中考數(shù)學壓軸題(對稱問題、雙動點對稱問題)

1、(2014濟寧，第22題11分)如圖，拋物線 y4x2+bx+c與x軸交于A (5, 0)、B (- 1, 0)兩點，4過點A作直線AC，x軸，交直線y=2x于點C;(1)求該拋物線的解析式；(2)求點A關(guān)于直線y=2x的對稱點A的坐標，判定點 A是否在拋物線上，并說明理由；(3)點P是拋物線上一動點，過點 P作y軸的平行線，交線段 CA'于點M,是否存在這樣的點 P,使四邊形PACM是平行四邊形若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由.分析：(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2)首先求出對稱點 A'的坐標，然后代入拋物線解析式，即可判定點A是否在拋物線上.本問關(guān)

2、鍵在于求出A'的坐標.如答圖所示，作輔助線，構(gòu)造一對相似三角形RtAEAsRtAOAC,利用相似關(guān)系、對稱性質(zhì)、勾股定理，求出對稱點A'的坐標;如答圖所示,(3)本問為存在型問題.解題要點是利用平行四邊形的定義，列出代數(shù)關(guān)系式求解.平行四邊形的對邊平行且相等，因此PM=AC=10;利用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出PM的長度，然后列方程求解.解答：解：(1) ,yJxZ+bx+c與x軸交于4A (5, 0)、B (T, 0)兩點,:-b+c=0拋物線的解析式為y=ix(2)如答圖所示，過點A作A'E, x軸于E, AA與OC交于點D,丁點C在直線y=2x上,.C (5,10)點

3、A和A關(guān)于直線y=2x對稱, OCX AA', AD=AD.,. OA=5, AC=10,OC=j：沖-i" =.$OCAkOAAC, .AD=. .AA'在 RtAEA 和 RtOAC 中，/ Z A AE+Z A AC=90°, Z ACD+Z A AC=90°,. . / A'AE=/ACD.又. / AEA=/OAC=90 ； .RtMEAs RtA OAC. :.h_蛆即OA AC OC.A'E=4, AE=8.OE=AE- OA=3. .點 A'的坐標為(-3, 4),當x=-3時，y&X（- 3） 2+

4、3-起=4.所以，點A在該拋物線上. 44（3）存在.理由：設直線 CA'的解析式為y=kx+b,5kdb口 Q-3k+b=4k 25b=T直線CA'的解析式為y3x+（9分）設點P的坐標為（x, L2-X-上），則點M為（x, x+）.444 PM / AC,要使四邊形PACM是平行四邊形，只需PM=AC.又點M在點P的上方,1E(x2 - x ) =10.44解得xi=2, x2=5 （不合題意，舍去）當 x=2 時，y=-.4當點P運動到（2,-上）時，四邊形 PACM是平行四邊形.勾A'的坐標,點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、待定系數(shù)

5、法、相似、平行四邊形、股定理、對稱等知識點，涉及考點較多，有一定的難度.第（2）問的要點是求對稱點第（3）問的要點是利用平行四邊形的定義列方程求解.(2014貴州黔西南州，第26題16分)如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-3, 0)、B (1, 0)、C (0, 3)三點，其頂點為 D,連接AD,點P是線段AD上一個動點(不與 A、D重合)，過點P作y軸的垂線，垂足點為 E,連接AE.(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；(2)如果P點的坐標為(x, y), 4PAE的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出 S的最大值；

6、(3)在(2)的條件下，當S取到最大值時，過點 P作x軸的垂線，垂足為 F,連接EF,把4PEF沿分析： (1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A ( -3, 0)、B (1, 0)、C (0, 3)三點，則代入求得 a, b, c,進而得解析式與頂點 D.(2)由P在AD上，則可求 AD解析式表示 P點.由Saape=PE>p,所以S可表示，進而由函數(shù) 最值性質(zhì)易得S最值.(3)由最值時，P為(-，3),則E與C重合.畫示意圖，P過作P'My軸，設邊長通過解 直角三角形可求各邊長度，進而得 P'坐標.判斷P是否在該拋物線上，將 xp'坐標代入解析式， 判斷是否為

7、yp'即可.解答： 解：(1)二.拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過 A (- 3, 0)、B (1, 0)、C (0, 3)三點，ir9a- 3b+c=0二-1a+b+c=O ，解得.解析式為 y=-x2-2x+3L c-31 c=3- - x2 - 2x+3= - (x+1) 2+4,，拋物線頂點坐標 D 為(-1, 4). /A (3, 0), D ( 1, 4),，設AD為解析式為y=kx+b,有-3k+b=0-k+b=4,解得，AD解析式：y=2x+6,. P在 AD 上，.P (x, 2x+6),1- S APE=PEy= ( - x) (2x+6) = - x2 3x (-

8、 3< x< - 1),當x= 3=一時，s取最大值.(T)(3)如圖1,設PF與y軸交于點N,過P作P'My軸于點M,D PEF沿 EF翻折得 PEF,且 P (- , 3),，/PFE=/PFE, PF=PF=3, PE=P'E=,. PF/ y 軸,/ PFE=/FEN, / PFE=Z PFE,/ FENkZ P'FE, . ENkFN,設 ENkm,則 FN=m, P'N=3m.在 RtAPEN 中， (3m) 2+ () 2=m2, ，m = . SA P'EN=PNP'E=ENP'M,PM = .在 RtEMP&

9、#39;中， EM= J (2)之 一2 = ,，OM=EO EM=,N 2101'(,).當 x=時，y= - () 2 - 2+3=E點P不在該拋物線上.點評：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)圖象、性質(zhì)及設邊長利用勾股定理解直角三角形等常規(guī)考點，題目考點適中，考法新穎，適合學生練習鞏固.(2014攀枝花，第 24題12分)如圖，拋物線 y=ax2-8ax+12a (a>0)與x軸交于 A、B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點 C,點D的坐標為(-6, 0),且/ ACD=90°.(1)請直接寫出A、B兩點的坐標；(2)求拋物線的解析式；(3)拋物線的對稱

10、軸上是否存在點 P,使得 PAC的周長最小若存在， 求出點P的坐標及周長的最小 值；若不存在，說明理由；(4)平行于y軸的直線m從點D出發(fā)沿x軸向右平行移動，到點 A停止.設直線 m與折線DCA的 交點為G,與x軸的交點為H (t, 0).記 ACD在直線m左側(cè)部分的面積為 s,求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān) 系式及自變量t的取值范圍.令 x=0,得 y=12a, . C (0, 12a), OC=12a.CD2=OC2+OD2=AC2=OC2+OA2=D誓辭H 0DC2+AC2=AD2 =82,C' (8,),PAC周長最小，最小值為 AC+AC .分析：(1)令y=ax2-8ax+12a=0,

11、解一元二次方程，求出點A、B的坐標；(2)由/ ACD=90可知 ACD為直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出 a的值，進而求出 拋物線的解析式；(3) APAC的周長=AC+PA+PC AC為定值，則當PA+PCX得最小彳1時， PAC的周長最小.設點C關(guān)于對稱軸的對稱點為C',連接AC'與對稱軸交于點 P,由軸對稱的T生質(zhì)可知點P即為所求；(4)直線m運動過程中，有兩種情形，需要分類討論并計算，避免漏解.解答：解：(1)拋物線的解析式為：y=ax2- 8ax+12a (a>0),令 y=0,即 ax2- 8ax+12a=0,解得 x1=2, x2=6, . A (2

12、, 0), B (6, 0).(2)拋物線的解析式為：y=ax2- 8ax+12a (a>0),在RtCOD中，由勾股定理得: (12a) 2+62=144a2+36;在RtCOD中，由勾股定理得: (12a) 2+22=144a2+4;在RtA COD中，由勾股定理得： 即：(144a2+36) + (144a2+4) 解得：2=或a=-(舍去)，拋物線的解析式為：y=x2 - x+.(3)存在.對稱軸為直線：x= - =4.f2k+b-0=2肢解得由(2)知C (0,),則點C關(guān)于對稱軸x=4的對稱點為 連接AC',與對稱軸交于點 P,則點P為所求.此時 設直線AC'

13、的解析式為y=kx+b,則有：當 x=4 時，y=, ，P (4,).過點C'作C E，x軸于點E,則C' E=, AE=6,在RtA AC E中，由勾股定理得：AC =V(人e)2 + 2=4;在RtAAOC中，由勾股定理得：AC，2。(2而)* =4. .AC+AC =4+4.，存在滿足條件的點 P,點P坐標為(4,), APAC周長的最小值為4+4.(4)當-6DW時，如答圖4-1所示.直線m平行于y軸，GH_DH gOC_OD,即藥T 6 ,解得：GH= (6+t)GH_AHtOC-OA,即2 ,解得：gh=- t+2.S=5 COD+S梯形 OCGH=ODOC+( G

14、H+OQ OH=X 6 X 2- t+2+2) t=-t2+2t+6 . i2(-64t40)-t£+2V3t+6"/3 (S=LW"點評：本題是典型的二次函數(shù)壓軸題，綜合考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知識點，難度不大.第(3)考查最值問題，注意利用軸對稱的性質(zhì)；第(4)問是動線型問題，考查分類討論的數(shù)學思想，注意圖形面積的計算.(2014山東煙臺，第26題12分)如圖，在平面直角坐標系中，RtABC的頂點A, C分別在y軸，x軸上，/ ACB=90°, OA=,拋物線y=ax2- ax- a經(jīng)過點B (

15、2,),與y軸交于點 D.(1)求拋物線的表達式；(2)點B關(guān)于直線AC的對稱點是否在拋物線上請說明理由；(3)延長BA交拋物線于點 E,連接ED,試說明ED/ AC的理由.分析：(1)把點B的坐標代入拋物線的表達式即可求得.(2)通過 AO84CFB求得OC的值，通過 OO FCB得出DC=CB, / OCD=/FCB,然后得 出結(jié)論.(3)設直線AB的表達式為y=kx+b,求得與拋物線的交點 E的坐標，然后通過解三角函數(shù)求得結(jié) 果.解答：(1)把點B的坐標代入拋物線的表達式，得 =aX2-2a-a,解得a=,，拋物線的表達式為 y=x2 - x-.(2)連接CD,過點B作BF,x軸于點F,

16、則/ BCF+Z CBF=90° / ACB=90°, / ACC+Z BCF=90°, / ACO=Z CBF . /AOC=/CFB=90°, . .AOg CFB, .二,設OC=m,則CF=2m,則有,解得 m=m=1, . OC=OF=1,V32 - IT當 x=0 時 y= , OD=, BF=OD, . / DOC=Z BFC=90°, .OCD FCB,DC=CB, / OCD=Z FCB，點，點，點(3)B、C D在同一直線上，B與點D關(guān)于直線AC對稱，B關(guān)于直線AC的對稱點在拋物線上.過點E作EG，y軸于點G,設直線 AB的

17、表達式為y=kx+b,則解得 .y=- x+,代入拋物線的表達式- x+=x2 - x-.OAC=Z EDG,ED/ AC.解得x=2或x= - 2,點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定及性質(zhì)，以及對稱 軸的性質(zhì)和解三角函數(shù)等知識的理解和掌握.2(2014年湖北咸寧23. (10分)如圖1, P (m, n)是拋物線丫亮-1上任意一點，l是過點(0,2)且與x軸平行的直線，過點 P作直線PH, I,垂足為H.【探究】(1)填空：當 m=0 時，OP= 1, PH= 1;當 m=4 時，OP= 5 , PH= 5 ;證明(2)對任意m, n,猜想OP與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜

18、想.【應用】(3)如圖2,已知線段AB=6,端點A, B在拋物線y4- 1上滑動，求A, B兩點到直線l的距離之分析： (1)m記為P點的橫坐標.m=0時，直接代入x=0,得P (0,圖-1),則OP, PH長易知.當 m=4時，直接代入x=4,彳導P (4, 3), OP可有勾股定理求得，PH= 一(-2).(2)猜想OP=PH證明日因為P為所有滿足二次函數(shù) y=-1的點，一般可設(m,q-1).類似(1)利用勾股定理和 PH=yp- ( 2)可求出OP與PH,比較即得結(jié)論.(3)考慮(2)結(jié)論，即函數(shù) y三-1的點到原點的距離等于其到l的距離.要求 A、B兩點到l距| 4 |離的和，即A、

19、B兩點到原點的和， 若AB不過點O,貝U OA+OB> AB=6,若AB過點O,貝U OA+OB=AB=q 所以OA+OB6 ,即A、B兩點到l距離的和>6進而最小值即為 6.解答： (1)解：OP=1, PH=1； OP=5, PH=5.如圖1,記PH與x軸交點為Q, 當 m=0 時，P (0, - 1).此時 OP=1, PH=1.當 m=4 時，P (4, 3).此時 PQ=3, OQ=4,OP刃PQ?+0q2=5, PH=yp- (-2) =3- (-2) =5.(2)猜想：OP=PH.證明：過點P作PQ± x軸于Q,2- P在二次函數(shù) y=-1上，422，設 P

20、 (m, -1),貝U PQ=|- - 1| , OQ=|m| ,44. OPQ為直角三角形，-'-OP=/P02+OQ2=2(卜1)4PH=yP ( 2)=(2IBT1)2)牛+1, .OP=PH.(3)解：如圖2,連接OA, OB, 的距離，BD即為B點到l的距離.過點A作AC，l于C,過點B作BD)± l于D,此時AC即為A點到l在 4AOB 中， OB+OA> AB, . BD+AC> AB.BD+A© AB,6.當 AB 過。點時，: OB+OA=AB,BD+AC=AB 綜上所述, .AB=6,.BD+A©6,即A, B兩點到直線l的

21、距離之和的最小值為點評：本題考查了學生對函數(shù)與其圖象的理解，另外涉及一些點到直線距離，利用勾股定理就坐標系中兩點間的距離及最短距離等知識點，總體來說難度不高，但知識新穎易引發(fā)學生對數(shù)學知識的興趣，非常值得學生練習.(2014年河南)(23. 11分)如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A( 1,0),B(5,0)兩點，直線y=' x+34與y軸交于點C,與x軸交于點D.點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點 P作PF,x軸于點F,交直線CD于點E設點P的橫坐標為m。(1)求拋物線的解析式;(2)若PE =5EF求m的值;(3)若點E是點E關(guān)于直線PC的對稱點、是否存在點 P,使點口

22、落在y軸上若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由。解：(1)二.拋物線 y= x2+bx+c與 x 軸交于 A ( 1,0) , B(5,0)0= ( 1)20= 52 ；b+cb=45b+cc=5拋物線的解析式為 y=x2+4x+5.兩點,(2)點P橫坐標為m,3則 P(m, m2+4m + 5) ,E(m,- -m+3), F(m,0),4點P在x軸上方，要使 PE=5EF,點P應在y軸右側(cè)，0V m< 5.PE= m2+ 4m + 5( m+ 3)= m2+ m+ 24分44分兩種情況討論：3當點E在點F上萬日EF=- -m+3.44413 即 2m217m +

23、26=0,解得 mi=2, m2=(舍去)分2當點E在點F下方日EF=3m3.4 PE=5EF,-m2+ 19 m+2=5(- m-3),44即 m2m17=0, 解得 m3=1一69 , m4=1-69 (舍去)，22 PE=5EF,-m2+ 19 m+2=5(- 3 m + 3)八169八m的值為2或分82一 _，一_111_八，點 P 的坐標為 R( ，一),卬4, 5), P3(3, 23). 分124【提示】 E和E，關(guān)于直線PC對稱，/ E/CP=Z ECP又PE/ y 軸，/ EPC=Z E/CP=Z PCE PE=EC又CE= CE,.四邊形 PECE為菱形.過點 E作 EMy

24、 軸于點 M,，CMKCOD, CE= -m4PE=CE- 一 m2 + m + 2= m 或-m2+ m + 2= 4441.一一 ,人，、解得 m1= , m2=4, m3=3 , m4=3+ (舍去)21 11 _可求得點 P的坐標為 Pi( ，一)佇(4, 5), P3(3-, 2 3)。2 4(2014廣州，第24題14分)已知平面直角坐標系中兩定點A (-1 ,0) ,B(4,0),拋物線”工()過點 A、B,頂點為C.點P (m, n) (n<0)為拋物線上一點.(1)求拋物線的解析式與頂點 C的坐標.(2)當/APB為鈍角時，求 m的取值范圍.(3)若，當/APB為直角時

25、，將該拋物線向左或向右平移t)個單位，點P、C移動后對應的點分別記為、，是否存在 t,使得首尾依次連接 A、B、所構(gòu)成的多邊形的周長最短若存在，求值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由.【考點】動點問題.(1)二次函數(shù)待定系數(shù)法(2)存在性問題，相似三角形最終問題，軸對稱，兩點之間線段最短【答案】(1)解:依題意把的坐標代入得：1工 H L /I門；解得：*13 + 43-4 = 01打三一2一W2-3 1二拋物線解析式為y =一工-7i 222.b 331-頂點橫坐標 王=一二 =三，將k =代入拋物線得y =2a 222(2)如圖，當/4cg = 90,時，設。(而弓/-5/-2)

26、，則 ED= / + l,DF=4%，1跖一過作直線軸一.:.MED-8FD-為十1（注意用整體代入法）解得、 I r 一 一匚，）當在皿出馬之間時，/且密 901周口或34時，Z/FB為鈍角.依題意例) 3 ,且2APB = 90”設移動（向右，向左）- P(3+l2),寶+一芻 28連接 AC： FC： FB 則+ + PC1+C%又AB7戶廣的長度不變二四邊形周長最小，只需十C'A最小即可將沿工軸向右平移5各單位到處沿工軸對稱為當且僅當、B、三點共線時，最小，且最小為，此時1325(13 “ =25尢 + 8 = _ _產(chǎn)(3+。2),設過的直線為1y二以+3 ,代入 28 ；1

27、(3+& = 241K 2S2841 W1C+G 、即一二二將舊（46代入,得:11x441空口2S28+ 2 = 0,解得:1541當，p、C向左移動萬單位時，此時四邊形 ABP'期長最小。15yt(2014四川瀘州，第25題，12分)如圖，已知一次函數(shù) yi1x+b的圖象l與二次函數(shù)y2=-x2+mx+b2的圖象C都經(jīng)過點B (0, 1)和點C,且圖象C過點A (2-, 0).(1)求二次函數(shù)的最大值；(2)設使y2>y1成立的x取值的所有整數(shù)和為 s,若s是關(guān)于x的方程tl+ ) rl一二二0的根， 0 - 1 K - 3求a的值；(3)若點F、G在圖象C上，長度為

28、的線段 DE在線段BC上移動，EF與DG始終平行于y軸，當四邊形DEFG的面積最大時，在 x軸上求點 巳 使PD+PE最小，求出點P的坐標.考點：二次函數(shù)綜合題.分析：(1)首先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，然后求出其最大值；(2)聯(lián)立y1與y2得，求出點C的坐標為0(-,),因此使y2>y1成立的x的取值范圍為0vx上,得s=1+2+3=6;將s的值代入分式方程，求出 a的值;(3)第1步：首先確定何時四邊形 DEFG的面積最大.如答圖1,四邊形DEFG是一個梯形，將其面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，這個代數(shù)式是一個二次函數(shù)，根據(jù)其最值求出未知數(shù)的值，進而得到面積最大時點D、E的

29、坐標；第2步：利用幾何性質(zhì)確定 PD+PE最小的條件，并求出點 P的坐標.如答圖2,作點D關(guān)于x軸的對稱點D',連接D' E,與x軸交于點P.根據(jù)軸對稱及兩點之 間線段最短可知，此時 PD+PE最小.利用待定系數(shù)法求出直線 D' E的解析式，進而求出點 P 的坐標.解答:解：(1) 二次函數(shù) y2= - x2+mx+b 經(jīng)過點 B (0, 1)與 A (2-, 0), |rb=l-(2-+ C2-V5)nrHR解得 1： y1=x+1 ；C' : y2=-x2+4x+1.y2=-x2+4x+1 = - (x-2) 2+5, ymax=5;x2'(2)聯(lián)立

30、 y1 與 y2得：1x+1 = - x2+4x+1,解得 x=0 或當 xj時，y1=l>Z+1 = , 二 一 C (孑).使y2>y1成立的7x的取值范圍為0vx,. s=1+2+3=6.代入方程得'I - j -：3 - 16 - 3解得a=；(3) ,一點 D、E在直線 1 ： y1=x+1 上,，設 D (p,7jP+1), E (q, 4；q+1),其中 q>p>0.如答圖1,過點E作EHL DG于點H,則EH=q- p, DH弓(q-p).在RtA DEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2,即(q - p) 2+22號(q-p) 2= ()

31、 2,解得 q - p=2,即 q=p+2. .EH=2, E (p+2,當 x=p 時，y2=- p2+4p+1, G (p, - p2+4p+1), . DG= ( - p2+4p+1) - (Jp+1)=-當x=p+2 時，y2=- (p+2) 2+4 (p+2) +1 = - p2+5, F(p+2, - p2+5) . EF= ( - p2+5) - (Jp+2) =- p2-p+3.S四邊形DEF- (DG+EF ?EH=i(-p2+p) + (- p- Jp+3) x2 = 2P2+3p+3,四邊形DEFG的面積取得最大值,D (E,)、E (,).4如答圖2所示，過點D關(guān)于x軸

32、的對稱點D',則D'(苣，-)；4普圖2連接 D' E,交 x 軸于點 P, PD+PE=PD +PE=D E, 由兩點之間線段最短可知，此時PD+PE最小.設直線D' E的解析式為：y=kx+b,直線D' E的解析式為:令 y=0,得 x=,y=x一.P (, 0).(2014?海南，第24題14分)如圖，對稱軸為直線 x=2的拋物線經(jīng)過 A ( - 1, 0), C (0, 5)兩點, 與x軸另一交點為B.已知M (0, 1), E (a, 0), F (a+1, 0),點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動 點.(1)求此拋物線的解析式；(2)當a=1時，

33、求四邊形 MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標；(3)若 PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求 a為何值時，四邊形 PMEF周長最小請說明理由.分析：(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2)首先求出四邊形 MEFP面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點P坐標；(3)四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要 ME+PF最小，則PMEF的周長將 取得最小值.如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度(EF的長度)，得M1 (1, 1)；作 點M1關(guān)于x軸的對稱點 M2,則M2 (1, -1);連接PM2,與x軸交于F點，此日ME+PF=PM2 最小.解答：解：(1

34、)二.對稱軸為直線 x=2,，設拋物線解析式為 y=a (x-2) 2+k.將 A ( - 1, 0), C (0, 5)代入得：9a+k=0 的/穿 一 1,解得，14a+k=5 -y=- (x-2) 2+9=- x2+4x+5.(2)當 a=1 時，E (1 , 0) , F (2, 0) , OE=1, OF=2.設 P (x, - x2+4x+5),如答圖2,過點P作PNy軸于點N,貝U PN=x, ON=-x2+4x+5,MN=ON - OM= - x2+4x+4.S 四邊形 MEFP=S 梯形 OFPN SPMN- SOME= (PN+OF) ?ON-PN?MN - OM?OE=(

35、x+2) ( x2+4x+5) x? ( x2+4x+4) X 1 X 1=-x2+x+=-(x - ) 2+，當x二時，四邊形MEFP的面積有最大值為，此時點P坐標為(，).(3) M (0, 1), C (0, 5), 4PCM是以點P為頂點的等腰三 角形，點P的縱坐標為3.令 y=-x2+4x+5=3,解得 x=2 士點P在第一象限，P (2+, 3).四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF 最小，則PMEF的周長將取得最小值.如答圖3,將點M向右平移1個單位長度(EF的長度)，得Ml (1 , 1);作點M1關(guān)于x軸的對稱點 M2,則M2 (1, - 1);連

36、接PM2,與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最小.設直線PM2的解析式為y=mx+n,將P (2+, 3), M2 (1,-1)代入得：印)時注3,解得：m=WW7 n=組，mfn= _ 155.4/6476+1當y=0時，解得x=. F (, 0).y=x-.- a+1=, - a=.，a二時，四邊形PMEF周長最小.點評： 本題是二次函數(shù)綜合題，第(1)問考查了待定系數(shù)法；第(2)問考查了圖形面積計算以及二次函數(shù)的最值; 第(3)問主要考查了軸對稱-最短路線的性質(zhì).試題計算量偏大，注意認真計算.(2013湖南張家界，25, 12分)如圖，拋物線 y=ax2+bx+c (awQ的圖象過點C (0, 1),頂點為Q (2, 3),點D在x軸正半軸上，且 OD=OC.(1)求直線CD的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E,求證：ACEM CDO;(4)在(3)的條件下，若點 P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在 P點和F點 移動過程