定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用課件

1、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用二零零四級(jí)理學(xué)院二班二零零四級(jí)理學(xué)院二班 孫陽(yáng)孫陽(yáng) PB04203034PB04203034定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用v本幻燈片參考材料：力學(xué)，楊維纮，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)級(jí)理學(xué)院教材。其他便沒有了。限于客觀原因，作者并沒有準(zhǔn)備充分資源。日后若條件允許，也許能做出更有價(jià)值的成果。版權(quán)所有，商用付酬。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用v本文擬得出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)下剛體的動(dòng)能表達(dá)式，并討論教材例6.4中電熨斗模型的改良及其他一些簡(jiǎn)單應(yīng)用。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用我們已知，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I、角速度分別與直線運(yùn)

2、動(dòng)中剛體的質(zhì)量M、速度v對(duì)應(yīng)，但教材上并未給出計(jì)算剛體旋轉(zhuǎn)動(dòng)能的公式。我們猜想剛體的動(dòng)能是否為下面來(lái)證明此公式：2 2k kI I2 21 1E E定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用設(shè)所有剛體均勻，密度為1，則質(zhì)量和體積在數(shù)值上相等?？紤]半徑為的圓環(huán)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)：.2 22 23 32 22 20 0k k3 32 2I I2 21 1R RR RR Rd d2 21 1E ER R2 2m mR RI I成立。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用半徑為R的圓盤繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)：成立。.2 22 24 42 22 20 0R R0 0k k4 42 2I I2 21 12 2R Rr rrdRdrd

3、Rd2 21 1E E2 2R RmRmR2 21 1I I定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用長(zhǎng)為l的直細(xì)棒繞中垂線轉(zhuǎn)動(dòng)：成立。.2 22 23 32 22 2l l2 2l lk k3 32 2I I2 21 1l l24241 1l ldldl2 21 1E El l12121 1mlml12121 1I I定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用不規(guī)則的物體繞任意定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：成立。.2 2k k2 22 2k kd dm m2 2d dm mk k2 2d dI I2 21 1d dE Ed dm md d2 21 1d dE Ed dv vv vd dm m2 21 1d dE Ed dm

4、 md dd dI I即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用這便證明了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能公式。下面是一些分析：1這個(gè)動(dòng)能是剛體在視軸為靜止的參考系下“所有”的動(dòng)能。若轉(zhuǎn)軸亦運(yùn)動(dòng)，求剛體的總動(dòng)能只需再加上剛體關(guān)于軸速度的動(dòng)能，即.2 2k kv vM M2 21 1E EE E軸剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用).(距離是ABABr rMrMr2 21 1E EE EABAB2 22 2kAkAkBkBABAB2由可知，既然能量是線性的，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是線性的。3若剛體在軸A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IA已知，由分析2及平行軸定理，將軸移到B點(diǎn)時(shí)剛體的動(dòng)能為221IdEk定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的

5、動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用4由分析2及正交軸定理可求出剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能公式：.2 2z z2 2y y2 2x xk kz zk ky yk kx xk kv vv vv vM M2 21 1E EE EE EE E軸軸軸5由分析14可得剛體作任意運(yùn)動(dòng)的一般的動(dòng)能公式：其中包含剛體質(zhì)心系中剛體的動(dòng)能，這里不再推了。k kz zk ky yk kx xE EE EE E.2 2z zz z2 2y y2 2x xk kz zk ky yk kx xk kO OI II II I2 21 1E EE EE EE Ey yx x定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用在教材例6.4中我們知半徑r、自轉(zhuǎn)角

6、速度、平動(dòng)速度v 、滑動(dòng)摩擦系數(shù)、對(duì)地面壓力N的圓盤受阻力N.N.r rv vf f摩擦力集中在上半個(gè)月牙形內(nèi)。v v2 2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用由于滑動(dòng)摩擦力N與接觸面積無(wú)關(guān)，若切去盤中心O半徑為的小圓盤，如圖易知摩擦力增加2 2v vr r v v2 2.N Nr r2v2vf f2 21 1其中f是區(qū)域P、Q的摩擦力，P、Q的圓心分別是C和C。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用在吸塵器模型中，設(shè)吸塵器使用距離為s，采用開孔的底盤，增加了摩擦力，卻減少了驅(qū)動(dòng)底盤轉(zhuǎn)動(dòng)的能量。當(dāng)時(shí)，即時(shí)整體來(lái)講是節(jié)省了能量的。v v2 2N N4 4v vr rm ms s3 31 13 3小

7、盤r1為小盤半徑。2 22 21 11 1r r2 2m ms sr r1 1N Nv v2 2小盤定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用在實(shí)際生活中，各項(xiàng)數(shù)值如下：N N4v4vr rm ms s3 31 13 3小盤v v2 2m小盤：2kg：8(4Hz)r1：0.25mr：0.3mv：0.2m/s：0.3N：5kgg50N解得：s最大值是41.28m這樣的距離不用說(shuō)是家用吸塵器，除草都行了。因此，吸塵器底部做成圓環(huán)更節(jié)能。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用由本文前面特殊情況剛體動(dòng)能公式，半徑為r，環(huán)壁厚為1(r1)的圓環(huán)與半徑為R的圓柱繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的情況如下：.2 22 22 22 24

8、42 21 12 21 13 31 1R Rm mI I2 21 1E E2 2R RI I) )( (1 1. .r r2 2m mI I2 21 1E Er r2 2I I：盤圓柱圓環(huán)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)周期、密度相同時(shí)，若，則II，EE亦即，半徑的圓環(huán)與半徑的圓柱如此旋轉(zhuǎn)時(shí)有相同動(dòng)能，但4 43 3r r2 2R R .1 1r rm mm m1 12 2可見角速度一定時(shí)，欲使較小質(zhì)量剛體獲得較多轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，須使其質(zhì)量遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸；反之，使剛體得到較少能量就達(dá)到某轉(zhuǎn)速，質(zhì)量需向軸集中。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算及一些簡(jiǎn)單應(yīng)用若圓盤剖面如圖，質(zhì)量向軸集中，則使其轉(zhuǎn)速達(dá)到所需的能量就較少。將這種情況應(yīng)用于吸塵器，平動(dòng)摩擦阻力f仍不變。故將底盤質(zhì)量向軸集