【KS5U解析】安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣重點(diǎn)中學(xué)2020屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、定遠(yuǎn)重點(diǎn)中學(xué)2020屆高三下學(xué)期4月模擬考試文科數(shù)學(xué)第i卷（選擇題共60分）一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分)1.已知集合，集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式計(jì)算出集合中表示元素范圍,然后計(jì)算出的范圍,最后根據(jù)交集的含義計(jì)算的結(jié)果.【詳解】因?yàn)?所以即,所以,又因,所以.故選c.【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集與交集混合運(yùn)算,難度較易,注意一元二次不等式的解集的求解.2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，若，則 （ ）a. 0b. 2c. d. 1【答案】a【解析】【分析】通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到，再由模的求法得到方程，求解即可.【詳解】，因?yàn)椋?，?/p>

2、得：0故選a【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)模的求法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考，常見(jiàn)考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.3.2019年1月1日，濟(jì)南軌道交通號(hào)線試運(yùn)行，濟(jì)南軌道交通集團(tuán)面向廣大市民開展“參觀體驗(yàn)，征求意見(jiàn)”活動(dòng)，市民可以通過(guò)濟(jì)南地鐵app搶票，小陳搶到了三張?bào)w驗(yàn)票，準(zhǔn)備從四位朋友小王，小張，小劉，小李中隨機(jī)選擇兩位與自己一起去參加體驗(yàn)活動(dòng)，則小王被選中的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】將所有符合要求的情況全部列出，然后選出符合要求的情況，利用古典概型的概

3、率公式，得到答案.【詳解】從四位朋友小王，小張，小劉，小李中隨機(jī)選擇兩位，全部的情況有：（小王，小張）（小王，小劉）（小王，小李）（小張，小劉）（小張，小李）（小劉，小李），共6種符合要求，即包含小王的情況有：（小王，小張）（小王，小劉）（小王，小李）共3種,所以小王被選中的概率為故選b項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的求法，屬于簡(jiǎn)單題.4.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為,己知,則=( ）a. 32b. 16c. 4d. 64【答案】a【解析】【分析】通過(guò)討論的取值情況，確定，利用等比數(shù)列的求和公式，建立方程組，求出和，進(jìn)而求得的值【詳解】當(dāng)公比 時(shí)可得，代入，與矛盾，所以.由等比數(shù)列的前項(xiàng)和

4、公式 ，可得，兩式相除，得 ，可解得或（舍），當(dāng)時(shí)，代入原式可求得，則由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，利用方程思想求出首項(xiàng)和公比，屬于簡(jiǎn)單題5.根據(jù)某校10位高一同學(xué)的身高(單位：cm)畫出的莖葉圖（圖1），其中左邊的數(shù)字從左到右分別表示學(xué)生身高的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生身高的個(gè)位數(shù)字，設(shè)計(jì)一個(gè)程序框圖（圖2），用表示第個(gè)同學(xué)的身高，計(jì)算這些同學(xué)身高的方差，則程序框圖中要補(bǔ)充的語(yǔ)句是 ()a. b. c d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)方差公式，將其化簡(jiǎn)得，結(jié)合流程圖得循環(huán)結(jié)束，可得，從而可得，從而可得出答案.【詳解】由，循環(huán)退出

5、時(shí)，知.，故程序框圖中要補(bǔ)充的語(yǔ)句是.故選b【點(diǎn)睛】把莖葉圖與框圖兩部分內(nèi)容進(jìn)行交匯考查，體現(xiàn)了考題設(shè)計(jì)上的新穎，突出了高考中對(duì)創(chuàng)新能力的考查要求算法表現(xiàn)形式有自然語(yǔ)言、程序框圖、算法語(yǔ)句等三種由于程序框圖這一流程圖形式與生產(chǎn)生活等實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系密切，既直觀、易懂，又需要一定的邏輯思維及推理能力，所以算法考查熱點(diǎn)應(yīng)是以客觀題的形式考查程序框圖這一內(nèi)容6.若對(duì)圓上任意一點(diǎn)，的取值與，無(wú)關(guān)， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )a. b. c. 或d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到兩條平行直線的距離之和來(lái)求解實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】依題意表示到兩條平行直線和的距離之和與無(wú)關(guān)，故兩

6、條平行直線和在圓的兩側(cè)，畫出圖像如下圖所示，故圓心到直線的距離，解得或（舍去）故選d.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7.函數(shù)的圖象大致是( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除c、d；由時(shí)，可排除b；即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，故c、d錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由，可得，故b錯(cuò)誤.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別和余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8.已知平面向量、，滿足，若，則向量、的夾角為（ ）a. b. c.

7、d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)，以及和，即可求解出的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所?故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的模長(zhǎng)以及垂直關(guān)系求解向量夾角，難度較易.已知向量的模長(zhǎng)求解向量的夾角時(shí)，可通過(guò)數(shù)量積計(jì)算公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.9.橢圓c：的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)p在c上且直線斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為，則，于是，故.故選b.【考點(diǎn)定位】直線與橢圓的位置關(guān)系10.在正方體中，e是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則直線與直線ab所成角的正弦值的最小值是a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】以d為原點(diǎn)，d

8、a為x軸，dc為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求出直線與直線ab所成角的正弦值的最小值【詳解】解：以d為原點(diǎn)，da為x軸，dc為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為1，設(shè)0，1，1，0，1，1，1，設(shè)平面的法向量y，則，取，得，平面，解得，設(shè)直線與直線ab所成角為，1，直線與直線ab所成角的正弦值的最小值是故選b【點(diǎn)睛】本題考查線線角的正弦值的最小值的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，函數(shù)與方程思想，是中檔題11.定義在上連續(xù)函數(shù)滿足，且時(shí)，恒成立，則不等式的解集為( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析】令，易得函數(shù)為奇函數(shù)，求導(dǎo)后即可

9、得函數(shù)在上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化條件得，即可得解.【詳解】，令，則，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不等式可轉(zhuǎn)化為，即，解得.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了構(gòu)造新函數(shù)和推理能力，屬于中檔題.12.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式及三角恒等變換得，轉(zhuǎn)化條件得函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，且，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】，原方程在區(qū)間上有兩個(gè)根，即函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，如圖，數(shù)形結(jié)合可知，若要使函數(shù)與的圖象在由兩個(gè)交點(diǎn)

10、，且，則.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式和三角恒等變換的綜合應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.第ii卷（非選擇題90分）二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分)13.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量p(毫克/升)與時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系為pp0ekt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費(fèi)的時(shí)間為_小時(shí)【答案】10【解析】前5小時(shí)污染物消除了10%，此時(shí)污染物剩下90%，即t5時(shí)，p0.9p0，代入，得(ek)50.9，ek0.9，pp0ektp0t.當(dāng)污染物減少19%時(shí)，污染物剩下81%，此時(shí)p0.81p0

11、，代入得0.81t，解得t10，即需要花費(fèi)10小時(shí)14.已知變量滿足約束條件，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為 _【答案】【解析】作出可行域如圖所示： 設(shè)，由可行域易知又由得：，即，而，所以的最小值為，所以，故填點(diǎn)睛：本題將線性規(guī)劃問(wèn)題與函數(shù)的最大值問(wèn)題相結(jié)合，突出了創(chuàng)新思路，首先要對(duì)參數(shù)分離，分離參數(shù)后求的最小值，這種處理變換式子的能力需要強(qiáng)化，然后換元為，結(jié)合可行域求出的取值范圍，從而求出最值15.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在邊上， 且將此正方形沿切割得到四個(gè)三角形，現(xiàn)用這四個(gè)三角形作為一個(gè)三棱錐的四個(gè)面，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為_【答案】【解析】分析：由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)，

12、然后利用體積相等求得內(nèi)切球半徑，最后求解內(nèi)切球的體積即可.詳解：如圖所示，在長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體中，三棱錐即為題中所給的四個(gè)面組成的三棱錐，該三棱錐的體積：，在ab1c，由勾股定理易得：，由余弦定理可得：，則，故，該三棱錐的表面積為：，設(shè)三棱錐外接球半徑為,則：，即：，該三棱錐的體積：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.16.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別

13、為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，則的面積為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，可得，根據(jù)雙曲線的定義求得的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義，有，即，.則，所以，故面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.解答直線與圓錐曲線位置關(guān)系題目時(shí)，首先根據(jù)題意畫出曲線的圖像，然后結(jié)合圓錐曲線的定義和題目所給已知條件來(lái)求解.利用題目所給等腰直角三角形，結(jié)合定義可求得直角三角形的邊長(zhǎng)，由此求得面積.三、解答題(本大題共6小題，共70分.解

14、答應(yīng)寫需給出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)17.某城市的公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車輛發(fā)車間隔時(shí)間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間（分鐘）101112131415等侯人數(shù)（人）232526292831調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)的差，若差值的絕對(duì)值不超過(guò)1，則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.（1）若選取的是后面4組數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”

15、；（2）為了使等候的乘客不超過(guò)35人，試用（1）中方程估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少（精確到整數(shù)）分鐘？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，【答案】（1），是；（2）18分鐘.【解析】【分析】（1）由題意求出、，代入公式求得、即可求得線性回歸方程；根據(jù)“恰當(dāng)回歸方程”的概念直接判斷即可得解；（2）令，解出后，即可得解.【詳解】（1）由后面四組數(shù)據(jù)求得，.當(dāng)時(shí)，而；當(dāng)時(shí)，而.求出的線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”；（2）由，得，故間隔時(shí)間最多可設(shè)置為分鐘.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求解及應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力及對(duì)于新概念的理解，屬于中檔題.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和s

16、nn25n (nn+）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和tn .【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：，計(jì)算可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）求得，運(yùn)用錯(cuò)位相減法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和 .【詳解】（1）因?yàn)?，所?時(shí),也適合，所以 （2）因?yàn)椋?所以 兩式作差得： 化簡(jiǎn)得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法，屬于中檔題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；相減時(shí)

17、注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.19.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形abcd中，e、f分別是ab、bc邊的中點(diǎn)，將，分別沿de，df折起，使得a，c兩點(diǎn)重合于點(diǎn)m(1) 求證：；(2) 求三棱錐的體積【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）在正方形abcd中，有，在三棱錐中，可得，由線面垂直的判定可得面mef，則；（2）由e、f分別是ab、bc邊的中點(diǎn)，可得，求出三角形mef的面積，結(jié)合及棱錐體積公式求解【詳解】（1）證明：在正方形abcd中，在三棱錐中，有，且，面mef，則；（2）解：、f分別是邊長(zhǎng)為2的正方形abcd中ab、bc邊的中點(diǎn)，由

18、（1）知，【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查棱錐體積的求法，是中檔題20.設(shè)函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若函數(shù)的極大值點(diǎn)為，證明：.【答案】()答案見(jiàn)解析；()證明見(jiàn)解析.【解析】分析：（）的定義域?yàn)?，?jù)此分類討論可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（）由（）知，原問(wèn)題等價(jià)于證明.構(gòu)造函數(shù) ，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特征再次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.詳解：（）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得.所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，

19、所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（）由（）知且時(shí)，解得.，要證，即證，即證：.令 ，則 .令，易見(jiàn)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.而，所以在區(qū)間上存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即，且時(shí)，時(shí).故在上遞減，在上遞增. .又， .成立，即成立.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查

20、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用21.動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，設(shè).（）求點(diǎn)的軌跡的方程；（）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的最小值【答案】（）（）1【解析】【分析】（1）設(shè)q（x，y），則p（x，2y），代入x2=2y得出軌跡方程；（2）聯(lián)立直線ab方程與q的軌跡方程，得出a，b的坐標(biāo)關(guān)系，代入斜率公式化簡(jiǎn)|k1k2|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值【詳解】（）設(shè)點(diǎn)，則由得，因點(diǎn)在拋物線上， （）方法一：由已知，直線的斜率一定存在，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立得由韋達(dá)定理得 （1）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率看作拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，同理可得（2）當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)即且時(shí)， 所以的最小值為. 方法二：同上 故，所以的最小值為 方法三：設(shè)點(diǎn)，由直線過(guò)點(diǎn)交軌跡于兩點(diǎn)得： 化簡(jiǎn)整理得： ，令，則 【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線