線性代數(shù)模擬試題套

1、、判斷題：（正確：2,錯誤：x）（每小題2 分，共 10 分）1 若A, B為 n 階方陣，貝UA + B = A+|B|.（）（）2、可逆方陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A A必可逆.（）（）3、n元非齊次線性方程組 Ax=b 有解的充分必要條件R（A）= n（）（）4、A為正交矩陣的充分必要條件 AT=A .（）（）5、設(shè)A是n階方陣，且A=0,貝U矩陣A中必有一列向量是其余列向量的線性組合.（）二、填空題：（每空 2 分，共 20 分）1、A,B為 3 階方陣，如果|A|=3,|B|=2，那么|2AB卜_ .2、 行列式中元素aj的余子式和代數(shù)余子式Mj,Aij的關(guān)系是_.3、 在 5 階行列式中，項

2、a13a32a24a4ia55所帶的正負號是 _ .4、已知A =（2 0 1 ） B=5則AB =_._2J5_ 2、5、 若A =，貝UA” =_ .1-2 1丿廣 1 0 1 0-8、6、 設(shè)矩陣 0 1 -1 0 13 是 4 元非齊次線性方程組 Ax = b 的增廣矩陣,則Axb 的通衛(wèi) 0 0 12 丿解為_ .7、 R A B _ R A R B .8、若 A*是A的伴隨矩陣，貝 U AA*二_1 1 1 9、設(shè)A=0 12，則當 t_時，A 的行向量組線性無關(guān)衛(wèi)0 t510、方陣 A 的特征值為，方陣B二A2- 4A 3E，則 B 的特征值為_三、計算：（每小題 8 分，共 1

3、6 分）10421、已知 4 階行列式 D =1121，求2An十A21 A31+ 3A-21-221-16112、設(shè)矩陣 A 和 B 滿足 AB 十E =A1 2+ B，其中A = 0JXp- X2+ X3+ X4= 0四、（10 分）求齊次線性方程組X1X2一3-X4=0 的基礎(chǔ)解系和它的通解.3xj +x2+ 2x35x4= 02xj- 2X24X32X4二0五、(10 分)設(shè)三元非齊次線性方程組 Ax=b 的增廣矩陣為1做矩陣A3 5表示 2011 年工廠ai產(chǎn)礦石bj的數(shù)量( (i =1,2,3; j =1,2,3,4,5)；2 通過矩陣運算計算三個工廠在2011 年的生產(chǎn)總值.0

4、12 0，求矩陣 B.0b0扎_11扎k（1 九）20（1_入）（2+ 人）（1_人）（1 +二）2討論當取何值時，Ax 二 b 無解，有唯一解和有無窮多解，并在無窮多解時求出通解性相關(guān)，求一個最大無關(guān)組，并用它表示其余向量七、綜合計算：(本題 14 分)已知二次型f (Xj,x2, x3) =x；2x；2x；4X4x3(1)求二次型所對應(yīng)的矩陣 A，并寫出二次型的矩陣表示；(2)求 A 的特征值與全部特征向量；(3)求正交變換 X 二 PY 化二次型為標準形，并寫出標準形;(4)判斷該二次型的正定性。八、證明題：( (每小題 5 分，共 10 分)1、已知向量a1,a2,a3線性無關(guān)，證明=

5、 2a13a2,b a24a3,b 5a3a1線性無關(guān).2、某礦產(chǎn)公司所屬的三個采礦廠a1,a2,a3，在 2011 年所生產(chǎn)的四種礦石 匕2山3少4山5的數(shù)量(單位：噸)及各種礦石的單位價格(萬元 /噸)如下表:礦石產(chǎn)量1002030502080202070303060106050各礦石單價23654六、( (10 分)判斷向量組A : a1=3廣72、a?=2,a3 =4,a4 =-212-66_1J2丿、一1 1的線性相關(guān)性，如果線模擬試題二一、判斷題（正確的打V,不正確的打）（每小題 2 分，共 10 分）1、設(shè)A,B為n階方陣，則A B二 A|：|B ;（）2、可逆矩陣 A 總可以只

6、經(jīng)若干次初等行變換化為單位矩陣 E ；（）3、設(shè)矩陣 A 的秩為r，則 A 中所有 r-1 階子式必不是零；（）4、若x =i,x =2是非齊次線性方程組 Ax 二 b 的解，貝U也是該方程組的解.）5、n階對稱矩陣一定有n個線性無關(guān)的特征向量。二、 填空題（每小題 2 分，共 16 分）1、排列 7623451 的逆序數(shù)是_;其中Aj為元素aj的代數(shù)余子式;13、 設(shè) A、B 均為 5 階矩陣，A=,B=2，貝U BA=_ ;24、3(: 1 : ) 2(：遼：) )=5(:3:)，其中:-1= (2,5,1,3)T，:-:- 2 2 二(10,1,5,10)T3=(4,1,1,1)T，貝卩

7、：二_ ；示，且表示法唯一;方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為 _；7、設(shè)向量=（1,-2, -1）T， = -2, ,2T正交，則，二&設(shè) 3 階矩陣 A 的行列式|A|=8,已知 A 有 2 個特征值-1 和 4,則另一特征 值為 三、計算題（每小題 8 分，共 16 分）11T二1-4,B =1 0、112 1，求矩陣 AB 和 BA。1、設(shè)矩陣 A =2、設(shè)四階行列式D4二則Au 2A243A344A44二5、已知向量組 A:時，b 可由A線性表6、設(shè)齊次線性方程組 AX =0 的系數(shù)矩陣通過初等行變換化為_100-1103【-2，則此線性02、已知矩陣 A =-211，B =

8、3，c =6111丿00J求矩陣方程 AX 一 B =C。四、計算題(每小題 8 分，共 16 分)1 rk r2A1、已知向量組 a1=0,C2 k +2,僅3 k +2，J k1一2(1)k 取何值時，該向量組線性相關(guān)；(2)k 取何值時，該向量組線性無關(guān)， 說明理由。2、已知二次型f (x1, x2,x3) =2xf 5x25x；4Xjx2- 4x3- 8X2X3，方程組的通解。1(12 分)設(shè)矩陣 A =00求矩陣 A 的特征值和全部的特征向量；求可逆矩陣P，使得 PAP =一1(其中上是對角矩陣)，并寫出對角矩陣 上。(5 分)證明題設(shè)方陣 A 滿足A2 A - E= 0，證明：A可

9、逆并求它的逆矩陣。八、(5 分)應(yīng)用題假設(shè)我們已知下列涉及不同商店水果的價格，不同人員需要水果的數(shù)量以及不同城鎮(zhèn)不 同人員的數(shù)目的矩陣：設(shè)第一個矩陣為 A,第二個矩陣為 B,而第 三個矩陣為 Co(1) 求出一個矩陣，它能給出在每個商店每個人購買水果的費用是多少？(2) 求出一個矩陣，它能確定在每個城鎮(zhèn)每種水果的購買量是多少？模擬試題三、判斷題：(正確：2,錯誤：x)(每小題 2 分，共 10 分)1、A,B為 n 階方陣則AB = BA|()五、(1) 寫出此二次型對應(yīng)的矩陣 A；(2) 判斷該二次型是否正定二次型，說明理由。計算題(每小題 10 分，1、設(shè)矩陣 A=1-223-24-13-

10、1203共 20 分)06232-634求：(1)矩陣 A 秩;矩陣 A 的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。.2、求非齊次線性方程組(2)x1x2x3x4= 22+ x3+ x4= 1 所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和此2x4二 5六、七、2、設(shè) A 為m n（m n ）矩陣，則Ax二b有無窮多解3、向量組 Ai是向量組A的一部分，向量組 Ai線性無關(guān)，則向量組A一定線性相關(guān);（ ）4、設(shè)i,2是方陣A的特征值，貝U1 2也是方陣A的特征值。5、4 個 3 維向量一定線性相關(guān)。二、填空題：（每空 2 分，共 20 分）1 已知 A 為 3 階方陣，且 A= -2，貝U-2A=_2、 六階行列式

11、中某項ai5a2ia36a42a53a64帶有的符號為 _;3、設(shè) A 為n階方陣，滿足A3 4 5 A= E，則A：4、 設(shè), 2 是n元非齊次線性方程組Ax=的兩個解，且A的秩R（A） =n-1，則Ax二的 通解x x = =_;5、設(shè)非齊次線性方程組的增廣矩陣為02-11、1-300，貝Uk=_時方程組無解，0 0（1-k）k 1k2,當k=k=_時方程組有無窮解，此時該方程組對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中有_個向量。6、二次型f - -2x2 4xy-6y2-4z2 4xz的秩為_ ，正定性為_（請選正定、負定、不定之一）7、方陣A的特征值為，方陣 B 二 A2 2A - 3E，則B

12、的特征值為_ 三、 計算：（每小題 8 分，共 16 分）1 0-1231，試判斷 A 是否可逆。若可逆，求A，若不可逆，求 A 的伴隨矩陣5丿A*四、計算：（每小題 10 分，共 20 分）B1、已知 4 階行列式D二1-21 -121+“ c，求2An +A21+ A31十2他102111 12、已知A = 1 21 112xt -x2X3X4= 0-x1x2- 2x3- x4= 04Xt- 2x22x32x4= 02xi- 2x2+ 4X3+ 3x4= 0 x + y + z = 02、已知線性方程組-2x-3y-3z = 2有解，求a，并求全部解;2x + y十z = a二次型 f （

13、Xi,X2,X3）X；X：2XIX2（1） 求二次型所對應(yīng)的矩陣 A，并寫出二次型的矩陣表示（2） 求 A 的特征值與全部特征向量；（3） 求正交矩陣P，使PAP為對角形矩陣。（4） 求正交變換X二PY化二次型為標準形（5） 寫出標準形七、證明題：（每小題 5 分，共 10 分）1、設(shè)是非齊次線性方程組 Ax 二 b 的一個解，仆；，；是對應(yīng)的齊次線性方程組 Ax = 0 的一個基礎(chǔ)解系，證明：0,1,2,3線性無關(guān);2、某石油公司所屬的三個煉油廠a1,a2,a3，在 2010 年所生產(chǎn)的四種油品 血畑血的數(shù)量（單位：噸）及各種油品的單位價格（元 /噸）如下表:油品產(chǎn)量工廠52347315I

14、6213各油品單價100150130110（1）做矩陣A3 4表示 2010 年工廠ai產(chǎn)油品bj的數(shù)量（i =1,2,3; j =1,2,3,4）（2）計算三個工廠在 2010 年的生產(chǎn)總值。模擬試題四、判斷題：（正確：2，錯誤：X）（每小題 2 分，共 10 分）1、求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和它的通解六、綜合計算：（本題 14 分）1、設(shè)A,B均為n階方陣，則若A或B可逆，則AB必可逆.()2、 已知A,B是n階方陣，k 為整數(shù)，則( (AB)k=AkBk.()3、 已知向量組：1,：2,：3,：4的秩為 3，貝U1,：2,：3,：4中至少有三個向量線性無關(guān).( )4、 一個向量組的最大

15、無關(guān)組與這個向量組本身等價()5、 設(shè)1, 2是矩陣A的兩個不同的特征值，Pl,P2是對應(yīng)的特征向量，貝UPl與 P2正交.( )二、填空題：( (每空 2 分，共 20 分)1、4 階行列式det(aj)中含ai3,的帶正號的項為 _.2、A,B為 3 階方陣，如果A =2, B| = 3，那么3AB=_.3、 m 個 n 維向量構(gòu)成的向量組ai,a2/,am線性相關(guān)的充分必要條件是矩陣A二(細心,，am)的秩R(A)_于向量個數(shù)m.4、若 n 元非齊次線性方程組Am nx二b有解且R( A) = r，貝U當10、已知，=2 是 A 特征值，且 A 可逆，則三、計算：( (每小題 8 分，共

16、 16 分)時，方程組有無窮多5、行列式D二中元素 a21 =5的代數(shù)余子式 A21二6、已知A =-13 ,則 A7、已知 4 階行列式D二11111-11111-11111-1，則A21A22A23A24的值為，其中 Aij為D 的第 i 行第 j 列元素的代數(shù)余子式8、矩陣 A -02-14-1對應(yīng)的二次型是39、矩陣 A -3-113-4520的列向量組的秩為一21 0 0、1 10 0、1、已知矩陣 A =0 0 1，B =0 2 00 0 3；，求(1) A2;(2) A20122BT2、設(shè)矩陣 A 和 B 滿足關(guān)系式AB+ E=A2+B，其中 q 5)求矩陣 B.X + x2+

17、x3+ 4x4+ 3x5= 0四、（10 分）求齊次線性方程組廣-+3 冷-2&7=0 的一個基礎(chǔ)解系和它的通解2x, + x2+ 3x3+ 5x4+ 5x5= 03x, + x2+ 5x3+ 6x4+ 7x5= 0向量組中的一個最大線性無關(guān)組，并用它表示其余的向量.六、 (10 分)設(shè)非齊次線性方程組 AX=b 的增廣矩陣為1 0 2-11 0 1-300B=,0 0 01 k1 k衛(wèi)00(1 k)k 1k2討論它的解的情況，何時無解，何時有無窮多個解，并說明理由；有無窮多個解時求出 該方程組的通解.七、 (本題 14 分)設(shè)二次型T222f(X1,x2,x3) = X AX = Xj+ x2+ 6x3+ 4xjx2+ 6x4x3+ 6X2X3，(1) 求二次型的矩陣A;(2) 求矩陣 A 的特征值及全部特征向量；(3) 判斷矩陣 A 是否可以對角化；(4) 判斷它是否為正定二次型.八、綜合題：( (每小題 5 分，共 10 分)1、證明題：設(shè)b=a2,b2=a2 a3, ba3a4,b4=a4a1,證明