì)算方法：等價(jià)階梯矩陣的非零行數(shù)。主要計(jì)算方法：

6、等價(jià)階梯矩陣的非零行數(shù)。:A 12m向量組線性無(wú)關(guān), , ,rank,mm 12, , , ,121 0mmxxx 方方程程組組只只有有零零解解2利用：利用：矩矩陣陣的的行行秩秩和和列列秩秩都都等等于于定定理理：矩矩陣陣的的秩秩。 1212:,rankA , , , ,rArA 中中的的任任意意 個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的向向量量組組成成的的向向量量組組都都設(shè)設(shè)向向量量組組若若是是的的極極，則則：大大線線性性組組：。推推論論無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)mm這這給出了求解向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組的一個(gè)方法：給出了求解向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組的一個(gè)方法：給定一個(gè)向量組，要求它的秩，只要求它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩，給定一個(gè)向

7、量組，要求它的秩，只要求它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩，要求它的極大線性無(wú)關(guān)組，只要找一個(gè)包含要求它的極大線性無(wú)關(guān)組，只要找一個(gè)包含r個(gè)向量的線性無(wú)個(gè)向量的線性無(wú)關(guān)組。關(guān)組。下面我們給出計(jì)算秩和求解極大線性無(wú)關(guān)組的步驟：下面我們給出計(jì)算秩和求解極大線性無(wú)關(guān)組的步驟：1.1. 若為行向量組，先通過(guò)轉(zhuǎn)置將它們變?yōu)榱邢蛄拷M；若為行向量組，先通過(guò)轉(zhuǎn)置將它們變?yōu)榱邢蛄拷M；2.2. 將列向量組排列成一個(gè)矩陣將列向量組排列成一個(gè)矩陣 A=(1, 2 , , t);3.3. 對(duì)矩陣對(duì)矩陣 A A 進(jìn)行初等行變換，將其變?yōu)殡A梯矩陣；進(jìn)行初等行變換，將其變?yōu)殡A梯矩陣；4.4. 在階梯矩陣中的列向量里找出極大線性無(wú)關(guān)組；在階梯矩

8、陣中的列向量里找出極大線性無(wú)關(guān)組；5.5. 在在 A A 中選取相應(yīng)的列組成的列向量組就是中選取相應(yīng)的列組成的列向量組就是 A A 的極大線的極大線性無(wú)關(guān)組，其中向量的個(gè)數(shù)就是原先向量組的秩；性無(wú)關(guān)組，其中向量的個(gè)數(shù)就是原先向量組的秩；6.6. 如果原先向量組為行向量組，再將如果原先向量組為行向量組，再將5 5中求得的列向量極中求得的列向量極大線性無(wú)關(guān)組轉(zhuǎn)置成行向量即可。大線性無(wú)關(guān)組轉(zhuǎn)置成行向量即可。計(jì)算向量組秩計(jì)算向量組秩和求解極大線性無(wú)關(guān)組的步驟：和求解極大線性無(wú)關(guān)組的步驟：例題：課本作業(yè)第例題：課本作業(yè)第7題題123452 1 2 24111 0 20 1 2 11111111 2 11

9、1( , , , ,),( , , , ),( , , , ,),(, ),( , , , , ). 例例：設(shè)設(shè)求求秩秩和和一一個(gè)個(gè)極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組。1544332122532422210111111211112111122101101213212112121102200201112011101100421114211102113rrrrrrrrrrrrrr 解解：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置后后排排列列為為矩矩陣陣得得32412111121111211112011000110001100021130031300313012130031300000022000000000000rrrr 1231243

10、,.(,) 所所以以秩秩為為 ，極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組可可取取為為也也可可取取為為等等矩矩陣陣的的行行秩秩和和列列秩秩都都等等于于定定理理：矩矩陣陣的的秩秩。1212:,:,.1,rsAABB 推推論論向向量量組組的的設(shè)設(shè)可可由由秩秩向向量量組組線線性性表表示示，則則的的秩秩：121212:,:,( );(|)( )( )(|)(. )( )rsABABr A Br BABr Ar A Br B 記記和和可可由由線線為為兩兩個(gè)個(gè)向向量量組組則則: :性性表表和和等等價(jià)價(jià)思思：示示考考題題()min ( ),( ),.rA BmAr ABsBnrn 設(shè)設(shè)分分別別為為矩矩陣陣，定定則則理理：1122( )min (), (), (),ttr Ar AAr Ar