【KS5U解析】廣東省江門市2020屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合a1，2，b2，3，pab，則p的子集共有（ ）a. 2個(gè)b. 4個(gè)c. 6個(gè)d. 8個(gè)【答案】a【解析】【分析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可求出p2，然后即可得出p的子集的個(gè)數(shù).【詳解】a1,2,b2,3，pab2，p的子集共有212個(gè).故選：a【點(diǎn)睛】本題考查了列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.i是虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示i（1+2i）的點(diǎn)位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】【分析】直接由已知求

2、得對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，得到其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案.【詳解】因?yàn)閕（1+2i）=-2+i其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-2,1）故在第二象限；故選：b【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3.學(xué)校有3個(gè)文藝類興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，他們參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)文藝類興趣小組的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】基本事件總數(shù)n3×39.這兩位同學(xué)參加同一個(gè)文藝類興趣小組包含的基本事件個(gè)數(shù)m3，由此能求出這兩位同學(xué)參加同一個(gè)文藝類興趣小組的概率.【詳解】學(xué)校有3個(gè)文藝類興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中

3、一個(gè)小組，他們參加各個(gè)小組的可能性相同，基本事件總數(shù)n3×39.這兩位同學(xué)參加同一個(gè)文藝類興趣小組包含的基本事件個(gè)數(shù)m3，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)文藝類興趣小組的概率p.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4.數(shù)列an中，a12，a23，nn+，an+2an+1an，則a2020（ ）a. 1b. 5c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求出其是以6為周期交替出現(xiàn)的數(shù)列，進(jìn)而表示結(jié)論，并求得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an中，a12，a23，nn+，an+2an+1-an，a3a2-a11；a4a3-a2-2；a5a4-a

4、3-3；a6a5-a4-1；a7a6-a52a1；a8a7-a63a2；數(shù)列an是周期為6的數(shù)列；20206×336+4；a2020a4-2；故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵在于求出周期為6，屬于簡(jiǎn)單題.5.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸出的y的值是1，則輸入的x的值是（ ）a. b. 2c. 或2d. 以上都不是【答案】c【解析】【分析】根據(jù)結(jié)果，倒著推，進(jìn)行判斷.【詳解】若x1，則3x-11，解之得x；若x1，則x2-4x+51，解之得x2；故選：c【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖、分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.若點(diǎn)在直線上，則的值等于（ ）a. b. c.

5、 d. 【答案】b【解析】點(diǎn)在直線上，故選b.7.已知aln3，bsin3，則（ ）a. abcb. cabc. cbad. bca【答案】d【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】aln3lne=1，bsin3sin，1，bca.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.abca1b1c1是正三棱柱，若ab1，ab1bc1，則aa1（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由題意畫出圖形，取ab的中點(diǎn)o，連接oc，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ab所在直線為x軸，以oc所在直線為y軸建立空間直

6、角坐標(biāo)系，設(shè)aa1a，再由列式求解a值，則答案可求.【詳解】如圖，取ab的中點(diǎn)o，連接oc，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ab所在直線為x軸，以oc所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)aa1a，則a（,0,0）,b1（,0,a）,b（,0,0）,c1（0,a）,則.由ab1bc1，得，即a.aa1. 故選：b【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的距離的求法，訓(xùn)練了向量垂直與數(shù)量積關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.9.經(jīng)過拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線相交于a、b兩點(diǎn)，若|ab|1，則p（ ）a. 1b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意可得直線ab的方程為：yx，與拋物線方程聯(lián)立，

7、利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的定義可得4p1，從而求出p的值.【詳解】由題意可知，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（,0），直線ab的方程為：yx，聯(lián)立方程.消去y得：，xa+xb3p，由拋物線的定義可知：|ab|xa+xb+p，4p1，p，故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.10.給出下列結(jié)論：（1）某學(xué)校從編號(hào)依次為，的個(gè)學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本中有兩個(gè)相鄰的編號(hào)分別為，則樣本中最大的編號(hào)為（2）甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)為、，那么這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲（3）若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于（4）對(duì)、三種個(gè)體按的比例進(jìn)行分層

8、抽樣調(diào)查，若抽取的種個(gè)體有個(gè)，則樣本容量為則正確的個(gè)數(shù)是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】運(yùn)用抽樣、方差、線性相關(guān)等知識(shí)來判定結(jié)論是否正確【詳解】（1）中相鄰的兩個(gè)編號(hào)為053，098，則樣本組距樣本容量為則對(duì)應(yīng)號(hào)碼數(shù)為當(dāng)時(shí)，最大編號(hào)為，不是，故（1）錯(cuò)誤（2）甲組數(shù)據(jù)方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5、6、9、10、5，則乙組數(shù)據(jù)的方差為那么這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故（2）錯(cuò)誤（3）若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故錯(cuò)誤（4）按3:1:2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的a種個(gè)體有15個(gè)，則樣本容量為，故正確綜上，故正確的個(gè)數(shù)為1故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了

9、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣、線性相關(guān)、方差相關(guān)知識(shí)，熟練運(yùn)用各知識(shí)來進(jìn)行判定，較為基礎(chǔ)11.直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線的左焦點(diǎn)為f，a（1，4），p是右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|pf|+|pa|的最小值是（ ）a. 8b. 9c. 10d. 12【答案】b【解析】【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為g，由雙曲線方程求得f與g的坐標(biāo)，再由雙曲線的定義可得|pf|+|pa|2a+|pg|+|pa|，利用|pg|+|pa|ag|求出最小值.【詳解】由題意得a2，b，c4，則f（-4,0），設(shè)右焦點(diǎn)g（4,0）.由雙曲線的定義可知位于右支的點(diǎn)p有|pf|pg|4，|pf|+|pa|4+|pg|+|pa|4+|ag|44+59.故

10、選：b【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，把|pf|+|pa|化為2a+|pg|+|pa|是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，若.且，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合可得，然后利用基本不等式即可求出答案【詳解】的圖象如下：因?yàn)?且所以且所以，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了基本不等式的運(yùn)用，用到了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13.an是等比數(shù)列，若a12，a21，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn_.【答案】

11、【解析】【分析】由等比數(shù)列定義可求得公比，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算得答案.【詳解】由等比數(shù)列的前兩項(xiàng)可求得公比，再代入前n項(xiàng)和公式可求出結(jié)果.an是等比數(shù)列，若a12，a21，公比q.又.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量的求法與前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.14.abcd是邊長(zhǎng)為1的正方形，e、f分別是bc、cd的中點(diǎn)，則_.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，再求的值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；則a（0,0）,b（1,0）,c（1,1）,d（0,1）；因?yàn)閑、f分別是bc、cd的中點(diǎn)，則e（1,）,f（,1）；所以（1,）,（,1）；故1

12、11.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示及數(shù)量積計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)x，y滿足則z2x+y的取值范圍是_.（用區(qū)間表示）【答案】【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域；作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線；結(jié)合圖象知當(dāng)直線過a時(shí)，z最小，從而得出目標(biāo)函數(shù)z2x+y的取值范圍.【詳解】畫x，y滿足表示的平面區(qū)域，如圖：將目標(biāo)函數(shù)變形為，則z表示直線在y軸上截距，截距越大，z越大作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線l：y2x由可得a（1，0）直線z2x+y過a時(shí)，直線的縱截距最小，z最小，z的最小值為：2.直線2x+zy與圓相切于b時(shí)，z取得最大值：，解得z±5，則目標(biāo)函數(shù)z2x+y的取

13、值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域、考查數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值，屬于中檔題.16.函數(shù)的最大值為m，最小值為m，則m+m_.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，求出f（-x）的表達(dá)式，分析可得f（x）+f（-x）2，即可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱，據(jù)此分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，1，則f（-x）1，則有f（x）+f（-x）2，即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱，若函數(shù)f（x）的最大值為m，最小值為m，必有m+m2；故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)的最值，屬于中檔題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

14、.17.某貧困地區(qū)共有1500戶居民，其中平原地區(qū)1050戶，山區(qū)450戶.為調(diào)查該地區(qū)2017年家庭收入情況，從而更好地實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”，采用分層抽樣的方法，收集了150戶家庭2017年年收入的樣本數(shù)據(jù)（單位：萬元）.（1）應(yīng)收集多少戶山區(qū)家庭樣本數(shù)據(jù)？（2）根據(jù)這150個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到2017年家庭收入的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（0，0.5，（0.5，1，（1，1.5，（1.5，2，（2，2.5，（2.5，3.如果將頻率視為概率，估計(jì)該地區(qū)2017年家庭收入超過1.5萬元的概率；（3）樣本數(shù)據(jù)中，有5戶山區(qū)家庭的年收入超過2萬元，請(qǐng)完成2017年家庭收入與地區(qū)的列

15、聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該地區(qū)2017年家庭年收入與地區(qū)有關(guān)”？超過2萬元不超過2萬元總計(jì)平原地區(qū)山區(qū)5總計(jì)附：p（k2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828【答案】（1）45戶（2）0.45（3）填表見解析；有90%的把握認(rèn)為“該地區(qū)2017年家庭年收入與地區(qū)有關(guān)”.【解析】【分析】（1）由已知可得每戶居民被抽取的概率為0.1，然后求解應(yīng)收集戶山區(qū)家庭的戶數(shù).（2）由直方圖直接求解該地區(qū)2017年家庭年收入超過1.5萬元的概率.（3）樣本數(shù)據(jù)中，年收入超過2萬元的戶數(shù)為（0.300+0.100）×0.5×1

16、5030戶.而樣本數(shù)據(jù)中，有5戶山區(qū)家庭的年收入超過2萬元，完成列聯(lián)表，求出k2，即可判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該地區(qū)2017年家庭年收入與地區(qū)有關(guān)”.【詳解】（1）由已知可得每戶居民被抽取的概率為0.1，故應(yīng)收集手機(jī)450×0.145戶山區(qū)家庭的樣本數(shù)據(jù).（2）由直方圖可知該地區(qū)2017年家庭年收入超過1.5萬元的概率約為（0.500+0.300+0.100）×0.50.45.（3）樣本數(shù)據(jù)中，年收入超過2萬元的戶數(shù)為（0.300+0.100）×0.5×15030戶.而樣本數(shù)據(jù)中，有5戶山區(qū)家庭的年收入超過2萬元，故列聯(lián)表如下：超過2萬元不超過2萬元

17、總計(jì)平原地區(qū)2580105山區(qū)54045總計(jì)30120150所以，有90%的把握認(rèn)為“該地區(qū)2017年家庭年收入與地區(qū)有關(guān)”.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問題，屬于簡(jiǎn)單題.18.abc的角a、b、c的對(duì)邊為a、b、c，已知a、b、c成等差數(shù)列，.（1）若a1，求c；（2）若abc的周長(zhǎng)為18，求abc的面積s.【答案】（1）c2（2）【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理可求；（2）結(jié)合已知a，b，c的關(guān)系及余弦定理可求c，然后結(jié)合同角平方關(guān)系及三角形的面積公式可求；【詳解】（1）依題意，由余弦定理得，即c2-c-20，解得c2或c-1，舍去負(fù)值得，c2，（

18、2）依題意，a+c2b，a+b+c18，所以b6，a12-c，由余弦定理得，解得c8，由且0a得，abc的面積，【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，同角基本關(guān)系及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.19.如圖，四棱錐oabcd的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，oa2，abc60°，oa平面abcd，m、n分別是oa、bc的中點(diǎn).（1）求證：直線mn平面ocd；（2）求點(diǎn)m到平面ocd的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取od的中點(diǎn)p，連接pc、pm，由三角形的中位線定理可得pmnc是平行四邊形，得mnpc，再由直線與平面平行的判定可得直線mn平面ocd；（2）

19、連接on、nd，設(shè)點(diǎn)m到平面ocd的距離為d，可得點(diǎn)n到平面ocd的距離為d，然后利用等體積法求點(diǎn)m到平面ocd的距離.【詳解】（1）證明：取od的中點(diǎn)p，連接pc、pm，m、n分別是oa、bc的中點(diǎn)，pmad，且，ncad，且，pmnc，且pmnc，則pmnc是平行四邊形，得mnpc，pc平面ocd，mn平面ocd，直線mn平面ocd；（2）解：連接on、nd，設(shè)點(diǎn)m到平面ocd的距離為d，由（1）得，點(diǎn)n到平面ocd的距離為d，設(shè)三棱錐ocdn的體積為v，則，依題意，acadcd1，則.由，得點(diǎn)m到平面ocd的距離.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利

20、用等體積法求多面體的體積，屬于中檔題.20.直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓（ab0）的短軸長(zhǎng)為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）斜率為1且經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于p1、p2兩點(diǎn)，p是橢圓上任意一點(diǎn)，若（，r），證明：2+2為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用已知條件解得，得到橢圓的方程.（2）直線p1p2的方程為yx2，由得，2x26x+30，設(shè)p1（x1，y1）、p2（x2，y2）、p（x0，y0），結(jié)合韋達(dá)定理，以及向量關(guān)系，通過p、p1、p2都在橢圓上，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】（1）依題意，解得，橢圓的方程為，（2）證明：，直線p1p2的方程為yx2，由得，

21、2x26x+30，設(shè)p1（x1，y1）、p2（x2，y2）、p（x0，y0），則x1+x23，由得x0x1+x2，y0y1+y2，因?yàn)閜、p1、p2都在橢圓上，所以，i0，1，2，62+62+3（1+2y1y2），所以，62+626，2+21是定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程、離心率以及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和考生的邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用解析幾何方法解決幾何問題的能力，屬于較難題.21.已知函數(shù)f（x）lnxex2，x0.（1）求函數(shù)yf（x）的圖象在點(diǎn)x2處的切線方程；（2）求證：f（x）0.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出，求出

22、切線斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程.（2）（方法一）作函數(shù)，求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，然后推出結(jié)果.（方法二）在定義域區(qū)間（0，+）單調(diào)遞減，求解函數(shù)的極大值，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】（1），f（2）ln21，所求切線方程為，即，（2）（方法一）作函數(shù)，（其他適宜函數(shù)如、也可），g（e）0；當(dāng)0xe時(shí)，g（x）0；當(dāng)xe時(shí)，g（x）0，所以g（x）g（e）0，即，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)xe時(shí)成立.作函數(shù)，h（1）0；當(dāng)0x1時(shí)，g（x）0；當(dāng)x1時(shí)，g（x）0，所以h（x）h（1）0，即，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)成立.因?yàn)閑1，綜上所述，x0，lnxex2，即f（x）0.（方法二）在定義域區(qū)間（0，+）單調(diào)遞減，所以，f（x）有唯一零點(diǎn)x0，且x0極大值點(diǎn)，由得，lnx02x0，代入得，因?yàn)?x02，所以，f（x）f（x0）0.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，構(gòu)造法的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于難題.請(qǐng)考生在第22、