幾何體的一種構(gòu)造單體_第1頁(yè)
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幾何體的一種構(gòu)造單體_第3頁(yè)
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1、幾何體的一種構(gòu)造單純體金飛天津南開(kāi)大學(xué)300071我們學(xué)習(xí)了幾何學(xué),對(duì)幾何體有了一定的了解,當(dāng)我們知道三維空間中只有五種正多面體時(shí),不 禁被它的神秘所吸引。 你是否有一種想進(jìn)一步了解它的沖動(dòng)呢?我們下面要研究的是一種特殊的幾何 體單純體。 單純體即每個(gè)面均為相同多邊形的多面體可以是凹多面體也可是凸多面體。我們將會(huì)證明,只有三角形、四邊形和五邊形才可能構(gòu)成單純體 ,并著重討論四邊形構(gòu)成單純體 的情況,包括完成菱形多面體的分類(lèi)和討論一般四邊形構(gòu)成單純體的情況。對(duì)于箏形構(gòu)成單純凸多面體的分類(lèi),我們也已研究清楚,另文發(fā)表。菱形多面體為說(shuō)明如何用菱形構(gòu)造單純體,我們先來(lái)了解它的一個(gè)特例一一正6面體即正方

2、體,它的每個(gè)面均是正方形,而正方形是一種特殊的菱形。如下列圖,容易知道連接正 6面體的一組“面對(duì)角線得到一個(gè)正4面體,因此正6面體可以這樣構(gòu)造出: 在正4面體的每一條棱上均添加一個(gè)相同的正方 形,使得正方形的對(duì)角線與正 4面體的棱重合。類(lèi)似地,在正6面體或正8面體的棱上添加適當(dāng)?shù)牧庑慰傻玫搅庑?2面體,如下列圖所示:同樣地,在正12面體或正20面體的棱上添加適當(dāng)?shù)牧庑慰傻昧庑?0面體,如下列圖所示:將所得多面體列表如下:正多面體棱上添加所得多面體所得多面體 的頂點(diǎn)數(shù)所得多面體 的棱數(shù)所得多面體的面數(shù)正4面體正方形正6面體8126正6面體菱形菱形12面體142412正8面體菱形菱形12面體142

3、412正12面體菱形菱形30面體326030正20面體菱形菱形30面體326030由以上歸納,我們給出一類(lèi)新的多面體的定義菱形多面體。 菱形多面體:即每個(gè)面均為相同菱形的凸多面體。以上的幾種菱形多面體人們?cè)缫寻l(fā)現(xiàn),那么菱形多面體有多少種呢?前人并沒(méi)有論述。 下面,我們討論了關(guān)于菱形多面體的分類(lèi),得到如下定理。定理:菱形多面體僅有五種,它們是 菱形六面體、菱形十二面體、伴菱形十二面體、菱形二十面體 菱形三十面體。證明:以下分四種情況討論一假設(shè)每個(gè)頂點(diǎn)周?chē)鷥H有三個(gè)面菱形多面體的每個(gè)面均為四邊形,那么有4F=2E1每個(gè)頂點(diǎn)周?chē)腥齻€(gè)面,那么有3V=2E2歐拉公式VE+F=23由1、 2、3可得 V=

4、8、E=12、F=6 對(duì)應(yīng)的多面體為菱形 6面體。如下列圖:二假設(shè)有一頂點(diǎn),其周?chē)兴膫€(gè)面那么這個(gè)頂點(diǎn)周?chē)乃膫€(gè)角的組合有以下幾種情況:1.這個(gè)頂點(diǎn)這周?chē)兴膫€(gè)銳角圖-1如圖-1,易知,A、B、C、D四點(diǎn)最多再接一個(gè)菱形,否那么該點(diǎn)周?chē)娼侵蛯⒉恍∮?60度。(1) 假設(shè)A、B、C、D點(diǎn)都接菱形銳角,即/ EBF= / FCG= / GDH= / HAE均為銳角,由對(duì)稱(chēng)性 可知 A、B、C、D 共面,且 BC / AD ,如圖-2 考察四邊形 ABCD , AB=BC=CD=AD=AC=BD , 易知,四邊形 ABCD不存在,所以這種情況不行。圖-2(2) 假設(shè)B點(diǎn)接銳角,C點(diǎn)接鈍角。即/

5、EBF為銳角,/ FCG為鈍角,由平行線所夾角的關(guān)系可得 / GDH= / EBF ,/ HAE= / FCG。考察如圖-3 多面體,PA=PB=PC=PD ,b 75 1AB=BC=CD=DA=AC ,設(shè)菱形的長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為 2b,短對(duì)角線長(zhǎng)為2a,易計(jì)算得,一=a 2在此條件下,我們通過(guò)作圖以及模型制作發(fā)現(xiàn)這種菱形拼成一個(gè)12面體,而且拼法唯一,我們稱(chēng)之為伴菱形12面體。圖-3(3) 假設(shè)A、B、C、D點(diǎn)都接菱形鈍角,即/EBF= / FCG= / GDH= / HAE 均為鈍角。易計(jì)算得,該菱形的長(zhǎng)短對(duì)角線長(zhǎng)之比為.2,它拼成菱形12面體。2 這個(gè)頂點(diǎn)周?chē)腥齻€(gè)銳角和一個(gè)鈍角,如圖-4,/

6、 APD為鈍角。F圖-4(1) 假設(shè)A、B、C、D點(diǎn)都接菱形銳角,即/ EBF= / FCG= / GDH= / HAE均為銳角,由對(duì)稱(chēng) 性可知 A、B、C、D四點(diǎn)共面,且BC / AD ,考察四邊形 ABCD , AB=BC=CD , BD=AC=AB , 易知,四邊形 ABCD不存在,所以此種情況不行。(2) 假設(shè)B、C點(diǎn)都接菱形鈍角,即/ EBF為銳角,/ FCG為鈍角,易知,/ GDH= / EBF ,/ HAE= / FCG , BD=FG=AD , EF=AC=AB=BC,考察圖-5 多面體,AD=BD , AC=BC ,貝y, VACD也VBCD ,/ ACD= / BCD,因此

7、,點(diǎn)D在平面ABC上的投影在/ ACB的 角平分線上,又因該多面體為凸多面體,因此點(diǎn)D在平面ABC上的投影在面 PBC的一側(cè),易知此投影在直線 BC的左側(cè),因此與點(diǎn) D在平面ABC上的投影在/ ACB的角平分 線上矛盾。b 5 1a=2易知,此種情況該菱形拼成的多面體為伴菱形伴菱形12面體菱形20面體(3) 假設(shè)A、B、C、D點(diǎn)都接菱形鈍角,即/ EBF= / FCG= / GDH= / HAE均為鈍角,設(shè)菱形 長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為2b,短對(duì)角線長(zhǎng)為2a,考察梯形ABCD(如圖-6),AB=BC=CD=2a , AC=BD=AD=2b ,易知 ah= a b、hd= b a ,而|AC|2- |AH|

8、2=|CD|2- |HD|2 , 即(2b)2 (a b)2(2a)2 (b a)2如下列圖所示:三假設(shè)有一頂點(diǎn),其周?chē)形鍌€(gè)面那么這頂點(diǎn)周?chē)乃膫€(gè)角的組合有以下幾種情況:1、這個(gè)頂點(diǎn)周?chē)形鍌€(gè)銳角圖-7如圖-7,頂點(diǎn)A周?chē)形鍌€(gè)銳角,假設(shè) B、C、F、J、E均再接銳角,易計(jì)算出菱形的長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng) 小于短對(duì)角線長(zhǎng),矛盾。因此其中有一點(diǎn)周?chē)鷳?yīng)再接一個(gè)鈍角。不妨設(shè)點(diǎn)B周?chē)俳右粋€(gè)鈍角。假設(shè)點(diǎn)C周?chē)俳右粋€(gè)銳角,考慮D點(diǎn),假設(shè)D點(diǎn)周?chē)辉俳恿庑瘟?,即G、H兩點(diǎn)重合,易知DG/AEQH/AF.那么AE/AF,矛盾,因此D點(diǎn)周?chē)鷳?yīng)再接假設(shè)干個(gè)菱形銳角。假設(shè)D點(diǎn)周?chē)俳右粋€(gè)銳角,即存在一頂點(diǎn)D,其周?chē)腥齻€(gè)

9、銳角和一個(gè)鈍角,由情況一中情形2的討論可知,所得多面體應(yīng)是伴菱形 12面體或菱形20面體。易知它們都不滿(mǎn)足圖-7的結(jié)構(gòu)。對(duì)于D點(diǎn)周?chē)?再接更多的銳角的情況下面將給出否認(rèn)答復(fù)。因此B、C、F、J、E周?chē)鷳?yīng)均再接一個(gè)菱形鈍角。據(jù)此,易計(jì)算出菱形的長(zhǎng)短對(duì)角線長(zhǎng)之比為旦。此菱形拼成的多面體為菱形20面體或菱2形30面體。2、這個(gè)頂點(diǎn)周?chē)兴膫€(gè)銳角和一個(gè)鈍角圖-8如圖-8,A點(diǎn)周?chē)兴膫€(gè)銳角和一個(gè)鈍角 ,為了保證A點(diǎn)周?chē)娼侵托∮?360度,那么菱形的銳 角應(yīng)小于60度,鈍角應(yīng)大于120度。故B、C兩點(diǎn)只能再接一個(gè)銳角??紤] F點(diǎn)周?chē)巡荒茉?接菱形了,即 D、E兩點(diǎn)重合。易得 EF/AG,FD/AH

10、.那么AG/AH,矛盾。四假設(shè)有一頂點(diǎn),其周?chē)辛鶄€(gè)面或多于六個(gè)面只討論一頂點(diǎn)周?chē)辛鶄€(gè)面的情況。其它情況類(lèi)似討論。1、這個(gè)頂點(diǎn)周?chē)辛鶄€(gè)銳角如圖-9,A點(diǎn)周?chē)兴膫€(gè)銳角和一個(gè)鈍角,為了保證A點(diǎn)周?chē)娼侵托∮?360度,那么菱形的銳角應(yīng)小于60度,鈍角應(yīng)大于120度。貝U B、C、D、E、F、G均只能再接一個(gè)菱形銳角。易計(jì)算出 菱形的長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)小于短對(duì)角線長(zhǎng),矛盾。2、這個(gè)頂點(diǎn)周?chē)形鍌€(gè)銳角和一個(gè)鈍角如圖-10 , A點(diǎn)周?chē)形鍌€(gè)銳角和一個(gè)鈍角,易知B、C點(diǎn)周?chē)荒茉俳右粋€(gè)菱形銳角,考慮F點(diǎn),F(xiàn)點(diǎn)周?chē)荒茉俳恿庑危碊、E兩點(diǎn)重合,易知 DF/AG、EF/AH.那么AG/AH,矛盾。綜上所述

11、,單純菱形多面體僅有五種,即菱形6面體、菱形12面體、伴菱形12面體、菱形20面體、菱形30面體。般四邊形的單純體引理:簡(jiǎn)單多面體的三角形面的個(gè)數(shù)與三面角的個(gè)數(shù)之和不小于 證明:設(shè)一簡(jiǎn)單多面體有x個(gè)三角形面,y個(gè)三面角。i角形面的個(gè)數(shù)為Si,連接j條棱的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為T(mén)j ,其中i 4, j 4。貝U:3xi Sii 32E3x4(Fx)4Fx(1)3yj Tjj 32E3x4(Vx)4Vy(2)(1) + (2)得 4E 4F4V(x+y)xy8 ,命題得證。命題1:四邊長(zhǎng)各不相等的凸四邊形不能構(gòu)成單純體。證明:假設(shè)這種單純體存在,我們考慮其任一頂點(diǎn)周?chē)娴呐帕星闆r,容易發(fā)現(xiàn)每個(gè)頂點(diǎn)周?chē)辽儆?/p>

12、4個(gè)面。而該單純體的每個(gè)面均為四邊形。因此與引理矛盾。故四邊長(zhǎng)各不相等的凸四邊形不 能構(gòu)成單純體。o容易發(fā)現(xiàn)這種單純體不存在。命題2:對(duì)邊長(zhǎng)相等,鄰邊長(zhǎng)不等的凸四邊形不能構(gòu)成單純體 證明:同樣,我們考慮其任一頂點(diǎn)周?chē)娴呐帕星闆r, 命題3:不存在由凸n n 6邊形構(gòu)成的單純體證明:設(shè)Ti為連接i條棱的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)。顯然iT(i) V。每個(gè)面包含n條棱,因而有 歐拉公式V E2E(1)(2)2E i T(i)i 33V由1、 2得 3V3 Tii 33n-2 F+6>2n F =2E,(3)與3矛盾。由命題3的證明過(guò)程,我們?nèi)菀椎玫较旅婷}命題4: 一簡(jiǎn)單多面體必有三角形、四邊形、五邊形中一種

13、形狀的面。F面給出,有三邊相等的梯形構(gòu)成單純凸多面體的一個(gè)結(jié)果,其中只討論了一種情形,另一種情形類(lèi)似討論。命題5:有三邊相等的梯形不能構(gòu)成單純的凸多面體-11) (AB=BC=AD V CD)下面分兩種證明:假設(shè)這種梯形能構(gòu)成單純的凸多面體,考慮梯形如圖 情況討論一假設(shè)該單純體每個(gè)定點(diǎn)周?chē)挥腥齻€(gè)面。那么有如下等式3V=4F4F=2EVE+F=2其中AAi、B1C1、CD為梯形長(zhǎng)的底邊。 BC B1C1、C1D1/CD。那么平面ABCD平行于平 面 AiBiCiDi,而平面 ADD 1 A1 交平面 ABCD 和平面 AiBiCiDi 分別于 AD、AiDi。那么AD / A1D1 矛盾。因此這種梯形不能構(gòu)成單純六面體。二 假設(shè)該單純體存在一頂點(diǎn),其周?chē)辽儆兴膫€(gè)面圖-13如圖-13, A點(diǎn)滿(mǎn)足假設(shè)。易分析得,每個(gè)頂點(diǎn)周?chē)荒苁撬膫€(gè)銳角、三個(gè)銳角和一個(gè)鈍角兩種情形,要不然B點(diǎn)周?chē)?/p>

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