幾何體的一種構(gòu)造單體

1、幾何體的一種構(gòu)造單純體金飛天津南開大學(xué)300071我們學(xué)習(xí)了幾何學(xué)，對幾何體有了一定的了解，當(dāng)我們知道三維空間中只有五種正多面體時，不 禁被它的神秘所吸引。 你是否有一種想進一步了解它的沖動呢？我們下面要研究的是一種特殊的幾何 體單純體。 單純體即每個面均為相同多邊形的多面體可以是凹多面體也可是凸多面體。我們將會證明，只有三角形、四邊形和五邊形才可能構(gòu)成單純體 ，并著重討論四邊形構(gòu)成單純體 的情況，包括完成菱形多面體的分類和討論一般四邊形構(gòu)成單純體的情況。對于箏形構(gòu)成單純凸多面體的分類，我們也已研究清楚，另文發(fā)表。菱形多面體為說明如何用菱形構(gòu)造單純體，我們先來了解它的一個特例一一正6面體即正方

2、體，它的每個面均是正方形，而正方形是一種特殊的菱形。如下列圖，容易知道連接正 6面體的一組“面對角線得到一個正4面體，因此正6面體可以這樣構(gòu)造出： 在正4面體的每一條棱上均添加一個相同的正方 形，使得正方形的對角線與正 4面體的棱重合。類似地，在正6面體或正8面體的棱上添加適當(dāng)?shù)牧庑慰傻玫搅庑?2面體，如下列圖所示:同樣地，在正12面體或正20面體的棱上添加適當(dāng)?shù)牧庑慰傻昧庑?0面體，如下列圖所示:將所得多面體列表如下:正多面體棱上添加所得多面體所得多面體 的頂點數(shù)所得多面體 的棱數(shù)所得多面體的面數(shù)正4面體正方形正6面體8126正6面體菱形菱形12面體142412正8面體菱形菱形12面體142

3、412正12面體菱形菱形30面體326030正20面體菱形菱形30面體326030由以上歸納，我們給出一類新的多面體的定義菱形多面體。 菱形多面體：即每個面均為相同菱形的凸多面體。以上的幾種菱形多面體人們早已發(fā)現(xiàn)，那么菱形多面體有多少種呢？前人并沒有論述。 下面，我們討論了關(guān)于菱形多面體的分類，得到如下定理。定理：菱形多面體僅有五種，它們是 菱形六面體、菱形十二面體、伴菱形十二面體、菱形二十面體 菱形三十面體。證明：以下分四種情況討論一假設(shè)每個頂點周圍僅有三個面菱形多面體的每個面均為四邊形，那么有4F=2E1每個頂點周圍有三個面，那么有3V=2E2歐拉公式VE+F=23由1、 2、3可得 V=

4、8、E=12、F=6 對應(yīng)的多面體為菱形 6面體。如下列圖：二假設(shè)有一頂點，其周圍有四個面那么這個頂點周圍的四個角的組合有以下幾種情況:1.這個頂點這周圍有四個銳角圖-1如圖-1，易知，A、B、C、D四點最多再接一個菱形，否那么該點周圍面角之和將不小于360度。(1) 假設(shè)A、B、C、D點都接菱形銳角，即/ EBF= / FCG= / GDH= / HAE均為銳角，由對稱性 可知 A、B、C、D 共面,且 BC / AD ,如圖-2 考察四邊形 ABCD , AB=BC=CD=AD=AC=BD , 易知，四邊形 ABCD不存在，所以這種情況不行。圖-2(2) 假設(shè)B點接銳角，C點接鈍角。即/

5、EBF為銳角，/ FCG為鈍角，由平行線所夾角的關(guān)系可得 / GDH= / EBF ,/ HAE= / FCG。考察如圖-3 多面體，PA=PB=PC=PD ,b 75 1AB=BC=CD=DA=AC ，設(shè)菱形的長對角線長為 2b,短對角線長為2a,易計算得，一=a 2在此條件下，我們通過作圖以及模型制作發(fā)現(xiàn)這種菱形拼成一個12面體，而且拼法唯一，我們稱之為伴菱形12面體。圖-3(3) 假設(shè)A、B、C、D點都接菱形鈍角，即/EBF= / FCG= / GDH= / HAE 均為鈍角。易計算得，該菱形的長短對角線長之比為.2，它拼成菱形12面體。2 這個頂點周圍有三個銳角和一個鈍角，如圖-4，/

6、 APD為鈍角。F圖-4(1) 假設(shè)A、B、C、D點都接菱形銳角，即/ EBF= / FCG= / GDH= / HAE均為銳角，由對稱 性可知 A、B、C、D四點共面，且BC / AD ,考察四邊形 ABCD , AB=BC=CD , BD=AC=AB , 易知，四邊形 ABCD不存在，所以此種情況不行。(2) 假設(shè)B、C點都接菱形鈍角，即/ EBF為銳角，/ FCG為鈍角，易知，/ GDH= / EBF ,/ HAE= / FCG , BD=FG=AD , EF=AC=AB=BC，考察圖-5 多面體，AD=BD , AC=BC ,貝y, VACD也VBCD ,/ ACD= / BCD,因此

7、，點D在平面ABC上的投影在/ ACB的 角平分線上，又因該多面體為凸多面體，因此點D在平面ABC上的投影在面 PBC的一側(cè)，易知此投影在直線 BC的左側(cè)，因此與點 D在平面ABC上的投影在/ ACB的角平分 線上矛盾。b 5 1a=2易知，此種情況該菱形拼成的多面體為伴菱形伴菱形12面體菱形20面體(3) 假設(shè)A、B、C、D點都接菱形鈍角，即/ EBF= / FCG= / GDH= / HAE均為鈍角，設(shè)菱形 長對角線長為2b，短對角線長為2a,考察梯形ABCD(如圖-6),AB=BC=CD=2a , AC=BD=AD=2b ,易知 ah= a b、hd= b a ,而|AC|2- |AH|

8、2=|CD|2- |HD|2 , 即(2b)2 (a b)2(2a)2 (b a)2如下列圖所示:三假設(shè)有一頂點，其周圍有五個面那么這頂點周圍的四個角的組合有以下幾種情況:1、這個頂點周圍有五個銳角圖-7如圖-7,頂點A周圍有五個銳角，假設(shè) B、C、F、J、E均再接銳角，易計算出菱形的長對角線長 小于短對角線長，矛盾。因此其中有一點周圍應(yīng)再接一個鈍角。不妨設(shè)點B周圍再接一個鈍角。假設(shè)點C周圍再接一個銳角，考慮D點，假設(shè)D點周圍不再接菱形了，即G、H兩點重合，易知DG/AEQH/AF.那么AE/AF,矛盾，因此D點周圍應(yīng)再接假設(shè)干個菱形銳角。假設(shè)D點周圍再接一個銳角，即存在一頂點D，其周圍有三個

9、銳角和一個鈍角，由情況一中情形2的討論可知，所得多面體應(yīng)是伴菱形 12面體或菱形20面體。易知它們都不滿足圖-7的結(jié)構(gòu)。對于D點周圍 再接更多的銳角的情況下面將給出否認(rèn)答復(fù)。因此B、C、F、J、E周圍應(yīng)均再接一個菱形鈍角。據(jù)此，易計算出菱形的長短對角線長之比為旦。此菱形拼成的多面體為菱形20面體或菱2形30面體。2、這個頂點周圍有四個銳角和一個鈍角圖-8如圖-8，A點周圍有四個銳角和一個鈍角 ，為了保證A點周圍面角之和小于 360度，那么菱形的銳 角應(yīng)小于60度，鈍角應(yīng)大于120度。故B、C兩點只能再接一個銳角。考慮 F點周圍已不能再 接菱形了，即 D、E兩點重合。易得 EF/AG,FD/AH

10、.那么AG/AH,矛盾。四假設(shè)有一頂點，其周圍有六個面或多于六個面只討論一頂點周圍有六個面的情況。其它情況類似討論。1、這個頂點周圍有六個銳角如圖-9，A點周圍有四個銳角和一個鈍角，為了保證A點周圍面角之和小于 360度，那么菱形的銳角應(yīng)小于60度，鈍角應(yīng)大于120度。貝U B、C、D、E、F、G均只能再接一個菱形銳角。易計算出 菱形的長對角線長小于短對角線長，矛盾。2、這個頂點周圍有五個銳角和一個鈍角如圖-10 , A點周圍有五個銳角和一個鈍角，易知B、C點周圍只能再接一個菱形銳角，考慮F點，F(xiàn)點周圍不能再接菱形，即D、E兩點重合，易知 DF/AG、EF/AH.那么AG/AH,矛盾。綜上所述

11、，單純菱形多面體僅有五種，即菱形6面體、菱形12面體、伴菱形12面體、菱形20面體、菱形30面體。般四邊形的單純體引理：簡單多面體的三角形面的個數(shù)與三面角的個數(shù)之和不小于 證明：設(shè)一簡單多面體有x個三角形面，y個三面角。i角形面的個數(shù)為Si，連接j條棱的頂點的個數(shù)為Tj ,其中i 4, j 4。貝U：3xi Sii 32E3x4(Fx)4Fx(1)3yj Tjj 32E3x4(Vx)4Vy(2)(1) + (2)得 4E 4F4V(x+y)xy8 ,命題得證。命題1：四邊長各不相等的凸四邊形不能構(gòu)成單純體。證明：假設(shè)這種單純體存在，我們考慮其任一頂點周圍面的排列情況，容易發(fā)現(xiàn)每個頂點周圍至少有

12、4個面。而該單純體的每個面均為四邊形。因此與引理矛盾。故四邊長各不相等的凸四邊形不 能構(gòu)成單純體。o容易發(fā)現(xiàn)這種單純體不存在。命題2：對邊長相等，鄰邊長不等的凸四邊形不能構(gòu)成單純體 證明：同樣，我們考慮其任一頂點周圍面的排列情況， 命題3：不存在由凸n n 6邊形構(gòu)成的單純體證明：設(shè)Ti為連接i條棱的頂點個數(shù)。顯然iT(i) V。每個面包含n條棱，因而有 歐拉公式V E2E(1)(2)2E i T(i)i 33V由1、 2得 3V3 Tii 33n-2 F+6>2n F =2E，(3)與3矛盾。由命題3的證明過程，我們?nèi)菀椎玫较旅婷}命題4： 一簡單多面體必有三角形、四邊形、五邊形中一種

13、形狀的面。F面給出，有三邊相等的梯形構(gòu)成單純凸多面體的一個結(jié)果，其中只討論了一種情形，另一種情形類似討論。命題5：有三邊相等的梯形不能構(gòu)成單純的凸多面體-11) (AB=BC=AD V CD)下面分兩種證明：假設(shè)這種梯形能構(gòu)成單純的凸多面體，考慮梯形如圖 情況討論一假設(shè)該單純體每個定點周圍只有三個面。那么有如下等式3V=4F4F=2EVE+F=2其中AAi、B1C1、CD為梯形長的底邊。 BC B1C1、C1D1/CD。那么平面ABCD平行于平 面 AiBiCiDi,而平面 ADD 1 A1 交平面 ABCD 和平面 AiBiCiDi 分別于 AD、AiDi。那么AD / A1D1 矛盾。因此這種梯形不能構(gòu)成單純六面體。二 假設(shè)該單純體存在一頂點，其周圍至少有四個面圖-13如圖-13, A點滿足假設(shè)。易分析得，每個頂點周圍只能是四個銳角、三個銳角和一個鈍角兩種情形，要不然B點周圍的