北師大版高中數(shù)學(xué)必修5《一章數(shù)列復(fù)習(xí)題一》賽課導(dǎo)學(xué)案_19

1、1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an 1-an=d(d為常數(shù))，an二耳 n-1d等差中項：x. A, y成等差數(shù)列=2A-X y印annn n -1刖 n 項和Sn- - nd2 2性質(zhì)：(a是等差數(shù)列(1)若 m - = p q，貝U am aap aq;(2)數(shù)列S2nTa2n iLn 1乃為等差數(shù)列，&,S2Sn,-務(wù)仍為等差數(shù)列，公差為n2d;(3)若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為 a - d, a, a d(4)若an, bn是等差數(shù)列，且前-項和分別為Sn, Tn，則勺二仏bmT2m(5)3 鳥為等差數(shù)列二Sn an2 bn( a, b 為常數(shù)，是關(guān)于-的常數(shù)項為 0 的二次函數(shù))

2、Sn的最值可求二次函數(shù)Sn二an2 bn的最值；或者求出:a/?中的正、負(fù)分界項，即：當(dāng)a10, d : 0，解不等式組“ 可得Sn達(dá)到最大值時 的-值.當(dāng) &卅蘭 0a1：0, d 0，由9n可得Sn達(dá)到最小值時的-值.an1一 0(6) 項數(shù)為偶數(shù) 2-的等差數(shù)列牯有S2n= n(a1 a2n) = n(a2 a2n_i)八=n(a. a.(an, a. 1為中間兩項)S偶an 1(7) 項數(shù)為奇數(shù) 2n-1 的等差數(shù)列有S2n：=(2 n-1)an(an為中間項),數(shù)列專題2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義:an 1=q （ q 為常數(shù),等比中項：x、G、y成等比數(shù)列二G2=xy，或G

3、 =JXy隔（q=1）前 n 項和： Sn=a1（1 -qn）（要注意?。╭ 幻）.qan性質(zhì)：啣是等比數(shù)列(1)若 m n = p q，貝U am- a ap-aq（2）Sn, S2n-5,- S?n仍為等比數(shù)列,公比為q注意：由Sn求an時應(yīng)注意什么？n = 1 時，ai= S|； n 一 2 時，a*= Sn - Sn3.數(shù)列通項公式的常見求法數(shù)列求通項公式方法總結(jié)：觀察法、公式法、利用an(n = 1)S-Sn,n亠2)、累加法、累乘法構(gòu)造等差或等比anpanq或anpanf （n）、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法一.觀察法例1:寫出下列數(shù)列的通項公式（1）n十1

4、、-7、13、-19、25.an=(-1) (6n-5)c 513 33 811(2)2、-、- 、-an-nn 4248 162(3)7、77、777、7777、77777an=7 10n-1.公式法高中重點學(xué)了等差數(shù)列和等比數(shù)列,當(dāng)題中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,在求其通項公式時我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來求通項，只需求得首項及公差公比。1、等差數(shù)列公式例:已知等差數(shù)列an滿足a2=0,a6+a8=-10,求數(shù)列an的通項公式。an= - n + 22、等比數(shù)列公式例:設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，ai=2,-a24。求a.的通項公式。an=2Si(nT)、利用anSn-Sn

5、_1(n2)例：已知Sn=3n -2n，求an當(dāng)n= 1,a = s = 1當(dāng)n啟2,an=Sn sn=3n22n 3(n 1 ( 2(n 1 )=6n 5當(dāng)n = 1,ai=6 1 -5 = 1符合上式.an=6n -5d dd例：數(shù)列& ,- a-2a2 .r a*= 2n 5,求an2 221解 n=1時，一4=2 15印=1421 1 12a1豕比歹寺=2n 5n _ 2 時，111a12a2nan= 2 n15222一得：1o.a2n+.14( n)班弘，.n，.an2n 1(n_2)四、累加法an- anJ= f (n),a1= a0例：數(shù)列 中，a1, an=3n，- a

6、n4n 一 2，求 anii)構(gòu)造等差數(shù)列anpanf (n)p 為常數(shù)，p=0 , p 1p , q為常數(shù)，p = 0, p =1,q =0)例：已知an-2an 1+3,ai= h 求an設(shè) an c = 2 an 4c ,則 an= 2an 1c二 c = 3 貝Uan*3= 2a,+14an 是以 4 為首項，2 為公比的等比數(shù)列an亠缶心=2n 4 an= 2n 1- 3nn43解析:31 *2333_in _2二3心3-1累加得:3n- 12五、累乘法an _1例：數(shù)列a?中，a1=3,也an求anan1 2an六、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法i)構(gòu)造等比例：an2an2n1,a2警=屯+1 a_=

7、12“ $2“2丄則是以 1 位為首項，1 為公差的等差數(shù)列2n少=1 n一1仁n,. a.二n|_2niii)倒數(shù)法_1log3x - - log32- x例：aj =1, a，求anan2由已知得：a 2an12 an1 1-+ anan21丄為等差數(shù)列,an丄=1a1公差為1 1 1計 一12an:n +14.數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。數(shù)列求和的基本方法和技巧總結(jié)：一、公式法二、分組求和法 三、錯位相減法四、裂項相消法 五、倒序相加法。、公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要

8、的方法。n(a1an)n(n -1)Snna1d2 21、 等差數(shù)列求和公式:等比數(shù)列求和公式:nS W(1q )(q=1)1 -q01 - a*q1-q(q = 1)nSnkk=1n(n 1)2nSn =、k=1k2=丄n(n 1)(2 n 1)6例:已知log3xlog23，求X X2xxn解：由log3xlog231(11 .由等比數(shù)列求和公式得:咒：=2=1一十2解析：如果計算過程中出現(xiàn)了這些關(guān)于n的多項式的求和形式，可以直接利用公式。、分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。1111例

9、：Sn=123n2482n111Sn= 123學(xué) 學(xué)n2481-1先研究通項，通項可以分解成幾個等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。例：求數(shù)5,55,555，555的前n項和55n解：因為555=(10n-1)9所以Sn=5+55+555+555 =5(10 -1) (102-1)_(10“-1)丨n95 10(10n-1)50n550=n=10 n 9IL10-181981解析：根據(jù)通項的特點，通項可以拆成兩項或三項的常見數(shù)列，然后再分別求和。三、錯位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中 an卜 bn分別是等差數(shù)列

10、和等比數(shù)列。例：設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且6=1,a3b 21,a5= 13111fa1（i）求an,bn的通項公式；（n）求數(shù)列 的前n項和Sn.解：f,(1+2d+q4=21,(i)設(shè)：an/的公差為d,:bnf的公比為q,則依題意有q .0且2J+4d+q =13,解得d=2, q =2 .所以an=1(n - 1)d = 2n -1,2n -1四、裂項相消法an=1. n k _nn丄bn= q=2 心.bn2* 15“ 2n-3 2n-1.尹一-5 I - j 2n 3 2n 12& =2 3石川尹2* 1，得Sn2* -32 22=2 22$爲(wèi)2n

11、-12nJ=2 2 12n -12* -1-2 21- _2 _2n2n 12n12n 3=6_才4這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項,最終達(dá)到求和的目的通項分解（裂項）如:(1)ann(n 1)an二(3)an(2n -1)(2n 1)2 2n -12n 1(4)n(n 1)(n2)2 n(n 1) (n 1)(n2)111-n “n k k1& =(2 n+1)C；+(2 n_1)C；- + +3C；+丄（反序）1111311=(1)=22 n 1 n 24 2n 2 2n 41 1 1例：求數(shù)列_ _

12、 _ .，的前 n 項和.1+V2，j2+j3，In + J n +1 解：設(shè)an貝寸S= 1 + - +n12. 2、3=2 - 1） （吋3 -、,2） （J n T - n）=、.n 1-1解析：要先觀察通項類型，在裂項求和，而且要注意剩下首尾兩項，還是剩下象上例中的四項,后面還很可能和極限、求參數(shù)的最大小值聯(lián)系。五、倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1- an）。例：Sn二sin21+ sin22。+sin23+.+sin289。Sn= sin289+sin288+sin287。+. +sin21。例：求數(shù)列1匯32 x43x5n(n 2)的前n項和Sn解:1=1(1 n(n 2)=2(n（裂（裂項1n 21& =(2 n+1)C；+(2 n_1)C；- + +3C；+丄（反序）把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得89Sn=!T例：求證：C：+3C：+5C：+ +(2 n +1)cn =(n +1)2n+得:2 Sn=89證明： 設(shè)Sn二C0