【KS5U解析】浙江省2020屆高三新高考名校聯(lián)考信息卷（五）數(shù)學 Word版含解析

1、浙江新高考名校聯(lián)考信息卷（五）數(shù)學本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.參考公式：若事件互斥，則若事件相互獨立，則若事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，則次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率臺體的體積公式其中分別表示臺體的上、下底面積，表示臺體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【

2、分析】先解絕對值不等式得到集合，再根據(jù)集合的并運算求即可.【詳解】由，解得，故，又，所以.故選：c.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的求解及集合的并運算，考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).2.已知復數(shù)滿足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】設，再利用復數(shù)的四則運算及復數(shù)相等求解即可.【詳解】解法一：由題意，設，由，得，所以，根據(jù)復數(shù)相等，得，解得，故.解法二：根據(jù)，得，所以.故選：c.【點睛】本題主要考查復數(shù)的定義、復數(shù)相等以及復數(shù)的四則運算，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).3.函數(shù)的圖象可能是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)奇偶性、

3、特殊值，利用排除法即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標原點對稱，故排除a，c.當時，故排除d，故選：b.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)圖象的識別、函數(shù)值的判斷，考查考生分析問題與解決問題的能力，考查直觀想象核心素養(yǎng).4.已知數(shù)列是首項大于零的等比數(shù)列，則“”是“”（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】根據(jù)充分必要性的定義分析即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，且，所以，即，故充分性成立；反之，不成立，如，.故“”是“”的充分不必要條件.故選：a.【點睛】本題主要考查充分必要條件的判斷，考

4、查邏輯推理核心素養(yǎng).5.已知橢圓的左焦點為，分別為橢圓的右頂點和下頂點，若成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)分別表示出，然后根據(jù)成等差數(shù)列得出等式，并結(jié)合化簡求解，即可得橢圓的離心率.【詳解】依題意得，因為成等差數(shù)列，所以，即，即，兩邊平方并整理，得，兩邊同除以，得，解得.故選：c.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)等，考查考生的運算求解能力，橢圓中的基本量有如下關(guān)系：.很多考生在應用時常與雙曲線中三者的關(guān)系混淆.6.若實數(shù)滿足不等式組則的最大值是（ ）a. 15b. c. d. 33【答案】d【解

5、析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，可以去掉絕對值符號，令，先求的范圍，再求的最大值，也可以將問題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點到直線的距離的最大值問題進行求解.【詳解】解法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示. 令，作出直線，并平移，數(shù)形結(jié)合可知，當平移后的直線經(jīng)過點時，取得最大值，當平移后的直線經(jīng)過點時，取得最小值.由，得，所以由得，所以.所以，故的最大值是33.解法二：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示 表示可行域內(nèi)的點到直線的距離的5倍.作出直線，結(jié)合圖形可知，點到直線的距離最大，由，得，故點到直線的距離，故的最大值是.故選：d.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問

6、題，考查作圖能力及數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)對直觀想象核心素養(yǎng)的考查.7.已知均為正數(shù)，離散型隨機變量的分布列如下所示：則當取得最小值時，（ ）a. b. c. d. 1【答案】c【解析】【分析】先根據(jù)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)得到，由數(shù)學期望的計算公式得到，再利用基本不等式求的最小值及取得最小值時滿足的條件，最后計算即可.【詳解】解法一：由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)得，即.由數(shù)學期望的計算公式得，當且僅當即時取等號，所以取得最小值時，隨機變量的分布列為214所以.解法二：由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)得，即，所以，故，當且僅當時取等號，所以取得最小值時，隨機變量的分布列為214所以.故選：c.【

7、點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望、概率的求解、基本不等式在最值問題中的應用，考查考生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，滲透對數(shù)學運算核心素養(yǎng)的考查.8.設數(shù)列滿足，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），數(shù)列的前項和為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)證明成立，再利用此不等式對進行放縮，得到，即可得到結(jié)果.【詳解】設，則，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，而，所以，所以.故選：a.【點睛】本題主要考查數(shù)列不等式的證明、放縮法的應用，考查考生的邏輯思維能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

8、9.如圖，在四面體中，已知平面，與平面所成的角為，是上一動點，設直線與平面所成的角為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先分析出線面角取得最大值時的條件，再求出線面角的最大值，即可求解.【詳解】通解：過點作平面于點，連接，則為直線與平面所成的角，即，故，顯然隨的增大而減小，故當最小，即時，最大.連接，因為平面，所以.所以當時，平面，所以易知三點共線.因為與平面所成的角為，所以.因為平面，所以，所以，故此時，故.故選：c.【點睛】本題主要考查空間中直線和平面所成的角、直線和平面的位置關(guān)系等，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理.10.已知關(guān)于的方程在上有實數(shù)根，且，則的最大

9、值為（ ）a. b. 0c. d. 1【答案】b【解析】【分析】先將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上的圖象的交點問題，再根據(jù)將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題，最后數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】由題意，關(guān)于的方程在上有實數(shù)根，即函數(shù)與在上的圖象有交點，作出函數(shù)，的大致圖象如圖所示.因為，所以.又，所以求的最大值可以轉(zhuǎn)化為求的最大值.數(shù)形結(jié)合可知，當?shù)膱D象經(jīng)過點且和的圖象在上相切時，大.易求得切點為，且，此時，所以的最大值為0.故選：b.【點睛】本題主要考查方程的根，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，試題從方程的根入手設題，使考生將問題進行轉(zhuǎn)化，創(chuàng)設問題的情境，然后利用數(shù)形結(jié)

10、合思想解題，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).解決本題的關(guān)鍵有兩個：（1）將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題后，發(fā)現(xiàn)，從而將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題；（2）畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合分析出取最大值時的條件.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.已知函數(shù)則_，的最大值是_.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可求得的值；分別求出時的取值范圍，即可得結(jié)論.【詳解】由題意知，.當時，當且僅當時取等號.當時，故的最大值是.故答案為：，1.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的求值及分段函數(shù)的最大值，考查數(shù)

11、學運算核心素養(yǎng).12.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_，表面積是_.【答案】 (1). 16 (2). 【解析】【分析】先根據(jù)三視圖還原出空間幾何體的直觀圖，再求出相關(guān)數(shù)據(jù)，最后根據(jù)錐體的體積公式和表面積公式求解即可.【詳解】由三視圖還原該幾何體直觀圖，可知該幾何體為如圖所示的四棱錐，其中平面，四邊形是矩形，則易得.故該幾何體的體積，表面積.故答案為：，.【點睛】本題主要考查空間幾何體的三視圖、空間幾何體的體積和表面積的計算，考查考生的空間想象能力和運算求解能力.13.在平面直角坐標系中，已知點是雙曲線上的一點，分別為雙曲線的左、右焦點，且，則雙曲線的離心率為_.【答案】【解

12、析】【分析】由及雙曲線的定義，可得，再在中由余弦定理求得雙曲線的離心率.【詳解】由題意，設點是雙曲線右支上點，又.在中，由余弦定理得，即，. ，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.14.已知（其中為正整數(shù)），若是中的唯一最大值，則的值為_，的值為_.【答案】 (1). 10 (2). 10【解析】【分析】根據(jù)題意，令，對已知等式變形，再根據(jù)求得的值，最后求的值.【詳解】由題意，令，則，因為是中的唯一最大值，所以是偶數(shù)，所以，解得.所以.故答案為：，.【點睛】本題主要考查二項展開式中系數(shù)的最大值、指定項的系數(shù)，考

13、查換元法的應用，考查數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).的展開式中二項式系數(shù)最大項的確定方法：（1）如果是偶數(shù)，則中間一項（第項）的二項式系數(shù)最大；（2）如果是奇數(shù)，則中間兩項（第項和第項）的二項式系數(shù)相等并且最大.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，邊上的中點為，則_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】解法一根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角函數(shù)的誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求得，然后根據(jù)正弦定理求得，最后根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積即可求得的長；解法二先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得，利用余弦定理求得，然后根據(jù)正弦定理求得，最后在中利用余弦定理即可求得的長.【詳解】解法一因為，所以

14、，又，所以，即，即，解得或（舍去），所以.易知，又，所以由，得.因為邊上的中點為，所以，所以，所以.解法二因為，所以，又，所以，所以.由，得，得.因為邊上的中點為，所以，所以在中，所以故答案為：，.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的誘導公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正、余弦定理的應用，考查考生分析問題、解決問題的能力，考查邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).16.由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，則能被15整除且0不在個位的四位數(shù)共有_個.【答案】60【解析】【分析】根據(jù)題意，將0，1，2，3，4，5，6，7這8個數(shù)字分為以下三類：被3整除的有0，3，6；被3除余1的有1，4

15、，7；被3除余2的有2，5，再利用排列組合即可.【詳解】由題意，四位數(shù)的個位數(shù)字一定是5，且4位數(shù)字之和能被3整除，當四位數(shù)中有0時，滿足題意的四位數(shù)有（個）；當四位數(shù)中沒有0時，滿足題意的四位數(shù)有（個），所以能被15整除且0不在個位的四位數(shù)共有60個.故答案為：60.【點睛】本題主要考查排列組合的有關(guān)知識，考查考生分析問題、解決問題的能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理.17.已知平面向量滿足，若平面向量滿足，則最大值為_.【答案】【解析】【分析】先得到，將的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值，再分別將用表示，最后利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，所以.又，所以的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要

16、考查平面向量的模，基本不等式的應用，考查考生分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證眀過程或演算步驟.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中點的坐標為.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，求的值.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)點在函數(shù)的圖象上及的圖象特征得到的值，即可求得函數(shù)的最小正周期；（2）可以根據(jù)，利用兩角和的余弦公式進行求解，也可以在三角形中利用余弦定理進行求解，還可以借助向量進行求解.【詳解】（1）因為點在函數(shù)的圖象上，即，所以，即.由題意可知函數(shù)的最小正周期，所以，解得.又，所以，所

17、以函數(shù)的最小正周期.（2）解法一：如圖，過點作軸于點，由（1）知.令，得，得，所以，所以，所以，所以，即，又，所以或（舍去）.所以，所以.解法二：過點作軸于點，由（1）知，函數(shù)的最小正周期，又，所以，所以，所以在中，即，化簡得，即，所以或（舍去）.所以，所以.解法三：過點作軸于，由（1）知，令，得，得，所以，又，所以，所以，解得或（舍去）.所以，故.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩角和的余弦公式、余弦定理的應用，考查考生的運算求解能力及分析問題、解決問題的能力.試題以考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換等為目標，通過正弦型函數(shù)在一個周期上的圖象的特征設題，考查直觀想象、數(shù)學運算、

18、邏輯推理等核心素養(yǎng).第（1）問大部分考生可以由點在函數(shù)的圖象上得到，但不能從題中的圖象獲得，從而無法準確求出的值.第（2）問有相當一部分考生在求得或后，不進行驗證，從而丟分.19.如圖，已知四邊形abcd是正方形，ae平面abcd，pdae，pdad2ea2，g，f，h分別為be，bp，pc的中點（1）求證：平面abe平面ghf；（2）求直線gh與平面pbc所成的角的正弦值【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明bc平面abe，fhbc，證得fh平面abe，即可證得面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，利用向量方法求線面角的正弦值.【詳解】（1）由題：，ae平面abcd，bc

19、平面abcd，所以aebc，四邊形abcd是正方形，abbc，ae與ab是平面abe內(nèi)兩條相交直線，所以bc平面abe，f，h分別為bp，pc的中點，所以fhbc，所以fh平面abe，hf平面ghf，所以平面abe平面ghf；（2）由題可得：da，dc，dp兩兩互相垂直，所以以d為原點，da，dc，dp為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示：，所以，設平面pbc的法向量，取為平面pbc的一個法向量，所以直線gh與平面pbc所成的角的正弦值.【點睛】此題考查面面垂直的證明，關(guān)鍵在于準確找出線面垂直，建立空間直角坐標系，利用向量方法解決直線與平面所成角的問題.20.已知數(shù)列滿足，且.（1

20、）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和為，求滿足的所有正整數(shù)的值.【答案】（1）（2）所有正整數(shù)的值為2，3，4，5【解析】【分析】（1）先根據(jù)題中的遞推關(guān)系式求得的值，得到，再利用求解，也可利用累乘法進行求解；（2）先根據(jù)數(shù)列的通項與前項和之間的關(guān)系求得數(shù)列的通項公式，即可得到，再利用錯位相減法求，最后根據(jù)的增減性求解即可.【詳解】（1）解法一由，得當時，又，所以，當時，-，得，即.所以，所以.又也符合上式，所以.解法二由，得當時，又，所以，當時，-，得，即.又也符合上式，所以，所以，所以，故數(shù)列的通項公式為.（2）由，得當時，-得，所以，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比

21、的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以，兩式相減得，所以.所以，所以數(shù)列遞增.又，所以滿足的所有正整數(shù)的值為2，3，4，5.【點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的通項與前項和之間的關(guān)系、錯位相減法求和、數(shù)列的增減性等，考查數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).第（1）間的關(guān)鍵是對的處理.第（2）問的關(guān)鍵有三點：數(shù)列的通項公式的求解；的求解；數(shù)列的增減性的證明.21.如圖，為拋物線上的兩個不同的點，且線段的中點在直線上，當點的縱坐標為1時，點的橫坐標為.（1）求拋物線的標準方程；（2）若點在軸兩側(cè)，拋物線的準線與軸交于點，直線的斜率分別為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，當點的坐標為時，設點，則點，再將其代入拋物線方程解得即可；（2）設直線的方程為，設，由線段的中點在直線上，可得，進而可得直線的方程為，再表示出直線的斜率，進而運算即可.【詳解】（1）由題意知，當點的坐標為時，設點，則點，因為為拋物線上的兩個不同的點，所以解得所以拋物線的標準方程為.（2）顯然直線的斜率存在且不為0，故可設直線的方程為，聯(lián)立方程，得消去，化簡并整理得.則，即.設，則，所以，故直線的方程為.，易知，所以，所以.因為，