華理高等數學8學分上泰勒公式34ppt課件

1、 3.4 3.4 泰勒公式泰勒公式1 兩種余項的泰勒公式兩種余項的泰勒公式3 泰勒公式的應用泰勒公式的應用2 常見函數的泰勒公式常見函數的泰勒公式1 1. .設設)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù), ,則則有有2 2. .設設)(xf在在0 x處處可可導導, ,則則有有例例如如, , 當當x很很小小時時, , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下圖）（如下圖）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 一、問題的提出一、問題的提出xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 缺乏缺乏:問題問題:尋找

2、函數尋找函數)(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤差誤差 )()()(xPxfxR 可估計可估計1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計、誤差不能估計.nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn 的多項式函數的多項式函數是一個關于是一個關于令令0)(xxxP 二、二、nP和和nR的確定的確定分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好點點相相交交在在0.1x0 x)(xfy oxy假設假

3、設 nkxfxPkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk 代入代入)(xPn中得中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 階泰勒多項式。階泰勒多項式。點的點的在在稱為稱為nxxfxPn0)()(xy xysin xy xysin ! 33xxy oxy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753

4、xxxxy oxysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項，有有對對點點的的鄰鄰域域則則存存在在階階的的導導數數，處處具具有有在在點點設設函函數數定定理理),(),()(800baxbaxnxxf )()(!)()(! 2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf 三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理，使使得得之之間間的的與與存存在在介介于于，階階的的導導數數，則則對對具具有有直直到到內內的的鄰鄰域域在在包包含含設設函函數數定定理理 00),(1),()(9xxbax

5、nbaxxf 200000( )(1)1000()( )()()()()2!()( )()()!(1)!nnnnfxf xf xfxxxxxfxfxxxxnn 拉格朗日形式的余項拉格朗日形式的余項 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 次近似多項式次近似多項式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 階泰勒公式階泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 拉格朗日形式的余項拉格朗日形式的余項注意注意: :

6、)10( ,)!1()()(. 2100)1(0 nnnxnxxxfxRxx之之間間，余余項項與與介介于于)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式例例1. 1. 求求f(x)=tanxf(x)=tanx在在x=x=/4/4處的處的3 3 階泰勒公式。階泰勒公式。解解:,tan)(xxf ,sec)(2xxf ),tan(tan2tansec2)(32xxxxxf , 2tan8tan

7、6sec2sectan6)(24222 xxxxxxfxxxxxf223)4(sectan16sectan24)( ),2tan3(tansec822 xxx, 1)4( f, 2)4( f, 4)4( f,16)4( f32)4(! 316)4(! 24)4(21tan)( xxxxxf,)4)(2tan3(tansec! 48422 x.4之之間間與與介介于于 x例例2. 2. 求求f(x)=tanxf(x)=tanx在在x=0 x=0處的處的3 3 階麥克勞林階麥克勞林公式公式. .解解:, 1)0(, 0)0( ff, 2)0(, 0)0( ff32! 32! 200tan)(xxxx

8、xf ,)2tan3(tansec! 48422x ,)2tan3(tansec! 4831tan)(4223xxxxxf .0之之間間與與介介于于其其中中x 四、簡單的應用四、簡單的應用例例 1 1 求求xexf )(的的n階階麥麥克克勞勞林林公公式式. .解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10 ()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計誤差估計誤差)0( x設設!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!

9、1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR幾個常用函數的泰勒公式幾個常用函數的泰勒公式:( )sinAf xx ( )( )( )( )(sin)sin()(0)sin22kkkkkfxxxf (2 )(21)(0)0(0)( 1)0,1,.,kkkffkm 2,2nmm 取取則則f f( (x x) )的的階階麥麥克克勞勞林林公公式式為為213521121sin()2sin( 1)35!(21)!(21)!mmmmxxxxxxxmm ！ :( )cosBf xx ( )( )( )( )(cos )cos()(0)cos22kkkkkfxxxf 21,21n

10、mm 取取則則f f( (x x) )的的階階麥麥克克勞勞林林公公式式為為 2224222cos()2cos1( 1)4!(2)!(22)!mmmmxxxxxxmm 2 2！(2 )(21)(0) ( 1)(0) 00,1,.,kkkffkm :( )ln(1)Cf xx( )( )1(1)!( )ln(1)( 1)(1)kkkkkfxxx 則則f(x)f(x)的的n n階階麥麥克克勞勞林林公公式式為為 23111( 1)ln(1)( 1)3(1)1nnnnnxxxxxxnxn 2 2( )1(0)( 1)(1)!1,2,kkfkkn D:( )(1)f xx ( )( )kkfxkx 則則f

11、(x)f(x)的的n n階階麥麥克克勞勞林林公公式式為為 21(1)1nnxxxxn ！( )(0)(1)(1)1,2,kfkkn 11(1)(1)nnnxxn ！ 常用函數的麥克勞林公式常用函數的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 計算計算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(! 21144

12、22xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 0123,a a a a例：求使當x1 時，有233012310(1)(1)(1)(1) )xaaxaxaxo x2323(1)(1)55ln 10,ln 102!3!3ffaa01(1)10,(1)10ln10,afaf 210lnlim()( ,0 ,1,1,)lnxxxxaaxa bababbxb 例例：2222221lnln(),1lnln(),2!2!xxxxaxaao xbxbbo x 解解：222220221ln

13、ln()ln12explim11lnln()ln2xxxaao xxaxxxbbo xxb 原原式式222222022(lnln)()12exp lim1lnln()2xxabo xxxxbbo x221lnln2abe lnlnxxaxaaeelnln(1(1)11tttt 22220112 limcosexxxxxx 例例： 求求 440222118lim3122xxo xxxo x 22442022221111228lim112!xxxxo xxxo xxo x 解解：原原式式2244(1)1()xxxo x21 lim 212ln(1)xxxxx 例例： 求求1 xt 解解：令令233

14、11 ln(1)()23tttto t 由由 202233301 22lim1ln 11122()23 limttttttttttto tt 原原式式23 求極限求極限)1ln()(lim22xaxaaxx 22a 220)1ln()1(limtatatatt tatataatatat21)1()1ln(2lim20 tatatattttatt2)1ln(2lim121lim020 )1ln()1(lim220attatat 1xt)1ln()(lim22xaxaaxx 222221lim()()2xaaaxaxoxxx34222221()1lim()122xoaaaxaxaxoxxxx22a

15、 12212( )( )()( )()() ) lim( )()x axaf afaxafaxao xafaxa 解解： 原原式式10( )lim 1()()2( )x axfaxao xafa ( )2( )0( )()()2( )1 exp limfafaxfaxao xafaexa 1 ( ) lim( )()x axaf xfaxa 例例： 設設f(x)在f(x)在x=a連x=a連續(xù)續(xù)，f (a)=0, f(a)0.f (a)=0, f(a)0.求求ln(1)(0)xxx 設設f(x)在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內二階連續(xù)可導，試證明存內二階連續(xù)可導，試證明存在在 ，使，使( , )a b 2()( )2 ()( )( )24abbaf bff af 22()( )()()()()22222fababababf affaa 212()()()( )( )2 ()242ffabbaf bf af 21()( )()()()()22222fababababf bffbb 121()()2mffM12,( , ),a b 在 上連續(xù)，故存在最大值 和最小值( )fx12 , mM121( )()()2fff 內有三階導數，且內有三階導數，且上連續(xù)，上連續(xù)，在在設設)2 , 0(2 , 0)(xf, 4)2(, 3)0( ff)(max)1(2,0