線性代數與解析幾何：第五章 特征值與特征向量2

1、 具有下面的性質具有下面的性質:BA性質性質 若若 與與 相似，則相似，則 BA（1） 與與 有相同的特征多項式、特征值和跡；有相同的特征多項式、特征值和跡； ;AB（2）( )( );r Ar B（3）mAmmB（4） 與與 也相似，其中也相似，其中 為正整數為正整數. 1( )( )f BPf A P且方陣多項式且方陣多項式( )( )f Bf A即;TTAB（5）11*,.ABAB（6） 若若A可逆，則可逆，則例例 設設 A B ，其中，其中,00020001,32020002bBaA求求a, b 的值。的值。矩陣可對角化的定義和條件矩陣可對角化的定義和條件 定義定義 若若n階矩陣階矩陣

2、A 與與 n階對角矩陣階對角矩陣 相似相似, 則稱則稱A 可以對角化?？梢詫腔?。An定理定理 階方陣階方陣 可對角化的可對角化的充要條件是充要條件是nA有有 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量. nnA定理定理 如果如果 階方陣階方陣 有有 個不同的特征值，個不同的特征值， A則則 可對角化可對角化.定理定理 n階矩陣階矩陣A 可對角化的充要條件可對角化的充要條件是是A 的的 k 重特征值必有重特征值必有k個線性無關的特征向量。個線性無關的特征向量。n1 + n2 + + ns = n. 設設 n 階方陣階方陣 A 可對角化，可對角化，則把則把 A對角化的對角化的步驟如下：步驟如下：求

3、出矩陣求出矩陣 A 的所有特征值，設的所有特征值，設 A有有 s 個不同的特個不同的特征值征值 1 , 2 , , s ，它們的重，它們的重數分別為數分別為 n1, n2 , , ns , 有有 對對 A 的每個特征值的每個特征值 i ,求求(i E -A) x = 0的基礎解系的基礎解系, 設為設為 . ) s , 2, 1, i (21iinii,),(21222211121121ssnssnn,P),diag(212211 snssnn 則則 P- -1AP = .163053064A設試證試證A可以對角化，可以對角化，例例并求并求P與對角矩陣與對角矩陣, ,使使解解163053064A

4、E 212. 2, 1321 的全部特征值為的全部特征值為所以所以A得基礎解系得基礎解系,0, 1 , 21T.1 , 0, 02T時，當121063063063AE,000000021, 0XAE相應的齊次方程組為相應的方程組為相應的方程組為 , 0221xx。1 PPA時，當23, 02XAE相應的齊次方程組為3630630662AE,000110101相應的方程組為相應的方程組為 , 0, 03231xxxx得基礎解系得基礎解系.1 , 1 , 13T= =diag(1, 1, -2)。,110101102,321P.200010001 1APP且有則則,110101102,321P.2

5、00010001 1APP則有注注:（1）相似的對角矩陣不唯一，比如相似的對角矩陣不唯一，比如= =diag(1, -2 ,1)。（2）相似變換矩陣相似變換矩陣P不唯一，比如不唯一，比如, ,213P若令111 012 100. 1APP則00 2 001001（3）若若, 1APP有有, 1PPA. 1100100PPA設設,00111100 xA問問 x 為何值時，矩陣為何值時，矩陣 A 能對角化？能對角化？011110|xEA, ) 1() 1(2得得.1, 1321由由10101101xEA101001 ,000 x得得 x = - -1 時，時， r(A E) = 1 ，矩陣，矩陣

6、A 能對角化能對角化.定義定義 設有設有 n 維實向量維實向量,2121nnbbbaaa稱稱a1 b1 + a2 b2 + + an bn為向量為向量與與 的的內積，內積，內積具有下列性質內積具有下列性質: :（,）注注:=a1 b1 + a2 b2 + + an bn記為記為(,).1（,） = ( ,)；2（k,） = k( ,)；3, 0),(),();,(),(0,(,)0; 且 當時 有4實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化 （設設 , 為為 n 維維(實實)向量，向量，k 為實數，則有為實數，則有 = T =T.為為 n 維向量維向量 的長度或模，的長度或模，記為記為 向量的長度具有的性質：向量的長度具有的性質：, 01,2kk4.（ 三 角 不 等 式 ）;0,0時當且僅當),(3,.(-) 柯 西 施 瓦 茨 不 等 式 （2）向量的長度定義和性質）向量的長度定義和性質22221naaaT 定義定義 對任意向量對任意向量，naaa21稱稱.長度為長度為1的向量稱為單位向量。的向量稱為單位向量。若向量若向量 0 , 則則 1是單位向量是單位向量 。向量的夾角：向量的夾角：(,)cos() (0)| |向量向量, 的夾角為滿足條件的夾角為滿足條