線段和最小及差最大問題

1、精心整理【答案】【考點】作A點關(guān)于y軸的對稱點A連接A'B交y軸于點Q則A'B即為QA+Q啲最小值。 精心整理軸對稱（最短路線問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的I 當(dāng)兩點A和B在直線I同側(cè)時，若求直線I上點P使PA+PB最小值作點B關(guān)于直線I的對稱點B :連結(jié)AB '交直線I于點P,此時PA+PB二PA+PB 'AB '取除此之外的任意一點P'根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，P'A+P '=P'A+P ''> AB ',所以點P滿足PA+PB最小值 當(dāng)兩點

2、A和B在直線I異側(cè)時，作直線AB與直線I的交點為點P 當(dāng)兩點A和B在直線I同側(cè)時，作直線AB與直線I的交點為點M 此時|AM-BM|是最大值 取除此之外的任意一點 N,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，INA-NBI < AB,而 |MA-MB|=AB,所以這時|AM-BM|是最大值 當(dāng)兩點A和B在直線I異側(cè)時，作點B關(guān)于直線I的對稱點B'連結(jié)AB '交直線I 于點M,此時,|AM-BM|是最大值 送你幾道題（2012福建莆田4分）點A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.若P是x軸上使得PA -PB的值最大的點，Q是y軸上使得QA十Q

3、B的值最小的點，貝U OP QQ =5。精心整理 A'( -1 , 2), B ( 2, 1),設(shè)過A B的直線為:y=kx+b,!b13 o Q ( 0, 5 )，即5330Q=。OP?OQ丸 5 =5。3（2012四川攀枝花4分）如圖,正方形 ABCD中, AB=4, E是BC的中點，點 P是對角線 AC上一動點，貝y PE+PB精心整理的最小值為.【答案】【考點】軸對稱（最短路線問題），正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟B接DE交BD于點P,連接BD點B與點D關(guān)于AC對稱， DE的長即為PE+PB的最小值。/AB=4 E是 BC的中點， CE=2在 Rt CDE中，DE=#Cd2+

4、CE2 = j42+22 =2j5。例5. （2012廣西貴港2分）如圖，MN為O0的直徑，A、B是0上的兩點，過 A作ACIMN于點C,過B作BDIMN于點D, P為DC上的任意一點,若 MN= 20,AC= 8, BD= 6，貝U PA+PB的最小值是【答案】14。【考點】軸對稱（最短路線問題），勾股定理,垂徑定理?！痉治觥? MN= 20,.0O 的半徑=10。連接OA OB在 Rt OBD中；OB= 10, BD= 6,OD= = = 8。同理，在 Rt AOC中, OA= 10, AC= 8,O(= = = 6。 - CD= 8 + 6= 14。作點B關(guān)于MN的對稱點B',連

5、接AB，則AB即為PA+PB的最小值，B D= BD= 6，過點B'作AC的垂線，交AC的延長線于點 E。在 Rt AB E 中， AE= AC+ CE= 8 + 6= 14 , B'E= CD= 14, AB =14。例6. (2012湖北十堰6分)閱讀材料: 例：說明代數(shù)式 Jx2 +1 +J(x -3)2 + 4的幾何意義，并求它的最小值.解：/x2+1 + J(x3)2 +4 = J(x-0)2+* +J(x _3)2+22，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點P(x,0)是 x軸上一點，貝yJ(x-0)2+12可以看成點P與點A (0,1)的距離，J(x-3)2+22可以看成

6、點P與點B(3,2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是 PA+ PB的最小值.設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為 A ,則PA= PA,因此，求P冊PB的最小值，只需求PA' + PB的最小值，而點A、B間的直線段距離最短，所以PA + PB的最小值為線段 A'B的長度.為此，構(gòu)造直角三角形 A CB因為A C=3CB=3所以A B=3j?，即原式的最小值為 3j2。根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題:(1、代數(shù)式J(x 1)2 +1 + J(x -2)2 +9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P(X, 0)離之和.(填寫點B的坐標(biāo))(2、代數(shù)式 &2

7、 +49 + Jx2 -12x +37的最小值為.【答案】解：(1) (2, 3)。(2) 10?！究键c】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，軸對稱(最短路線問題)?！痉治觥?1)v原式化為 J(x 1)2 +12 +J(x 2)2 +32的形式,代數(shù)式J(x -1)2 +1 +J(x -2)2 +9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點與點A( 1，1)、點B的距P (X, 0)與點 A(1 , 1、點B (2, 3)的距離之和。(2)v原式化為 J(x 0)2 +72 + J(x 6)2 +12 的形式, A B = JaC2 +bc2 =血2 +82=10。例7. （2012四川涼山8分）在學(xué)習(xí)軸對稱的時候，老師讓

8、同學(xué)們思考課本中的探究題。如圖（1）,要在燃?xì)夤艿繧上修建一個泵站，分別向 A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?I看成一條直線（圖（2）,問題就你可以在I上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在I上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法.他把管道 轉(zhuǎn)化為，要在直線I上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的: 作點B關(guān)于直線I的對稱點B'.連接AB'交直線I于點P,則點P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題.如圖在 ABC中，點D E分別是AB AC邊的中點，BC=6 BC邊上的高為4,請你

9、在BC邊上確定一點P,使PDE得周長最小.（1）在圖中作出點 P （保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請直接寫出 PDE周長的最小值:【答案】解：（1）作D點關(guān)于BC的對稱點D',連接D E,與BC交于點P, P點即為所求?！究键c】軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關(guān)系，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥浚?）根據(jù)提供材料 DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作 D點關(guān)于BC的對稱點D',連接 D E,與BC交于點P, P點即為所求。（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案:點D E分別是AB AC邊的中點, DE為 ABC中位線。/ BC=6 BC邊上的

10、高為 4 , DE=3 DD =4。 D E = JdE2 +DD 2 = J 32 + 42 =5。 PDE周長的最小值為：DE+D E=3+ 5=8。練習(xí)題:1. （2011黑龍江大慶3分）如圖，已知點 A（1 , 1）、B（3, 2），且P為x軸上一動點，則 ABP的周長的最小值為匚2. （2011遼寧營口 3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A（1 , 2） , B（3 , 3）兩點，現(xiàn)另取一點 C（a , 1），當(dāng)a=時，AC+ BC的值最小.3. （2011山東濟(jì)寧8分）去冬今春,建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村濟(jì)寧市遭遇了 200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道O

11、為坐標(biāo)原點，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）。兩村的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（ 12，7）。A和李村B送水。經(jīng)實地勘查后，工程人員設(shè)計圖紙時，以河道上的大橋（1）若從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短?（2）水泵站建在距離大橋 0多遠(yuǎn)的地方，可使它到張村、李村的距離相等?4. （2011遼寧本溪3分）如圖，正方形ABCD的邊長是4,/ DAC的平分線交 DC于點E,若點P、Q分別是AD和AE上的動點，貝y DQ+ PQ勺最小值【】A、2B、45. (2011遼寧阜新3分）如圖，在矩形ABCD中, AB= 6, BC= 8,點 E是 BC中點，點F是邊CD上的任意一點,當(dāng) AEF的周長最小時，則DF的長為【】A. 1B. 2C. 3D. 46. (2011貴州六盤水3分）如圖，在菱形 ABCD中，對角線 AC=6 BD=8