升容斥原理之重疊問題

1、第八講：容斥原理之重疊問題一、導入 ?文氏圖文氏圖，也叫 維恩圖”是由英國著名數(shù)學家Venn發(fā)明的.維恩（公元1834年8月4日公元1923年4月4日）十九世紀英國著名 的數(shù)學家和哲學家，生于英國赫爾.他1883年獲得理學博士學位，同年被選為英國 皇家學會會員.維恩最主要的成就是系統(tǒng)解釋并發(fā)展了幾何表示的方法， 也就是發(fā)明了文氏圖.他作出 一系列簡單閉曲線（圓或更復雜的圖形），將平面分為許多間隔.利用這種圖表，維恩 闡明了演繹推理的基本原理.為了進一步明確起見，他還引入了一些數(shù)學難題作為實 例雖然在維恩之前，萊布尼茨（Leibniz）已系統(tǒng)地運用過這類邏輯圖，但今天這種 邏輯圖仍稱作 維恩圖”

2、另外，維恩在概率論和邏輯學方面也有很大貢獻，他的著作機會邏輯和符號邏輯，在19世紀末20世紀初曾享有很高的聲譽.球機，當澳洲板球隊在1909年到訪劍橋大學時，維恩的機器依然運作正常，并使他 們其中一位成員打空四次.什么是容斥原理？這一講我們主要學習和“包含”與“排除”有關的問題，這樣的問題在生活中就有不少， 比如吃瓜子.我們說吃掉了一斤瓜子， 指的是帶殼的瓜子， 并非真的吃到肚子里一斤，因為這一斤中還“包含”著瓜子殼.如果要計算到底吃了多少， 最簡單的方法就是稱一 稱瓜子殼， 用原來的一斤“排除”掉瓜子殼的重量.瓜子的例子相對簡單，一斤瓜子里 一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子殼，兩者各不相關.

3、但本講要學習的包含與排除問 題要復雜一些，各部分之間會有重疊.比如一個辦公室中每個人都至少愛喝茶或咖啡中的一種，已知有7個人愛喝茶，10個人愛喝咖啡，那能不能就說辦公室里有17個人呢？顯然不能，因為可能有一些人 既愛喝茶也愛喝咖啡，如果直接將喝茶的人數(shù)和喝咖啡的人數(shù)相加，會把既愛喝茶又愛 喝咖啡的人計算2次，計算人數(shù)的時候要把這一部分減去才行.除了數(shù)學以外，維恩還有一項較為特別的技能制作機器.他曾制作過一部板球發(fā)比如，如果有3個人既愛喝茶又愛喝咖啡，那總的人數(shù)就應該是7 + 10 ? 3 = 14人.這就是我們今天要來研究的問題一一有重疊的計數(shù)問題，即包含與排除問題研究這 種問題通常需要畫出示

4、意圖，這樣的示意圖又叫做文氏圖，下面我們就用文氏圖推導兩個對象的容斥原理公式.兩個量之間的重疊例1、某班有34名同學參加了學校的運動會，其中有17名參加了跳繩，有20名參加了拔河，問：及參加了跳繩又參加了拔河的又多少人？如右圖所示，如果要計算三個部分的總數(shù)，直接計算A+B就會算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的減掉就可以 了上述分析總結成公式就是：這個公式就是兩個對象的容斥原理.練一練1、五年級有122名學生參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課的成績是優(yōu)秀，其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)學優(yōu)秀的有87人.語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人？2、 在一次數(shù)學測試中有兩道題全班同學都至少答對一題

5、，答對第一題的有33人，答對第二題的又38人，兩題都答對的又15人，問全班又多少人？3、 學校文藝組每人至少會演奏一種樂器。已知會拉手風琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩種樂器都會的有8人，這個文藝組一共有多少人？挑戰(zhàn)思維1、為了參加一次競賽，某班46人中，每人至少參加一項。其中有20人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加數(shù)學興趣小組的有2人，兩項都沒有報的有10人，那么參加數(shù)學興趣小組的有多少人？換個思路想一想 至少報一項的有多少人?三個量之間的重疊1、某單位元旦期間組織旅游，每人至少說出一個想去的地方。其中想去海南的有42人，想去桂林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去

6、桂林的有12人, 既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三個地方都想 去的有4人。問這個單位一共有多少人？（42=44+36）-12-8-10+4=122-（12+8+10）+4=122-30+4=96（人）答：這個單位一共有96人。方法總結：在校園藝術活動中，五（I 2）公式：s=a + b + c-ab-bc-ac+abc+d25人，參加聲樂比賽的有20人，兩項都參加的有12人，兩項都沒有參加的有10人。五（2）班一共有多少人?挑戰(zhàn)競賽3、學校舉行運動會。四年級共有60名同學，其中參加百米賽跑的有21人，參加投擲的有26人，即參加百米有參加跳遠的有12人，即參加跳遠

7、有參加投擲的有9人,（練）三個量的重疊問題中，如果是全部參與，則總人數(shù)等于參加三項的人數(shù)和減去同 時參加兩項的人數(shù)和，再加上同時參加的三項人數(shù)。1、15人問：三種都喜看電影又喜歡讀書的有和有參加美術比賽的有即參加百米有參加投擲的有14人，三項都參加的有5人，三項都沒有參加的有12人，問參加跳遠的有多少人？重疊問題中的極值問題1、40人參加某次晚會，其中28人在晚會上唱了歌，25人在晚會上跳舞，那么即 唱歌有跳舞的人最多有多少人，最少有多少人？兩個量的極值中，兩項都參加的人最多，就是較少的一項；兩項都參加的人數(shù)最少，就是求練重疊部分。J1、某校100名學生中，愛好音樂的有56人，愛好美術的有75

8、人，那么即愛好音樂有愛好美術的最多有多少人？最少有多少人？2、某班30名同學。在一項測試中，答對一題的有么兩題都答對的最多有多少人？最少有多少人？挑戰(zhàn)思維3、希望小學音樂興趣小組有37人，其中20人會手風琴，16人會鋼琴，24人會電子琴，即會手風琴又會鋼琴的8人，即會電子琴又會鋼琴的10人，即會手風琴又會電子琴的8人，那么三種都 不會的至少多少人?換個思路想一想方法總結：根據(jù)：s=a + b + c-ab-bc-ac+abc+d若要 d廠兩個量的極值中，兩項都參加的人最多，就是較少的一項大兩項都參加的人數(shù)最少，就是求 家庭作業(yè)分。I_三個量的極值中，如果要不參加的最多，就要參加的盡量少。|k_

9、 _J最多：25人最少:(28+25)-40=13人答：最多25人最少13人方法總結：換個思路想一想要使人數(shù)最多則重疊最多，怎么畫圖才可以重疊最多呢？要使人數(shù)最少，可以圖形不重疊嗎？換個思路想一想最多人人答對752人題誨少是(人人嗎那為什么？1、一個班有 48 人，班主任在班會上問：誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有 37 人舉手。又問： 誰做完數(shù)學作業(yè)？請舉手！”有 42 人舉手。最后問： 誰語文、數(shù)學作業(yè)沒有做完 ？”沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都完成的人數(shù)是 _。2、某個班的全體學生進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4 名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達到

10、優(yōu)秀，這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球1718156652求這個班的學生數(shù)？3、 某班共有 30 名男生，其中 20 人參加足球隊，12 人參加藍球隊，10 人參加排球隊。已知沒一個人同時參加 3 個隊，且每人至少參加一個隊，有6 人既參加足球隊又參加藍球隊，有2 人既參加藍球隊又參加排球隊，那么既參加足球隊又參加排球隊的有多少人？4、 班有 46 人其中會彈琴的有 30 人，會拉小提琴的有 28 人，則這個班級會彈琴又會拉小提琴 的至少有多少人？5、某班同學中，有 26 人愛打籃球，17 人愛打排球，19 人愛踢足球，有 9 人既愛打籃球又愛踢 足球，有 4 人既愛打排球又愛踢足球，有7 人既愛打籃球又愛打排球，沒有一個人三種球都愛玩，也沒有一個人三種球都不愛玩，問：這個班共有多少學生？6、 某班有 45 名同學，其中 22 名同學參加科技興趣小組，27 名同學參加數(shù)學興趣小組，同時參加兩個小組的人數(shù)是兩個小