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文檔簡介

1、在實驗中探索規(guī)律八年級數(shù)學(xué)頻率與機會教學(xué)案例與思考 杭州市天杭實驗學(xué)校 彭如劍 案例背景 華東師大版數(shù)學(xué)教材八年級(上)第十五章統(tǒng)計與概率部分的一節(jié)課頻率與機會,要求學(xué)生通過實驗體驗隨機事件概率的意義:盡管隨機事件在每一次實驗中發(fā)生與否具有不確定性,但只要保持實驗條件不變,那么這一事件發(fā)生的頻率就會隨著實驗次數(shù)的增加而趨向穩(wěn)定。我的教學(xué)設(shè)計要解決這樣的問題:利用短暫的課內(nèi)時間完成幾百次、上千次的實驗,使學(xué)生明白“隨機事件在每次實驗中發(fā)生的機會,可以用該事件在大數(shù)次重復(fù)實驗中發(fā)生的頻率來估計”。為此,我準備了供學(xué)生進行實驗的必要器材,并制作了Flash課件(見本刊網(wǎng)絡(luò)版),以便進行模擬實驗。本文

2、描述了教學(xué)實況和我的一些思考。 我為本課制訂的教學(xué)目標是:1.通過大數(shù)次實驗的觀察,使學(xué)生了解隨機事件發(fā)生的頻率是穩(wěn)定的;2.通過討論,使學(xué)生體驗用頻率的穩(wěn)定值估計機會的合理性;3.使學(xué)生初步掌握實驗的基本程序、方法,用比較準確的語言概括實驗結(jié)果,培養(yǎng)他們的探索意識,合作精神。 教學(xué)環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)及意圖 實驗利用“轉(zhuǎn)盤”進行,以三項任務(wù)驅(qū)動學(xué)生操作和思考,實現(xiàn)教學(xué)目標。 任務(wù)一:組織學(xué)生自主探究轉(zhuǎn)盤上的指針停留在某種顏色區(qū)域的機會究竟跟什么有關(guān):是此種顏色區(qū)域的面積,還是指針在此顏色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度?要由學(xué)生自己來解決,用自己的語言來表述。 任務(wù)二:組織學(xué)生設(shè)計轉(zhuǎn)盤,使指針停在藍色區(qū)域的機會為/。要求

3、學(xué)生盡可能突破思維束縛,發(fā)揮想像力,通過設(shè)計,深化對任務(wù)一所得出的結(jié)論的理解。 任務(wù)三:利用青年學(xué)生對歌星的崇拜心理,設(shè)計一個關(guān)于“索取周杰倫簽名照”的假想場景,讓學(xué)生來猜一猜、動手試一試,明確有的隨機事件非得通過大數(shù)次實驗才能發(fā)現(xiàn)其發(fā)生的機會,從而使學(xué)生體驗?zāi)M實驗的必要性和可靠性,對學(xué)生進行科學(xué)態(tài)度和科學(xué)方法的教育。 案例描述 一、像科學(xué)家那樣去探究問題 為了讓學(xué)生體會到“指針停在藍色區(qū)域的機會等于指針在藍色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度的總和與360°的比值”,并用自己的語言表述出來,我設(shè)計了一連串問題。 用幻燈片出示如圖的轉(zhuǎn)盤。學(xué)生知道,用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停下時,指針可能指向紅色,也可能指

4、向藍色。 問題一:請每一個同學(xué)選擇一種顏色,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停下時,指針指向哪一種顏色,選擇這種顏色的同學(xué)就獲勝。你會選擇哪種顏色? 學(xué)生齊刷刷地回答:當(dāng)然是紅色。當(dāng)我問為什么時,學(xué)生幾乎也是齊刷刷地回答:紅色面積比藍色面積大。 這是一個忽視前置條件的答案,顯然缺失了數(shù)學(xué)思維的嚴謹性。所以我馬上出示了如圖2的幻燈片,提出問題二。 問題二:用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙,如果你想讓指針停在藍色上,選擇哪個轉(zhuǎn)盤能使你成功的機會比較大? 這個問題馬上引起了學(xué)生的深思。大部分同學(xué)都回答“轉(zhuǎn)盤甲和乙上,指針停留在藍色區(qū)域的機會一樣大”,但也有兩位同學(xué)說轉(zhuǎn)盤乙的機會大。我讓學(xué)生以四人小組為單位進行驗證。每組有統(tǒng)一制作的一大

5、一小兩只轉(zhuǎn)盤,同桌兩人一只轉(zhuǎn)盤,一人轉(zhuǎn)動,一人在表格中記錄指針停在藍色區(qū)域的次數(shù)。各轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤次,最后把數(shù)據(jù)匯總到老師的電腦上。這個實驗進行了十分鐘。根據(jù)各小組的匯總數(shù)據(jù)制作的Excel圖表出現(xiàn)在屏幕上:兩只轉(zhuǎn)盤的指針停留在藍色區(qū)域的頻率與/的差,絕對值都在0.10.2之間,“機會一樣大”的猜測初步得到驗證。我再用電腦進行模擬實驗:每只轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)了10000次,顯示指針停留在藍色區(qū)域的機會分別為0.252(甲)和0.249(乙),這兩個頻率與/的差,絕對值都不超過0.002。學(xué)生由此感受到“頻率隨著實驗次數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定”的事實。 于是我開始啟發(fā):剛才大家認為指針停留在藍色區(qū)域的機會由藍色區(qū)域的

6、面積大小決定,可是轉(zhuǎn)盤乙的藍色區(qū)域面積顯然比轉(zhuǎn)盤甲大,為什么轉(zhuǎn)動這兩個轉(zhuǎn)盤,指針停留在藍色區(qū)域的機會卻幾乎相同呢?誰能修正一下剛才的判斷? 僅僅思考分鐘,就有一位同學(xué)對原先的結(jié)論進行修改:藍色區(qū)域所占的面積占總面積的比越大,指針停留在藍色上的機會也越大。 適當(dāng)?shù)膯栴}有利于學(xué)生意識到他們的結(jié)論不嚴謹,修改后的結(jié)論顯然比第一次的說法準確些。但要使這個判斷成為真命題,還是缺少前提轉(zhuǎn)盤必須是圓盤,轉(zhuǎn)軸在中心。于是我出示了圖所示的三只轉(zhuǎn)盤,用問題三啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考。 問題三:轉(zhuǎn)動哪一個轉(zhuǎn)盤,指針停留在藍色區(qū)域的機會比較大? 幻燈片一出現(xiàn),同學(xué)們紛紛脫口而出,有的說正方形,有的說正八邊形。沒等我說話,他們

7、又自己統(tǒng)一了意見:正方形和正八邊形轉(zhuǎn)盤的機會一樣大,都是/,正三角形轉(zhuǎn)盤的機會最小。 我追問:為什么?馬上有一位同學(xué)說:因為在正方形和八邊形中,藍色區(qū)域都占了總面積的/,而三角形中,藍色區(qū)域占總面積的比不到/。 這時,一位平時愛動腦筋的同學(xué)突然醒悟:老師,我認為這三個轉(zhuǎn)盤指針停留在藍色區(qū)域的機會都是/。我馬上請他說說理由。這位同學(xué)很自信地說:指針在藍色區(qū)域上轉(zhuǎn)過的角度都是90°,90°是360°的/。 “同意他的說法的同學(xué)請舉手?!蔽艺f完一看,舉手者寥寥無幾,可見許多同學(xué)對這種說法并沒有立刻認可。這與我的估計相同。 于是我讓大家回到實驗中去尋找規(guī)律。為了節(jié)省時間,

8、我讓個小組用正方形轉(zhuǎn)盤做實驗,另個小組用正三角形轉(zhuǎn)盤做實驗。最后匯總統(tǒng)計結(jié)果顯示:正方形轉(zhuǎn)盤和正三角形轉(zhuǎn)盤指針停留在藍色區(qū)域的頻率都接近/。 此時我問同學(xué)們:“藍色區(qū)域的面積占總面積的比越大,指針停留在藍色上的機會也越大”這句話還需要修改嗎? 下面是兩位同學(xué)的修正意見: “指針旋轉(zhuǎn)一周,在藍色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度越大,機會越大。” “干脆說,指針在藍色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度與360°的比值,就是指針停留在藍色區(qū)域的機會。” 一步步的問題設(shè)置,讓學(xué)生逐漸說出指針指向藍色區(qū)域機會的實質(zhì)。此前我給另一個班級上同一節(jié)課時,有一位同學(xué)的思考更精彩:“用剪刀把這三個轉(zhuǎn)盤都修剪成圓,如圖,就能發(fā)現(xiàn)它們的指針停留

9、在藍色區(qū)域的機會是相同的。”從特殊中發(fā)現(xiàn)一般,閃耀著理性思考的光輝。 在上述探究活動中,我盡可能讓學(xué)生多動手操作,怕數(shù)據(jù)不夠多,我用匯總各小組數(shù)據(jù)和電腦模擬的方法,解決了“利用短暫的課堂教學(xué)時間完成幾百次、上千次實驗”的難題。學(xué)生的活動和思考過程,除了使他們親身體驗偶然性中蘊涵必然性的道理,對他們的發(fā)展至少還有以下兩方面的意義。 培養(yǎng)實事求是的科學(xué)態(tài)度。明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),既要大膽猜想,又要小心求證。求證不外乎兩種方法,一是邏輯推理,如以上最后三位學(xué)生的思考;二是實踐驗證,動手實驗用的就是這種方法。 發(fā)展概括能力。我沒有把概率的計算方法簡單地告訴學(xué)生,而是讓學(xué)生像科學(xué)家那樣不停地觀察、猜測、驗證和反

10、思,逐漸修正自己的判斷,使之一步步趨向完善、準確,最終自己得出概率的計算方法。這中間,學(xué)生用自己的語言比較準確地概括自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,認識不斷強化。著名數(shù)學(xué)家,北師大的教授曹才翰說過,概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心。重教學(xué)過程,特別要精心設(shè)計這樣的思維活動過程,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力才不會成為空話。 二、放飛想像,深化理解 在這個環(huán)節(jié)中,我首先提出下面的問題。 問題四:河坊街有“捏糖人”的攤子,花兩塊錢轉(zhuǎn)一下如圖的轉(zhuǎn)盤,指針停留在哪塊區(qū)域,你就能得到上面所標的那種“糖人”。非常吸引孩子。 我的女兒非常希望得到她喜歡的“老鼠拖油瓶玩具。你認為她玩一次轉(zhuǎn)盤,實現(xiàn)愿望的機會有多大? 老師觀察許久,發(fā)現(xiàn)玩的孩子得

11、到的大多是一塊糖或一個廉價的氣球。你認為這是為什么? 學(xué)生紛紛通過量角器度量,做出了正確的回答,理由也說得非常清楚,說明他們真正理解了玩這樣的轉(zhuǎn)盤,“角度決定機會大小”的結(jié)論。 在此基礎(chǔ)上,我要求學(xué)生設(shè)計一個轉(zhuǎn)盤,使指針停留在藍色區(qū)域的機會等于。學(xué)生的設(shè)計五花八門,轉(zhuǎn)盤形狀也突破了中心對稱的限制。 三、到實驗中尋找規(guī)律,學(xué)會用數(shù)據(jù)說話 本節(jié)課的課題是在實驗中尋找規(guī)律,能不能找一個學(xué)生難以預(yù)見機會大小的問題,讓他們更深刻地體會實驗的重要性呢?正好月日周杰倫在杭州召開了個人演唱會,我以此為背景設(shè)置了一個問題。 問題五:某礦泉水廠家在月日的周杰倫杭州個人演唱會上做廣告,說買一瓶礦泉水可以轉(zhuǎn)一次如圖所

12、示的轉(zhuǎn)盤,獲得一張相應(yīng)顏色的卡片。集齊三種顏色的卡片就可以得到一張周杰倫的簽名照。周杰倫的歌迷們互不認識,因而不可能互換卡片。問:他們平均要買幾瓶礦泉水才能得到一張周杰倫的簽名照? 學(xué)生的回答有平均買6瓶、12瓶,甚至買27瓶的。我終于忍不?。哼@些人好像手氣太差了一點,我看大家還是動手試一試吧。 各四人小組在三色轉(zhuǎn)盤上試,我則用課件在計算機上進行了轉(zhuǎn)盤實驗。結(jié)果連同我共十組,每組都集齊三種顏色,共得到10張周杰倫的簽名照,為此一共買了46瓶礦泉水,平均每組買4.6瓶。 學(xué)生不理解“平均”問題為什么可以歸結(jié)為概率。由于這不是本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,因而不必補充這個知識。讓學(xué)生通過實際操作體驗實驗的意義

13、,這才是我們的目的。 我又提出問題:如果有1000個人,每人要一張簽名照,他們也平均要買4.6瓶礦泉水嗎? “要是還想不通,我們把數(shù)據(jù)增加到10000吧。如果還是5.5左右,你能相信嗎?”我似乎跟學(xué)生商量。結(jié)果運氣特好,平均數(shù)非常接近5.5。學(xué)生不由感嘆:真不可思議,這也有規(guī)律?! 這個教學(xué)片斷的目的是落實本課的基本要求,讓學(xué)生真正相信“盡管隨機事件在每一次實驗中發(fā)生與否具有不確定性,但只要保持實驗條件不變,那么這一事件出現(xiàn)的頻率就會隨著實驗次數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定”這個道理。不通過實驗,學(xué)生無法憑經(jīng)驗猜出這個規(guī)律。這個教學(xué)片斷也教育學(xué)生要樹立科學(xué)的實驗觀,堅持用真實的數(shù)據(jù)說話。 案例反思 1.興

14、趣來自現(xiàn)實生活 華東師大的數(shù)學(xué)教材關(guān)于概率與統(tǒng)計的知識是從七年級到九年級逐步展開和深化的,教學(xué)中老是用拋擲硬幣和骰子這兩種活動,會使學(xué)生厭倦。這節(jié)課我換了新鮮的學(xué)具(轉(zhuǎn)盤)和新鮮的話題,由于它們都來自學(xué)生的生活,所以迎合學(xué)生的心理,使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的探究興趣并得以保持。 2.以問題為線索組織學(xué)習(xí)活動 從問題出發(fā)進行教學(xué),是上海青浦教改實驗的重要經(jīng)驗之一。曹才翰教授在總結(jié)青浦經(jīng)驗時說過,有問題才會有思考,思維總是指向問題解決的。在這節(jié)公開課上,我從頭到尾都用一步步遞進的問題啟發(fā)學(xué)生的思維,力求使學(xué)生的思維像剝筍一樣一步步深入,語言表達一步步精確,讓學(xué)生的思維經(jīng)歷了從混沌到清晰、從似是而非到把握本質(zhì),體會到數(shù)學(xué)思考的樂趣、探索成功的喜悅。 3.合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)

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