同濟版高數(shù)教學(xué)設(shè)計完美版導(dǎo)數(shù)與微分

1、高等數(shù)學(xué)教案第1頁共 31 頁第二章導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的：1、 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程 和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性 之間的的關(guān)系。2、 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。3、 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、 會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 教學(xué)重點：1、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系；2、 導(dǎo)數(shù)的四則

2、運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；3、 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；4、 高階導(dǎo)數(shù)；6、 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 教學(xué)難點：1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。.1導(dǎo)數(shù)概念一、引例1直線運動的速度設(shè)一質(zhì)點在坐標(biāo)軸上作非勻速運動 .時刻t質(zhì)點的坐標(biāo)為s s是t的函數(shù)sh(t)-求動點在時刻t0的速度考慮比值s -$二f (t) - f (to) t % - t-to這個比值可認(rèn)為是動點在時間間隔t-to內(nèi)的平均速度如果時間間隔選較短這個比值在實高等數(shù)學(xué)教案踐中也可用來說明動點在時刻to的速度，但這樣做是不精確的.更確地應(yīng)當(dāng)這樣：令t

3、 _to_；0取比值 皿)一雄0)的極限.如果這個極限存在.設(shè)為v.即tto.f(t)f(to)v =li mjot -to這時就把這個極限值v稱為動點在時刻t0的速度2切線問題設(shè)有曲線C及C上的一點M.在點M外另取C上一點N .作割線MN .當(dāng)點N沿曲線C趨于點M時.如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT.直線MT就稱為曲線C有點M處的切線.設(shè)曲線C就是函數(shù)y=f(x)的圖形.現(xiàn)在要確定曲線在點M(xo, yo)(yo=f(xo)處的切線.只 要定出切線的斜率就行了，為此.在點M外另取C上一點N(x, y).于是割線MN的斜率為t a仁y-yo_f(x)-f(xo)_x-Xo _x_xo其

4、中：為割線MN的傾角，當(dāng)點N沿曲線C趨于點M時xXo,如果當(dāng)x o時.上式的極限 存在.設(shè)為k.即f (x) -f(xo)k = I i mx %x xo存在.則此極限k是割線斜率的極限.也就是切線的斜率.這里k=tan.其中是切線MT的 傾角于是.通過點M(Xo, f(xo)且以k為斜率的直線MT便是曲線C在點M處的切線二、導(dǎo)數(shù)的定義1函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)從上面所討論的兩個問題看出非勻速直線運動的速度和切線的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極限：f(x)-f(xo)I i m.xxox -Xo令x=x-xo.貝y =f(Xo ：x)-f(xo)rf(x) -f(xo) x“Xo相當(dāng)于：x o .于是

5、limf (x)一f (xo)xToX Xo成為limy或limf*旳一仏).高等數(shù)學(xué)教案.Xro-x Xo-X定義 設(shè)函數(shù)yh(x)在點Xo的某個鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)自變量X在Xo處取得增量厶x(點xo：=x仍在該鄰域內(nèi))時.相應(yīng)地函數(shù)y取得增量：y=f(xo：=x)-f(xo)如果厶y與厶x之比當(dāng)h o時的極限存在.則稱函數(shù)y斗(x)在點xo處可導(dǎo).并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)第 2 頁共 31 頁高等數(shù)學(xué)教案第4頁共 31 頁記為ylx%即3=嗚啊f(x0gdy或df(x)dxxXodxXzxo函數(shù)f(x)在點xo處可導(dǎo)有時也說成f(x)在點Xo具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在， 導(dǎo)數(shù)的

6、定義式也可取不同的形式.常見的有f (xor lim愀-5hdhHxox xo在實際中.需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問題.在數(shù)學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問題，導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述，如果極限limf(xo：x)f(xo)不存在就說函數(shù)y=f(x)在點X。處不可導(dǎo)oix也往往說函數(shù)y=f(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)為無窮大，如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點處都可導(dǎo).就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).這時.對 于任一X I.都對應(yīng)著f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù).這個函數(shù)叫做導(dǎo)函數(shù)的定義式：f (x =x)f (x) f (x h)f (x)

7、y = I i mlimAT&hThf (Xo)與f (x)之間的關(guān)系：函數(shù)f(x)在點Xo處的導(dǎo)數(shù)f (x)就是導(dǎo)函數(shù)f(X)在點X=Xo處的函數(shù)值.即f (Xo) = f(X)X =Xo -也可記為yx止如果不可導(dǎo)的原因是由于lim.jof(Xo：x)-f(xo)原來函數(shù)yh(x)的導(dǎo)函數(shù).記作yf(x)dxdf(x)dx高等數(shù)學(xué)教案第5頁共 31 頁導(dǎo)函數(shù)f (x)簡稱導(dǎo)數(shù).而f (xo)是f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f (x)在Xo處的值 左右導(dǎo)數(shù)：所列極限存在.則定義f(x)在Xo的左導(dǎo)數(shù)f(Xoh) -f(Xo)h高等數(shù)學(xué)教案第6頁共 31 頁f(x)在x的右導(dǎo)數(shù):f.(xo) =

8、limf(X0h)-f(xo)h-Mh如果極限limf(Xoh)-f(Xo)存在.則稱此極限值為函數(shù)在xo的左導(dǎo)數(shù)h*h如果極限limf(Xohf(Xo)存在.則稱此極限值為函數(shù)在xo的右導(dǎo)數(shù)書h導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：口滄)=人=f=4x0)=A ,2.求導(dǎo)數(shù)舉例例1.求函數(shù)f(x)二C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)，解：f(x)=iimf(x h)f(x)=nm =0 . hT h M0 h即(C ) =0例2.求f(x) J的導(dǎo)數(shù)x1_1解：f (x)=limf (x h)_f(x) =|jm x h x=恤hlim112MPhI hMoh(x+h)xT(x+h)xx2例3，求f(x)= x的導(dǎo)數(shù)(x

9、)=limf(xh)f(x)=limx hxThI h一阿h(7x +h +低)阿例2.求函數(shù)f(x)=xn(n為正整數(shù))在x=a處的導(dǎo)數(shù)解:f (a) =limf(x)_f(a)-lim =lim (xn，axn?an)= nanx -a0 X -a把以上結(jié)果中的a換成x得f (x)二nxn_.即(xn).(C) . Q). (、x)1. (x山.xx22x更一般地.有(x *壬X亠.其中為常數(shù)高等數(shù)學(xué)教案第7頁共 31 頁例3.求函數(shù)f(x)二sin x的導(dǎo)數(shù)解：f (x)= limf(xh)-f(x)=恤sin (x h)-si nxhThhTh.h2 cos(x ) sin高等數(shù)學(xué)教案

10、第8頁共 31 頁例4.求函數(shù)f(x) = ax(a0 a =1)的導(dǎo)數(shù)f (x亠h) - f (x) i. ax h-ax解：f (x) =limlimhThhTh二axlima1令a1=taxlim- -h-oht_o|oga(1 t)=ax1=axlna .logae特別地有(ex)=ex,例5.求函數(shù)f(x)=logaX (a0 a =1)的導(dǎo)數(shù)解：f(x)Timf(x h)f(x)=limloga(x h)-logaXM0hhTh1x +h1 xh 1hx勺叫hloga(-r)h叫評ga(1h)h叫0ga(1h)h1 1戈logae二亦解:f (x) =limloga(x h)Tga

11、x=lim1loga(1h)hThhT hxx=xhim0loga(rHJx)K(sin x) os x .=lim cos(xh 02=cosxhsin用類似的方法.可求得(cos x ) -sin x .高等數(shù)學(xué)教案第9頁共 31 頁1 1匸logae二亦特殊地(lx) =1.x(logax)1(ln x)二1xln a x3單側(cè)導(dǎo)數(shù)極限limf(x h)f(x)存在的充分必要條件是hTh(logax)= 1xln a高等數(shù)學(xué)教案第10頁共 31 頁limf(x h)-f(x)及l(fā)imf(x h)-f(x)h 0 -hh曠h都存在且相等，f(x)在x0處的右導(dǎo)數(shù):f(x0)limf (x

12、h)-f (x)hT十h導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：函數(shù)f(x)在點Xo處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f Hxo)和右導(dǎo)數(shù)f，4xo)都存在且相等如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo).且右導(dǎo)數(shù)f乂a)和左導(dǎo)數(shù)fr_(b)都存在.就說f(x)有 閉區(qū)間a, b上可導(dǎo).例6.求函數(shù)f(x) = x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)解:f0)=limf(0 h)f(0)=iim Ih|=_i .h-hhT-hf 1(02 limf(0h)f(0)“im叫.hT+h因為f )0)= f (0).所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yfx)在點X。處的導(dǎo)數(shù)f(X。)在幾何上表示曲線 尸f(

13、x)在點M(x0, f(x。)處的切線的斜 率.即f (x0)Han ot .其中：是切線的傾角如果yfx)在點x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.這時曲線y=f(x)的割線以垂直于x軸的直線 為極限位置.即曲線y=f(x)在點M%, f(x)處具有垂直于x軸的切線x=x.：由直線的點斜式方程.可知曲線yh(x)在點M(X0, y。)處的切線方程為y-yo# (X0)(x-X0),過切點M(xo, yo)且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點M處的法線如果f (xo) P.法線的斜率為1從而法線方程為f (Xo)f(x)在xo處的左導(dǎo)數(shù)f (x h) - f(x)h高等數(shù)學(xué)教案第11頁共 31 頁yyo

14、f (Xo)(x-Xo) 例8.求等邊雙曲線y J在點(1, 2)處的切線的斜率.并寫出在該點處的切線方程和法x2高等數(shù)學(xué)教案第12頁共 31 頁Xki所求切線方程為y-2 -/(x.即4x y4=0所求法線方程為y_2=1(x-號.即2x_8y 15=0例9求曲線y =x .x的通過點(0 .-4)的切線方程解 設(shè)切點的橫坐標(biāo)為X。.則切線的斜率為3313I-f(x0)=(X2)X2Jx0 ,2XN2于是所求切線的方程可設(shè)為y -x0 . x0弓x0(x一冷)，根據(jù)題目要求.點(0.-4)在切線上.因此-4 % .x0 x0(0 x0)解之得.于是所求切線的方程為y -4 4 =3、4(x

15、-4).即3x-y-4 =0四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)y=f(x)在點X0處可導(dǎo).即f (x0)存在則.叭y二啊叫號卯0 x(x0)=這就是說.函數(shù)yfx)在點X0處是連續(xù)的.所以.如果函數(shù)y=f(x)在點X處可導(dǎo).則函數(shù)在該 點必連續(xù)另一方面.一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點處可導(dǎo)例7.函數(shù)f(x)=3，x在區(qū)間)內(nèi)連續(xù).但在點x=0處不可導(dǎo)，這是因為函數(shù)在點線方程解：所求切線及法線的斜率分別為ki =(高等數(shù)學(xué)教案第13頁共 31 頁x =0處導(dǎo)數(shù)為無窮大高等數(shù)學(xué)教案第14頁共 31 頁hiomf(f啊寄=2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=u(

16、x)及vw(x)在點x具有導(dǎo)數(shù).那么它們的和、差、積、 為零的點外)都在點x具有導(dǎo)數(shù).并且u(x) (x) =u(x) _v(x)u(x) v(x)p =u (x)v(x) - u(x)v (x)U(x) _u (x)v(x) u(x)v(x)_v(x) v2(x)=恤；u(x+h)-u(x)(x+h)T(x)=(x)v(x)h- h h法則（1）可簡單地表示為（u二v） =u】v ,u(x) v(x)flimu(x h)v(xhh)-u(x)v(x)1二lim u(x h)v(x h)-u(x)v(x h) u(x)v(x h) -u(x)v(x)hjh；u(x +h)-u(x)v(x +h

17、) -v(x)豈別hv(x+h)mx)h一=limh)_u(x)|im v(x h)亠u(x) lim坐h)_v(x)0hh )0h 0h=u (x)v(x) u(x)v (x).其中l(wèi)im v(x h) =v(x)是由于v (x)存在.故v(x)在點x連續(xù)法則(2)可簡單地表示為(uv) P v uv .u(x+h) u(x)(3) u(x) =limv(x h) v(x) =limu(x h)v(x) -u(x)v(x h) Jv(x) -hmohIv(x+h)v(x)h（除分母證明(1)u(x)二v(x) JlimhTu(x h) _v(x h) _u(x) _v(x)h高等數(shù)學(xué)教案第1

18、5頁共 31 頁u(x h) _u(x)v(x) _u(x)v(x h) _v(x) v(x+h)v(x)hu(x hKJxiugMx h)v(x)v(x h)v(x)_u (x)v(x) -u(x)v (x)=v(x法則(3)可簡單地表示為/U u v-uv(v)二v2(udv)Wdvl (uv)Nv+uvl(u)Jv嚴(yán),vv2定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形，例如.設(shè)u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可導(dǎo).則有(u vw) =u V -w ,(uvw) =(uv)w =(uv) w (uv)w=(u v uv )w uvw=u vw uv w uvw即(

19、uvw) =u vw uv w uvw ,在法則中.如果v =C(C為常數(shù)).則有(Cu)：=Cu .例1.y=2x -5x 3x-7.求y解：y =(2x3-5X23x-7) = (2x3f - 5x2) 3x) - 7) = 2 (x3) - 5 x2) 3 x)2 2=2 3x2-5 2x 3x -10 x 3例2 .f(x) =x34cosx-sin2求f (x)及f()，f ()=3二2424例3.y壬乂n x cos x).求y .(x) =(x3) - (4 cos x)(sin)=3x2-4sin x高等數(shù)學(xué)教案第16頁共 31 頁解y =ex) (sin x cos x) e

20、x(sin x cos x) =ex(sin x cos x) ex(cos x -sin x) =2excos x .例4.y=an x求y .解：y =(tanx) -( sin一(sin x)cosx sin x(cosx)cosxcos2x高等數(shù)學(xué)教案第17頁共 31 頁.cos2x sin2x _1cos2xcos2x(tan x) =seCx ,例5.y=secx.求y .解：y =(secx) =(1)=(1)cosx； (cosx)sec x tan x .cosxcos2xcos2x即(sec x) ： =secx tan x .用類似方法.還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公

21、式 ：2(cot x) =-csc x .(csc X)亠CSC x cot x .二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y)=0.那么它的反函數(shù)y=f1(x)在 對應(yīng)區(qū)間lx=x|x甘(y)yIy內(nèi)也可導(dǎo).并且簡要證明：由于X二f(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù)).所以x=f(y)的反函數(shù)y=f(X)存在 且f (X)在lx內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)任取x lx.給x以增量厶x(xOlx).由y二f(x)的單調(diào)性可知：y=f(X ：x)f(x)=0于是y _ 1嘆二x因為y=f tx)連續(xù).故I i m ：y =0 x_0從而=seC2x .Hf(y)或 2dx

22、 dxdy高等數(shù)學(xué)教案第18頁共 31 頁上述結(jié)論可簡單地說成：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例6.設(shè)x二sin為直接函數(shù).則y=arcsin x是它的反函數(shù).函數(shù)x二sin y在高等數(shù)學(xué)教案第19頁共 31 頁開區(qū)間(-亍，亍)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo).且(sin y) =cos y 0因此.由反函數(shù)的求導(dǎo)法則.在對應(yīng)區(qū)間I x=(-1 1)內(nèi)有類似地有 st乙例7.設(shè)x=tan y.y(_；,；)為直接函數(shù).則y=arctan x是它的反函數(shù)，函數(shù)x=tan y在區(qū)間(-二，二)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo).且2 22(tan y) =sec y=0因此.由反函數(shù)的求導(dǎo)法則.在對應(yīng)區(qū)間lx=(-：.；)內(nèi)有類似

23、地有：(arccotx)二.1 +x2例8設(shè)x=ay(a0.a溝)為直接函數(shù).則y=logax是它的反函數(shù)，函數(shù)x=ay在區(qū)間Iy=(q.；)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo).且(ay) =ayln a =0因此.由反函數(shù)的求導(dǎo)法則.在對應(yīng)區(qū)間Ix=(0 .；)內(nèi)有dogax)嚴(yán)玄丫爲(wèi)爲(wèi)到目前為止所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來了.那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntan x、ex3、的導(dǎo)數(shù)怎樣求？三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3如果u=g(x)在點x可導(dǎo).函數(shù)y=f(u)在點u=g(x)可導(dǎo).則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在點x可導(dǎo).且其導(dǎo)數(shù)為(a r c sc) n二1coy11 s i

24、 ny(a r c tx|h=1(tayi)1_二1s eEy 1 t aly二11 x2高等數(shù)學(xué)教案第20頁共 31 頁證明：當(dāng)u -g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時.y=f (x)也是常數(shù).此時導(dǎo)數(shù)為零.結(jié)論自然 成立當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時.厶u=0.此時有譽f (u) g (x)或dy二或dudx du dx高等數(shù)學(xué)教案第21頁共 31 頁：y _fg(x .X)fg(x) _fg(x .x)fg(x)g(xlx) g(x)xx_ g(xLX) g(x)x_ f (u LU)f (u)=ZUg(x:Mg(x)因此dyiim limf(u u)-f(u).|img(x x)

25、-g(x) = f (u)g (x). dx. x)o=x. u o_u. x o=x簡要證明：業(yè)=lim - = lim - = l i m - l i = f (u)g (x) dx .J0_x. xo_u _x.0. u .=x例9 y宅3.求dy.dx解 函數(shù)y =ex3可看作是由y=eu.u=x3復(fù)合而成的.因此 業(yè)型du旳3x2=3x2ex3例y=s.求dx .解函數(shù)y初占是由“sinuu=書復(fù)合而成的dy dy du2(1 x2) -(2x)22(1/)2xcosu2222cos2.dx du dx(1 x2)2(1 x2)21 x2對復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后.就不必再寫出中間變

26、量.解： 業(yè)=(lnsinx) (sinx)dxsi nx二1si nxcosx =cotx例12. yZ .求 齊1 2腫（TX2冋訓(xùn)（1-2小33蠱）2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個中間變量的情形.例如.設(shè)yh(u). u二(v). v= (x).dy二dy du二dy du dvdx du dx du dv dx例13.y=lncos(ex).求 業(yè)，dx高等數(shù)學(xué)教案第22頁共 31 頁解：字=ln cos(ex)1 cos(ex)dxcos(ex)=cos(ex)-sin(ex) (ex)F=-ext are .例14.y =esin丈求理,dx解：業(yè)金叫in丄)1cos丄(丄)dx

27、xxx1sin112excos-.x2x例15設(shè)x 0.證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式解因為X呈(eln x)呈e訕x.所以(xjuenx)丄e加x(i In x)丄e加xxaxF四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (C) .(2) (x3x.(3) (sin x) =cos x .(4) (cos x) =-sin x .2(5) (ta n x)=secx(6) (cot x) =-csc2x .(7) (sec x)毛ec xtan x .(8) (csc x) -csc x cot x .(9) (ax) VxIn a(10) (ex) F.(11)(logax)7a(12

28、)(ln x)寸高等數(shù)學(xué)教案第23頁共 31 頁(13)(arcsin x)二1-1x2高等數(shù)學(xué)教案解:因為arsh x =ln(x、1 x2).所以第 14 頁共 31 頁(15) (arctanx)121 +x2(16) (arccotx)2,1 +x22函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x) v=v(x)都可導(dǎo).則(1) (u _v).(2) (Cu) u .(u v) =u v uv .(UUVUVvv23反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)x甘(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y)=0.則它的反函數(shù)y=f(x)在lx=f(ly)內(nèi)也可導(dǎo).并 且4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y甘(x).而u=g(x)

29、且f(u)及g(x)都可導(dǎo).則復(fù)合函數(shù)y二fg(x)的導(dǎo)數(shù)為 學(xué)乎 或y(x)f(u)g (x).dx du dx例16.求雙曲正弦sh x的導(dǎo)數(shù).解：因為sh乂冷&3).所以(s hx) =2 (ex一e) =*(ex- e)=chx .即(sh x):=ch x .類似地.有(ch x):=sh x .例17.求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù)解：因為th x=響所以ch xf(xf或沿土dy高等數(shù)學(xué)教案解:因為arsh x =ln(x、1 x2).所以第 14 頁共 31 頁(th x)=ch2x；sh2x寧ch2xch2x例18.求反雙曲正弦arsh x的導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)教案(arsx)祜島2由ar

30、th x=】ln x可得(arth x)21 x1 -x2類似地可得(arch x)丄1一. (arth x)打.1-x2例19.y -sin nx sinnx (n為常數(shù)).求yl解：y =sin nx) sinnx + sin nx - (sinnx)nn _1=ncos nx sin x+sin nx n snx (sin x )nn -1n-J=ncos nx sin x+n sin x - cos x =n sin x - sin(n+1)x ,3高階導(dǎo)數(shù)一般地.函數(shù)yh(x)的導(dǎo)數(shù)yf (x)仍然是x的函數(shù).我們把yT (x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y(x)的二階導(dǎo)數(shù).記作yf (x)或啤

31、.dx2即y =y) f (x)f (x).豊嚴(yán)(乎).由arch x =ln(x亠.x21).可得(arch x)=1x2-1高等數(shù)學(xué)教案dx2dx dx相應(yīng)地把yfx)的導(dǎo)數(shù)f (x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)類似地二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù).，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作第 15 頁共 31 頁高等數(shù)學(xué)教案第28頁共 31 頁y yy(n)或d3y d4ydnyy y_或硬孫硬函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù).也常說成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo)， 如果函數(shù)f(x)在點x處具有n階 導(dǎo)數(shù).那么函數(shù)f(x)在點x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù).

32、二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù).y稱為一階導(dǎo)數(shù)yly.y.y(n)都稱為高階導(dǎo)數(shù).例1.y二ax b.求y .解:y T.y：y .例2.s=sin t.求s.解：s - cos t 5 - sin - t .例3證明：函數(shù)y=、2x-x2滿足關(guān)系式y(tǒng)3y1=0證明：因為y丄22x2:_2弋2x x2J2x _x1-x,2y一處宀-駕暑y _2xx2_ -2x x2_(1 _x)2 (2xx2)、(2x-x2)1_J(2x-x2卩y3所以y3yr=o例4.求函數(shù)解討於y一般地.可得(n) xy壬(ex)(n)十的n階導(dǎo)數(shù)xx ( 4) x毛.y毛.y e=ex.例5求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n解

33、：y=sin x .階導(dǎo)數(shù)*. ny =c o x =s i rx( 2)y =c o s(jr丄2)=sin0)的導(dǎo)數(shù)解法一：兩邊取對數(shù).得In y=sin xn x上式兩邊對x求導(dǎo).得y =cosxlnx sinx1.yx于是y =y(cosx In x亠sinx)x=xsinx(cosx Inxsinx).x解法二：這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求：sin x sin x In xy=x=ey =esinx|nx(sinx Inx)社xsinx(cosx lnx如).x例6 .求函數(shù)y=(xD(x-?的導(dǎo)數(shù)(x3)(xY)解：先在兩邊取對數(shù)(假定x4).得In y=丄|n(x1) I

34、n(x2)-1 n(x3)ln(x4).2上式兩邊對x求導(dǎo).得y J(丄丄一丄一丄).y 2 xT x -2 x3 x4于是y舟亡匕匕吒廠高等數(shù)學(xué)教案第36頁共 31 頁用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果注：嚴(yán)格來說-本題應(yīng)分x4 .x1 . 2x3三種情況討論.但結(jié)果都是一樣的當(dāng)x1時一(1二X)(2二x)y (3 x)(4 x)-當(dāng)2x3時.y二一(x二1)(x二2)高等數(shù)學(xué)教案第37頁共 31 頁設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程x=f(t)確定的，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由心參數(shù)方程所確定的函數(shù).在實際問題中.需要計算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但從參數(shù)方程中消去參數(shù)t有時會有困難，因此

35、.我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)X=(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)td=(x).且此反函數(shù)能與函數(shù)y，(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)yf).若x/：(t)和y(t)都可導(dǎo).則業(yè)_dy dt一業(yè)丄一) dx dt dx dt dx:(t) dtdy即 業(yè)二汕或半爭.dx (t) dx dx dt若x-(t)和y亠(t)都可導(dǎo).則業(yè)二也,dx甲(t)例7,求橢圓：x=acost在相應(yīng)于t =JL點處的切線方程畀=bsi nt4解：業(yè)嗨bcottdx (acost) -asi nta所求切線的斜率為bx ay ab =0 x =v,t例8拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為:ypygt2求拋射體

36、在時刻t的運動速度的大小和方向.yw2t -g t2解：先求速度的大小速度的水平分量與鉛直分量分別為x (t)=viy (t)=V2-gt .、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)切點的坐標(biāo)為yoxo=acosad42切線方程為高等數(shù)學(xué)教案第38頁共 31 頁所以拋射體在時刻t的運動速度的大小為v=、x(t)2y(t)2= w(V2-gt)2.再求速度的方向.設(shè)是切線的傾角.則軌道的切線方向為二V2-gt已知x= (t), y= (t).如何求二階導(dǎo)數(shù)y ?dy (t) dX也二a(dx)=_1(闔dtdx2dx dx dt ：(t) dx(t):(t)衛(wèi)(t)(t)1-2(t)(t)一“(t) t)

37、丄：(t)(t)=刑)例9計算由擺線的參數(shù)方程x=a(t-si nt)所確定y=a(1 Yost)的函數(shù)y甘(x)的二階導(dǎo)數(shù).解dy二y (t) _a(1cost) _ asintdx x(t) a(t -sint) a(1cost)二器 rcoe(“2n為整數(shù))賠 唸燈)吧(cot2慕iii=,-=-2sin2上a(1cost)a(1 -cost)22(t=2n二n為整數(shù)).三、相關(guān)變化率設(shè)x=x(t)及y二y(t)都是可導(dǎo)函數(shù).而變量x與y間存在某種關(guān)系.從而變化率dx與魚間dt dt也存在一定關(guān)系這兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題就是研究這兩個變化率之間的關(guān)系.以便從其中

38、一個變化率求出另一個變化率例10一氣球從離開觀察員500f處離地面鉛直上升.其速度為140m/mi n(分).當(dāng)氣球高 度為500m時.高等數(shù)學(xué)教案第39頁共 31 頁觀察員視線的仰角增加率是多少？解設(shè)氣球上升t(秒)后.其高度為h .觀察員視線的仰角為則高等數(shù)學(xué)教案第40頁共 31 頁其中：及h都是時間t的函數(shù)，上式兩邊對t求導(dǎo).得2一d:1 dhS一 藥=500 dt已知也=140 (米/秒),又當(dāng)h=500(米)時.tan ot=1 .sec ot=2 ,代入上式得dt所以知鈿屮弧度/秒八即觀察員視線的仰角增加率是每秒0,14弧度，.5函數(shù)的微分一、微分的定義引例函數(shù)增量的計算及增量的構(gòu)

39、成.一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響.其邊長由X0變到X0 x.問此薄片的面積改變了多少？設(shè)此正方形的邊長為x.面積為A.則A是x的函數(shù)：A=x2.金屬薄片的面積改變量為A=(X0：x)2_(x。)2=2X0：x ( ：x)2.幾何意義：2x。也x表示兩個長為X。寬為占x的長方形面積；(也x)2表示邊長為也x的正方形的 面積.數(shù)學(xué)意義：當(dāng)AXT0時，(Ax)2是比占x高階的無窮小即Qx)2=o(Ax廠2X0%是Ax的線性函 數(shù).是厶A的主要部分.可以近似地代替A定義設(shè)函數(shù)yh(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義X0及x . ：x在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量y斗(X0： =x) f(X0)可表示為=y=A x

40、o( =x).其中A是不依賴于x的常數(shù).那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0是可微的.而叫做函數(shù)y=f(x)在點X0相應(yīng)于自變量增量x的微分.記作dy .即dy =Ax函數(shù)可微的條件：函數(shù)f(x)在點X0可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點X0可導(dǎo).且當(dāng)函數(shù)f(x)在點X0可tan :-500高等數(shù)學(xué)教案第41頁共 31 頁微時.其微分一定是dy=f (xo). ：x .證明：設(shè)函數(shù)f(x)在點xo可微.則按定義有.嗎4xo( . ：x).上式兩邊除以.：X.得o(-x)：x于是.當(dāng)0時.由上式就得到因此.如果函數(shù)f(x)在點xo可微.則f(x)在點Xo也一定可導(dǎo).且A=f(Xo),反之.如果f(x

41、)在點Xo可導(dǎo).即存在.根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系.上式可寫成其中一；o(當(dāng)Ax；o).且A=f(Xo)是常數(shù)LX o(=x).由此又有 二y -f (xo)二x ：rx .因且f (Xo)不依賴于厶X.故上式相當(dāng)于.：y=A . x o( ：x).所以f(x)在點Xo也是可導(dǎo)的，簡要證明：一方面佝=A& +o(&)n夕=A+。(嚴(yán))二lim ?y=f (xo) =A .&AxAx別一方面=f (x ： = ：y = f (xo)LXX以微分dy近似代替函數(shù)增量冷的合理性當(dāng)f(Xo) =o時.有叭Jfh卽。佔：y=dy o(d y).結(jié)論：在f(Xo尸o的條件下以微分dy=f(Xo) X近似代替增

42、量 勺斗(Xo：x)-f(Xo)時其誤 差為o(dy).因此.在p：x|很小時.有近似等式y(tǒng) ： dy .二f (x) =高等數(shù)學(xué)教案第42頁共 31 頁函數(shù)y=f(x)在任意點x的微分.稱為函數(shù)的微分.記作dy或d f(x).即dy=f(x). .x .例女口d cos x=(cosx) x=-sin x -xdex=(ex).：x=eT ：x,例1求函數(shù)y=x2在x=1和x=3處的微分解 函數(shù)y=x2在x=1處的微分為2dy=(x)心：x=2 ：x函數(shù)y=x2在x=3處的微分為dy=(x2) |x=x=6-x ,例2求函數(shù)曲當(dāng)x=2 ,x q 02時的微分解：先求函數(shù)在任意點x的微分dy=

43、(x3) $=3X2AX,再求函數(shù)當(dāng)x=2 ,x=0. 02時的微分2 2dy|x2.x：0.02=3x |x壬,.*02=3 2 0.02=0.24自變量的微分：因為當(dāng)y=x時.dy=dx =(x) Jx=：x.所以通常把自變量x的增量Ux稱為自變量的微分.記 作dx.即dx x.于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=f (x)dx .從而有 女=f(x).dx這就是說.函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此.導(dǎo)數(shù)也叫做“微 商”.二、微分的幾何意義當(dāng)勺 是曲線y-f(x)上的點的縱坐標(biāo)的增量時.dy就是曲線的切線上點縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量當(dāng)|以|很小時.：y-dy|比|：x|

44、小得多，因此在點M的鄰近我們可以用切線段來近似代替曲線 段，三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則從函數(shù)的微分的表達(dá)式dy h (x)dx可以看出.要計算函數(shù)的微分.只要計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù).再乘以自變量的微分因此.可得如 果下的微分公式和微分運算法則1.基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公式：微分公式高等數(shù)學(xué)教案第43頁共 31 頁d (xd (sin x)=cos x d xd (cos x)=_sin x d xd (tan x)=sec x d x2d (cot x) - - esc x d xd (sec x)=sec x tan x d xd (esc x) - -esc x cot x d

45、x d (ax) -axIn a d x d (e)=exdx2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則 求導(dǎo)法則：(u_v)豈_v(Cu) Qu(u v) =u v uv(u)：uv;uv(v=0)vv2證明乘積的微分法則： 根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式.有d (uv) =( uv) dx .再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則.有(uv)F v uv .于是d(uv)-：(u v uv)dx二u vdx uv dx ,由于u dx=du v dx=dv .所以d(uv)=vdu udv(x-x(sin x):=cos x(cos x) =-sin x(ta n x) Wee2x2(cot x) -esc x(see x)

46、Wee x tan x(esc x) -esc x cot xxx(ay =aIn a(logax)丄1xln a1 d(IogaX)和(In x)=丄xd(ln x) =dxx(aresi nx)1_2# -x21d(arcsin x)dx(arccosx)12一x21d (arccosx)dx(arcta n x)d(arcta nx)=11 x2dxd(arccotx)11 x2dx微分法則d(u_v)=du士dvd(Cu)=Cdu d(u v)=vdu udvd(u)=vdu；udvdx(v=o)vv21=1 x2(arccot x)高等數(shù)學(xué)教案第44頁共 31 頁3.復(fù)合函數(shù)的微分法

47、則設(shè)y=f(u)及u=(x)都可導(dǎo).則復(fù)合函數(shù)y=f(x)的微分為dy=yxdx=f (u) (x)dx .于由(x)dx=du.所以.復(fù)合函數(shù)y=f(X)的微分公式也可以寫成dy =f (u)du或dy=yudu由此可見.無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù).微分形式dy=f (u)du保持不變.這一性質(zhì)稱為微分形式不變性，這性質(zhì)表示.當(dāng)變換自變量時.微分形式dy二f (u)du并不改變例3.ywin(2x 1).求dy .解：把2x 1看成中間變量u.則dy(sin u)=cos udu =cos(2x 1)d(2x 1)=cos(2x 1) 2dx=2cos(2x 1)dx在求復(fù)合函數(shù)

48、的導(dǎo)數(shù)時.可以不寫出中間變量，例4 ,y =|n(1 ex2).求dy .解dy =dln(1 ex2)jyd(1亠ex2)1 +exex2d(x2-ex22xdx -2xeJdx .1 ex1 ex1 ex例5.y=e1J3xcosx.求dy .解：應(yīng)用積的微分法則.得dyce1 3xcos x) =cos xd(e1x)e1 J3xd (cos x)(cos x)e1x( -3dx) e1x( -sin xdx)二-e1x(3cos x sin x)dx .例6.在括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立，(1) d( )=xdx(2) d( ) =cos t dt .解：(1)因為d(x2)xdx.所以乂4乂=&2円(詐2).即d(*x2)=xdx .一般地.有d(丄x2Q)二xdx (C為任意常數(shù)).2高等數(shù)學(xué)教案第45頁共 31 頁(2)因為d(sin t) - cos tdt.所以cos，tdt=丄d(sin厲)=4(丄sin，t).o因此d(=si n t C) =cos，tdt (C為任意常數(shù)).co四、微分在近似計算中的應(yīng)用1函數(shù)的近似計算在工程問題中.經(jīng)常會遇到一些復(fù)雜的計算公式.如果直接用這些公式進(jìn)行計算.那是很