歐拉公式的證明

1、歐拉公式的證明著名的歐拉公式e(i)=cos+isin是人 們公認(rèn)的優(yōu)美公式。原因是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實(shí)數(shù)域中幾乎沒(méi)有什么聯(lián)系， 而在復(fù)數(shù)域中卻發(fā)現(xiàn)了他們可以相互轉(zhuǎn)化，式聯(lián)系在一起。 特別是當(dāng) = 時(shí)，歐拉公式便寫(xiě)成了 e(i )+1=0, 色的五個(gè)數(shù) 0 ，1， i , e , 絕 妙,地聯(lián)系在一起并被一個(gè)非常簡(jiǎn)單的關(guān)系就這個(gè)等式將數(shù)中最富有特方法一：用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)形式證明，但這只是形式證明（嚴(yán)格的說(shuō)，在實(shí)函數(shù)域帶著 i 只是形式上的）再抄一遍：設(shè) z = x+iy這樣 ez = e(x+iy)=ex*e(iy),就是 ez/ex= e(iy)用牛頓冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式ex = 1+x+x2/2!+

2、x3/3!+.+xn/n!+.把 e(iy)展開(kāi)，就得到ez/ex = e(iy)=1+iy-y2/2!-iy3/3!+y4/4!+iy5/5!-y6/6!-.=(1-y2/2!+y4/4!-y6/6!+.)+i(y-y3/3!+y5/5!-.)由于 cosy = 1-y2/2!+y4/4!-y6/6!+.,siny = y-y3/3!+y5/5!-.所以 e(x+iy)=ex*e(iy)=ex*(cosy+isiny)即 e(iy) = (cosy+isiny)方法二：見(jiàn)復(fù)變函數(shù)第2 章，在整個(gè)負(fù)數(shù)域內(nèi)重新定義了sinz cosz而后根據(jù)關(guān)系推導(dǎo)出了歐拉公式。著個(gè)才是根基。由來(lái)緣于此。方法一

3、是不嚴(yán)格的。再 請(qǐng)看這2 個(gè)積分 sqrt(x2-1)dx=x*sqrt(x2-1)/2-ln(2*sqrt(x2-1)+2x)/2 sqrt(1-x2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x2)/2;上式左邊相當(dāng)于下式左邊乘以i于是上式右邊相當(dāng)于下式右邊乘以i然后化簡(jiǎn)就得到歐拉公式這個(gè)證明方法不太嚴(yán)密但很有啟發(fā)性歷史上先是有人用上述方法得到了對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的關(guān)系然后被歐拉看到了,才得到了歐拉公式設(shè)a t ?R, ?R+,a(it)?z 有 :a(it)= (cos +isin ) 1因共軛解適合方程,用 -i替換 i 有:a(-it)= (cos-isin ) 2由 1,2 得 =1, 點(diǎn) Pa(it) 在單位圓上 ,a(it) 可表達(dá)為 :a(it)=cos +isin 3設(shè) t=u( 對(duì) ), 3 微商有 :a(it)*(lna)*u'(-sin )*i=+icos 整 理a(it)*(lna)*u'(有 : )*i=(cos +isinu'( )=logae 4 )(cos 約去 a(it)/2+isin有: /2)4 取積分有 :T=(logae)* + 50時(shí),t=limt=帶 , 入3 有:a(i )=1 即 : =066代入 5有:T=(logae)* 77代入 3有:a(