圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典版

1、.word.zl.圓錐曲線的方程與性質(zhì)1 橢圓1橢圓概念表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。2橢圓的性質(zhì)2對(duì)稱性：在曲線方程里，假設(shè)以y代替y方程不變，所以假設(shè)點(diǎn)（x,y）在曲線上時(shí)，點(diǎn)（x, y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，同理，以x代替x方程不變，那么曲線關(guān)于y軸對(duì)稱。假設(shè)同時(shí)以X代替x，y代替y方程也不變，那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；3頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x 0，得y b，那么B1（0, b），B2（0,b）是橢圓與y軸的

2、兩個(gè)交點(diǎn)。同理令y 0得x a，即A（a,0），平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a大于IRF2I的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c 叫橢圓的焦距。假設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn), 那么有|MF1| |MF2| 2a。上 。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:22xy2,2ab0焦點(diǎn)在x 軸上2x21a b 0焦點(diǎn)在b2注：以上方程中a,b的大小a b 0,其中b21兩個(gè)方程中都有a0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2和y2的分母的大小。例如橢圓2yn當(dāng)m n時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)m2xX 圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程ay2b21知| x | a，| y | b，說(shuō)明橢圓位于直線x a

3、，yb所圍成的矩形里;.word.zl.A（a,0）是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。.word.zl.所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段AA、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a和2b,a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a；在Rt OB2F2中，|OB21 b，QF21 c, | B2F21 a， 且|OF2I2|B2F2f |OB2|2，即c2a2b2；c離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比e叫橢圓的離心率。：a c 0 ,. 0 e 1，且e越接近1,c就a越接近a，從而b就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，e

4、越接近于0,c就越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí) 橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)，c 0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2y2a2。2. 雙曲線1雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線| PF1| | PF21| 2a。注意：式中是差的絕對(duì)值，在0 2a | F1F2|條件下；|PF1| | PF2| 2a時(shí)為雙曲線的一支；|PF2| |PF1I 2a時(shí)為雙曲線的另一支含F(xiàn)1的一支；當(dāng)2a | RF2|時(shí)，|PF11 |PF2| 2a表示兩條射焦距。2雙曲線的性質(zhì)x2a2,x a即雙曲線在兩條直線x a的外側(cè)。2 2對(duì)稱性：雙曲線 務(wù) 1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)

5、都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)a b2每1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。b2線；當(dāng)2aI PF21| 2a不表示任何圖形；兩定點(diǎn)F1,F2叫做雙曲線的焦點(diǎn),I F1F21叫做X 圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程2x2ab21，看出曲線在坐標(biāo)系中的X 圍：雙曲線在兩條直線x a的外側(cè)。即是雙曲線2x2a.word.zl.頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線x22yb21的方程里，對(duì)稱軸是x,y軸，所.word.zl.、x2y2以令y 0得x a，因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A ( a,0)A2(a,0)，他們是雙曲線 牙1的頂點(diǎn)。a b令x 0，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和

6、y 軸沒(méi)有交點(diǎn)。1注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2實(shí)軸：線段A A叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a, a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段B B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。4漸近線：注意到開(kāi)課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從2 2圖上看，雙曲線 務(wù) 當(dāng)1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。a b5等軸雙曲線：1定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a b；2等軸雙曲線的性質(zhì)：1漸近線方程為：y x； 2漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼

7、此等價(jià)。亦即假設(shè)題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí) 其他幾個(gè)亦成立。3. 拋物線1拋物線的概念物線的焦點(diǎn)，定直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程y22px p 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x 軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是 F衛(wèi)，0，它的準(zhǔn)線方程是x衛(wèi)；3注意到等軸雙曲線的特征a b，那么等軸雙曲線可以設(shè)為:(0)，當(dāng)0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng)0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。2 22 2注意xy1與1的區(qū)別：三個(gè)量169916軸也變了。a,b, c中a,b不同互換c一樣，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)平面內(nèi)F 和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn) F 不在定直線I上)。定點(diǎn) F 叫做拋

8、.word.zl.2 22拋物線的性質(zhì).word.zl.一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y22px，x22py，x22py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如F 表:標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p o)y22px(p O)x22py(p O)x22py(p 0)圖形if 1；-焦點(diǎn)坐標(biāo)(p，0)2(號(hào),o)(0,劭(0,舟)2準(zhǔn)線方程x R2x衛(wèi)2y Iy 1X 圍x Ox Oy oy o對(duì)稱性x軸x軸y軸y軸頂點(diǎn)(O,O)(O,O)(0,0)(0,0)離心率e 1e 1e 1e 1說(shuō)明：1通徑：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)

9、且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑；2拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱中心，沒(méi)有漸近線；3注意強(qiáng)調(diào)p的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線局部知識(shí)點(diǎn)梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=O 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系：假設(shè)曲線C 的方程是 f(x,y)=0，那么點(diǎn) Po(xo,yo)在曲線 C 上f(xo,yo)=

10、0 ;點(diǎn) Po(xo,yo)不在曲線 C.word.zl.上f(xo,yo)zo。.word.zl.兩條曲線的交點(diǎn)：假設(shè)曲線 Cl,C2的方程分別為 fi(x,y)=0,f2(x,y)=0,那么點(diǎn) Po(x,y。)是 Ci,C2的交點(diǎn)方程組有 n 個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n 個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線就沒(méi)有交點(diǎn)。二、圓：1、定義：點(diǎn)集 M | | OM | =r,其中定點(diǎn) 0 為圓心，定長(zhǎng) r 為半徑.2、 方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在 c(a,b),半徑為 r 的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r 的圓方程是 x2+y2=r2一般方程：當(dāng) D2+E

11、2-4F0 時(shí)，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圓的一般方程，圓心為(,)半2 2- 22DE22徑是D E 4F。配方，將方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+)2+(y+)2=D E - 4F22242當(dāng) D2+E2-4F=0 時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-，-);2 23當(dāng) D2+E2-4FV0 時(shí)，方程不表示任何圖形.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓心 C(a,b)半徑為 r,點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(xo,yo),那么| MC | r 點(diǎn) M 在圓 C 內(nèi)，其中 | MC | =. (x0- a)2(y0-b)2。(4)直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：

12、直線與圓相交線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒(méi)有公共點(diǎn)。直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心 C(a,b 倒直線 Ax+By+C=O 的距離dBbC與J A2B2半徑 r 的大小關(guān)系來(lái)判定。三、 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn) F(c,O)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l 的距離之 比是一個(gè)常數(shù) e(e 0),那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線 l 稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e 稱為離心率。當(dāng) 0e 1 時(shí)，軌跡為雙曲線。四、 橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線定義1. 到兩定點(diǎn) F1,F2的距離之 和為定值

13、2a(2a|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2. 與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值 e 的點(diǎn)的軌跡.0e1 1. 到兩定點(diǎn) F1,F2的距離之差的 絕對(duì)值為定值 2a(02a1與定點(diǎn)和直線的距離相等的 點(diǎn)的軌跡fi（xo,y。） 0f2（xo, yo）0有兩個(gè)公共點(diǎn)；直.word.zl.軌跡條件點(diǎn)集： （M | | MF1+ | MF2| =2a,| F1F2| 2a.點(diǎn)集M | MF | =點(diǎn) M 到直線 l 的距離.word.zl.圖形標(biāo)準(zhǔn)方程參數(shù)方程中心頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦占八、八、 、焦距離心率2x2a2y21(a b0)b2x acos y bsi n(參數(shù)為離心角)a x a, b y b原點(diǎn) 0 0,

14、 0(a,0), (a,0), (0,b) , (0b)x 軸，y 軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a 短軸長(zhǎng) 2bFi(c,0), F2(c,0)2,ax= c準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.2cc=a2b2ec(0 e 1)a【備注 1】雙曲線:2x2a2y蔦1(a0,b0)b2x asec y bta n(參數(shù)為離心角)|x|a, y R原點(diǎn) O 0, 0(a,0), (a,0)x 軸，y 軸；實(shí)軸長(zhǎng) 2a,虛軸長(zhǎng) 2b.Fi(c,0), F2(c,0)2,ax= c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).ea(e 1)y22px(0,0)中）x=-P2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等2c c=a2be=

15、1等軸雙曲線：雙曲線 x2y2a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y x，離心率e 22x2x.word.zl.共軛雙曲線：以雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做雙曲線的共軛雙曲線【備注 2】拋物線:PP2PP是(-,0)，準(zhǔn)線方程 x=，開(kāi)口向左；拋物線x=2py(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,)，準(zhǔn)線方程 y=- ，開(kāi)口向上; 拋物線x=-2py p0的焦點(diǎn)坐標(biāo)是0,-衛(wèi)丨，準(zhǔn)線方程 y ，開(kāi)口向下.2 22拋物線y2=2px(p0)上的點(diǎn) M(x0,y0)與焦點(diǎn) F 的距離MF X。衛(wèi)；拋物線y2=-2px(p0)上的點(diǎn) M(x0,y0)2與焦點(diǎn) F 的距離MF x023設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

16、程為y2=2px(p0)，那么拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 衛(wèi)，焦2 2點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.24過(guò)拋物線y=2px(p0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B 兩點(diǎn)，那么線段 AB 稱為焦點(diǎn)弦，設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換:1坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程2坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平 移，簡(jiǎn)稱移軸。3坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)

17、M，它在原坐標(biāo)系 xOy 中的坐標(biāo)是x,y)，在新坐標(biāo)系 x O yr x x hx x h中的坐標(biāo)是(x,y).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn) O在原坐標(biāo)系 xOy 中的坐標(biāo)是(h,k)，那么或y y ky y k叫做平移(或移軸)公式.(4)中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見(jiàn)下表:方程焦占八、八、焦線對(duì)稱軸2y2b互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線:2X2a共漸近線的雙曲線系方程:2它的雙曲線方程可設(shè)為 篤aa2y2b22y b7(0)的漸2b 0.a22N 0如果雙曲線的漸近線為b2b0時(shí)，0).21拋物線y=2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)，準(zhǔn)線方程 x=-，開(kāi)口向右；拋物線 y? =-2p

18、x(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)那么弦長(zhǎng)AB=捲x2+p 或AB2p(a為直線 AB 的傾斜角)，y2sin2P,NX?AFXi2x2x.word.zl.橢圓(x-h)2. (y-k)22 2- Iab( c+h,k)2ax= +hcx=hy=k.word.zl.(x-h)2+(y-k)2=1.2 21ba(h, c+k)2,a , y= +k cx=hy=k雙曲線(x-h)2(y-kab( c+h,k)2ax= +kcx=hy=k(y-k)2(x-h)2一(h, c+h)2ay= +kcx=hy=k2 . 21ab拋物線(y-k)2=2p(x-h)p(上 +h,k)2px=+h2y=k(y-k)2=-2

19、p(x-h)(-衛(wèi)+h,k)2x= +h2y=k(x-h)2=2p(y-k)(h,衛(wèi) +k)2y=-P+k2x=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-上 +k)2y+k2x=h六、橢圓的常用結(jié)論:點(diǎn)角形的面積為SF1PF2tan2.2x5.假設(shè)F0( X), y0)在橢圓占1上，那么過(guò)bP0的橢圓的切線方程是XoX2ayoy1眉1.2 32y21外，那么過(guò)bx26.假設(shè)F0(Xo,yo)在橢圓-2a方程是彎響1.a bx2y27.橢圓一221(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為 Fi, F2,點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2，那么橢圓的焦a bPo作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,那么切點(diǎn)弦 P

20、1P2的直線.word.zl.Xy28.橢圓21ab0的焦半徑公式| MR | aexj,| MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0) M(x0, y0).a b9.設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn) F 作直線與橢圓相交P、Q 兩點(diǎn)，A 為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的橢圓準(zhǔn)線于 M、N 兩點(diǎn)，那么 MF 丄 NF.10.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F 的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q 交于點(diǎn) M ,A2P 和AQ 交于點(diǎn) N，那么 MF 丄 NF.2爲(wèi)1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(x0,y0)為 AB 的中點(diǎn)，那么kOMkABbb2x0。a

21、 y?！就普摗浚狐c(diǎn)的軌跡方程是2xa2A 1.22、過(guò)橢圓篤a2y b21(a 0, b 0)上任-點(diǎn)A(x0, y)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C 兩點(diǎn)，那么直線 BC 有定向且kBCb2x)嚴(yán)常數(shù).a y2x3、假設(shè) P 為橢圓a 1 ab0上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是焦點(diǎn)，PF1F2b,PF2F1a c那么tan cot.a c 222 24、設(shè)橢圓 令 占1 a b 0的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中,a2b2sinc記F1PF2,PRF2,RF2P，那么有 - 一e.sin sin a22_2x11. AB 是橢圓a，即aK

22、AB2x12假設(shè)P)(XD, y)在橢圓a2爲(wèi)1內(nèi)，那么被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是bxx2a2X。a2x1、假設(shè)F0(X0,y。)在橢圓 22每1內(nèi)，那么過(guò) Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是xba2yb2xxaycyb2。橢圓b21 a b o的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A(a,0),A2(a,0)，與 y 軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí) A1P1與 A2P2交.word.zl.5、假設(shè)橢圓x-占1a b0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為 L,那么當(dāng) 0vew21時(shí)，可在橢a b.word.zl.4a2b2a2b2a豈；3SOPQ的最小值是 f .ba b圓上求一點(diǎn) P,使得 PFi是 P 到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)

23、線距離 d 與 PF2的比例中項(xiàng)6、P 為橢圓2 2x y21ab0上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，那么a b2a |AF2|PA| | PF,| 2a |AFJ,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2, P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.7、橢圓(x2 2嚴(yán)屮1與直線AXByC0有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2B2b2(Ax0By0C)2.2x8、橢圓右a2% ab0，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q 為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ.1b1FOP?1QiF1 Ja2b2|0P|9、過(guò)橢圓2X-2a2y1 a b 0b2的右焦點(diǎn) F 作直線交該橢圓右支于 M,N 兩點(diǎn)，弦 MN 的垂直平分線交 x 軸于P,那么丁| MN1

24、0、2x橢圓a1 a b 0,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 AB 的垂直平分線與 x 軸相交于點(diǎn)P(X0,0),那a2b2Xa2b22+|OQ|2的最大值為2a.word.zl.2 2務(wù)y1 ab0上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) 尸、F2為其焦點(diǎn)記RPF2，那么a b22ab |cos |e 分別是橢圓的半焦距離心率，那么有(1)|PA|22.(2)a c costan tan1 e SPAB222a b丄cotba11、設(shè) P 點(diǎn)是橢圓(1)|PF1|PF2|匯1 cosPF1F2b2ta n212、設(shè) A、B 是橢圓2yb21 a b 0的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P 是橢圓上的一點(diǎn),PABPBABPA.wor

25、d.zl.2 2X y13、橢圓21 a b 0的右準(zhǔn)線丨與 x 軸相交于點(diǎn)E,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于a b點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線丨上，且BC X軸，那么直線 AC 經(jīng)過(guò)線段 EF 的中點(diǎn).14、 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15、 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、 橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)17、 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連

26、線段分成定比e.18、 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)七、雙曲線的常用結(jié)論：1、 點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的內(nèi)角.2、 PT 平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的內(nèi)角，那么焦點(diǎn)在直線 PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3、 以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相交.4、 以焦點(diǎn)半徑 PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓 相切內(nèi)切：P 在右支；外切：P 在左支2 26、假設(shè)F0(x0, y0)在雙曲線2a b切點(diǎn)弦卩1卩2的直線方程是-2-y?1.a b227、雙曲線2y1 a 0,b 0的左右焦點(diǎn)分別為F1,

27、F2，點(diǎn) P 為雙曲線上任意一點(diǎn)F,PF2，那么雙a b曲線的焦點(diǎn)角形的面積為SF1PF2b2cot.1 22228、雙曲線2y1a0,b0的焦半徑公式：(F|( c,0),F2(c,0)丨當(dāng)M(x0,y0)在右支上時(shí)，a b|MF11 ex3a,|MF21 ex3a；當(dāng)M(x(),y0)在左支上時(shí)，| MR | ex0a,| MF21 eX) a。9、 設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn) F 作直線與雙曲線相交 P、Q 兩點(diǎn)，A 為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和 AQ 分別交相 應(yīng)于焦點(diǎn) F 的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N 兩點(diǎn)，那么 MF 丄 NF.10、 過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q,

28、A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q 交于點(diǎn) M ,A2P 和 A1Q 交于點(diǎn) N，那么 MF 丄 NF.2苕1a0b0的不平行于對(duì)稱軸的弦,KOMKABb2x2，即KABa y。b2xa2y。2 25、假設(shè)F0(Xo, yo)在雙曲線 篤楚a b1 a 0,b 0上，那么過(guò)F0的雙曲線的切線方程是xxy0ya2b21.1 a 0,b 0夕卜，那么過(guò) Po 作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，那么211、AB 是雙曲線務(wù)aM(X0,y)為 AB 的中點(diǎn)，那么22x.word.zl.12、假設(shè)F0(xo,yo)在雙曲線爲(wèi)1 a 0,b 0內(nèi)，那么被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是b2

29、XoXayoy2X。2ayo213、假設(shè)F0(xo, y0)在雙曲線2x 1a0,b0內(nèi)，那么過(guò) Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 a2yb7xoxyoya2b2【推論】 ：2x1、雙曲線a2y21 a 0,b 0b2的兩個(gè)頂點(diǎn)為A,( a,O)，A(a,O)，與 y 軸平行的直線交雙曲線于Pi、P2時(shí)2xA1P1與 A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 a2* 1.2x2、過(guò)雙曲線a2y21 a 0,b o上任一點(diǎn)b2A(xo, yo)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C 兩點(diǎn),那么直線 BC 有定向且kBC嘆常數(shù).2a yo23、假設(shè) P 為雙曲線篤ay2b21 a O,b O右 或左 支上除頂點(diǎn)外的

30、任一點(diǎn),Fi, F2是焦點(diǎn),PF1F2PF2F1tan cot或22 c atan cot.22x4、設(shè)雙曲線-a2yb21 a O,b O的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P 異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn),在厶PF1F2中，記F1PF2PF1F2,F1F2P，那么有sinc e(sin sin ) a2x5、假設(shè)雙曲線aa 0,b0的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為 L,那么當(dāng) 1 O,b O上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A 為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，那么|AF2| 2a |PA| PF1|當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線且P和A,F2在 y 軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立2x7、雙曲線ab22 2 2 2 21

31、a 0,b 0與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是A a B b C.22x.word.zl.word.zl.14、過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切15、過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直2X8、雙曲線ab a 0，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q 為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ.1|oQiF丄1； 2|OP|2+|OQ|2的最小值為 舉厶；3SOPQ的最小值是a bb a2, 2a b.b ax9、過(guò)雙曲線a2yb2a 0,b 0的右焦點(diǎn) F 作直線交該雙曲線的右支于M,N 兩

32、點(diǎn)，弦 MN的垂直平分線交 X 軸于 P,那么|PF | MN |2X10、雙曲線冷a2yb2a0,b0,A、B 是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB 的垂直平分線與 x 軸相交于點(diǎn)P（X,O）,2那么x0a2b22X11、設(shè) P 點(diǎn)是雙曲線-a2y_b21a0,b0上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)尸、F2為其焦點(diǎn)記EPF?，那么2 b2(1)|呵叭飛SPF1F2b2cot212、設(shè) A、B 是雙曲線2X2a2每1 a 0,b0的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P 是雙曲線上的一點(diǎn)，PABbPBABPA22ab |cos |c、e 分另惺雙曲線的半焦距離心率，那么有 （1）|PA|2a c cos |tan tan2e.(3)SPAB2a2b2bcot2X13、雙曲線a2y_b21 a 0,b 0的右準(zhǔn)線I與 X 軸相交于點(diǎn)E,過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于B 兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BCX軸，那么直線 AC 經(jīng)過(guò)線段 EF 的中點(diǎn).word.zl.16、 雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注:在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）.17、 雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.word.zl.18 雙曲線焦三角形中 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中