二次函數(shù)應(yīng)用題分類(lèi)解析

1、二次函數(shù)應(yīng)用題分類(lèi)解析本文以2001年的中考題為例談?wù)劧魏瘮?shù)應(yīng)用題的常見(jiàn)類(lèi)型和解法。供參考。二次函數(shù)應(yīng)用題從題設(shè)給定形式和解法上看，常見(jiàn)的有以下三類(lèi)：一、待定系數(shù)法型題設(shè)明確給出兩個(gè)變量間是二次函數(shù)關(guān)系，和幾對(duì)變量值，要求求出函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。解答的著急是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出函數(shù)關(guān)系式。例1（2001年安徽省中考題）某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價(jià)是3元，年銷(xiāo)售量為100萬(wàn)件，為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x（十萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量將是原銷(xiāo)售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：x（十萬(wàn)元）012y1

2、1.51.8（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果把利潤(rùn)看作是銷(xiāo)售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，試寫(xiě)出年利潤(rùn)S（十萬(wàn)元）與廣告費(fèi)x（十萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果投入的年廣告費(fèi)為1030萬(wàn)元，問(wèn)廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增大？分析：（1）因?yàn)轭}中給出了y是x的二次函數(shù)關(guān)系，所以用待定系數(shù)法即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式為（2）由題意得S=10y(3-2)-x（3）由（2）及二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)1x2.5，即廣告費(fèi)在1025萬(wàn)元之間時(shí)，S隨廣告費(fèi)的增大而增大。例2如圖1，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線(xiàn)是拋物線(xiàn)，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，

3、然后準(zhǔn)確落入籃圈。已知籃圈中心到地面的距離為3.05米。（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線(xiàn)的解析式；（2）該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問(wèn)：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少？拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （2001年吉林省中考題）分析：（1）由球運(yùn)行的路線(xiàn)是拋物線(xiàn)可推斷y是x的二次函數(shù)。又由題意如此拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為（0，3.5）且過(guò)點(diǎn)（1.5，3.05）。于是用待定系數(shù)法可求得其解析式為。（2）當(dāng)x=-2.5時(shí)，y=2.25，2.25-1.8-0.25=0.20（米）。即球出手時(shí)他離地0.20米。二、分析數(shù)量關(guān)系型題設(shè)結(jié)合實(shí)際情景給出了一定數(shù)與量的關(guān)系，要求在分析的

4、基礎(chǔ)上直接寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn)行應(yīng)用。解答的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意，正確寫(xiě)出數(shù)量關(guān)系式。例3（2001年河北省中考題）某化工材料經(jīng)銷(xiāo)公司購(gòu)進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每千克30元。物價(jià)部門(mén)規(guī)定其銷(xiāo)售單價(jià)不得高于每千克70元，也不得低于30元。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝺r(jià)定為70元時(shí)，日均銷(xiāo)售60千克；單價(jià)每降低1元，日均多售出2千克。在銷(xiāo)售過(guò)程中，每天還要支出其它費(fèi)用500元（天數(shù)不足一天時(shí)，按整天計(jì)算）。設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x元，日均獲利為y元。（1）求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；（2）將（1）中所求出的二次函數(shù)配方成的形式，寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；在圖2所示的坐標(biāo)系中畫(huà)出草圖；觀(guān)察圖象，指

5、出單價(jià)定為多少元時(shí)日均獲得最多，是多少？（3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷(xiāo)售單價(jià)最高這兩種銷(xiāo)售方式，哪一種獲總利較多，多多少？分析：（1）若銷(xiāo)售單價(jià)為x元，則每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均銷(xiāo)售量為60+2(70-x)千克，每千克獲利為(x-30)元。根據(jù)題意得（30x70）。（2）。頂點(diǎn)坐標(biāo)為（65，1950），草圖略，當(dāng)單價(jià)定為65元時(shí)，日均獲利最多，是1950元。（3）列式計(jì)算得，當(dāng)日均獲利最多時(shí)，可獲總利195000元；當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)最高時(shí)，可獲總利221500元。故當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)最高時(shí)獲總利較多，且多獲利221500-195000=26500元。

6、三、建模型即要求自主構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)等解決實(shí)際問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題建模要求高，有一定難度。例4（2001年金華市、衢州市中考題）用長(zhǎng)8m的鋁合金條制成如圖3形狀的矩形窗框，使窗戶(hù)的透光面積最大，那么這個(gè)窗戶(hù)的最大透光面積是（ ）（A） （B）（C） （D）分析：設(shè)窗框的寬為xm，則其高為，窗戶(hù)的透光面積。故窗戶(hù)的最大透光面積為，應(yīng)選C。例5（2001年荊門(mén)市中考題）如圖4，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線(xiàn)狀，MN=4dm，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處到邊MN的距離是4dm，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點(diǎn)B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線(xiàn)上，問(wèn)這樣截下去的矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于8dm？分析：由“拋物線(xiàn)”聯(lián)想到二次函數(shù)。如圖4，以MN所在的直線(xiàn)為x軸，點(diǎn)M為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，則M（0，0），N（4，0），P（2，4）。用待定系數(shù)法求得拋物線(xiàn)的解析式為。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則AD=BC=2x-4，AB=CD=y。于