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文檔簡介

1、梅涅勞斯(Menelaus定理的證明1. 梅涅勞斯定理梅涅勞斯(Menelaus 定理(簡稱梅氏定理是由古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的,是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理。它指出:任何一條直線截三角形的各邊,都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積。直線與三角形的位置關系有兩種情況:1 如圖(1,三角形ABC 與直線DEF 交點其中兩點在邊上,另一交點在邊的延長線上,則有: 2 如圖(2,三角形ABC 與直線DEF 的三個交點均在邊的延長線上時,仍有:AF FB ×BD DC ×CE EA =1圖(1 AF FB ×BD DC ×CE EA=

2、1圖(2 AF FB =AI BJ BD DC =JD DH ,CE EA =CH AI AF FB ×BD DC ×CE EA =AI BJ ×JD DH ×CH AI =CH BJ ×JD DH=12. 證明方法分析命題:設直線l 分別與ABC 的三邊所在直線相交于點D 、E 、F ,則有分析:需證明比例式,一般采用的方法為相似、正弦或余弦定理、共邊共角定理等。添加輔助線的方法多為創(chuàng)造平行線。在得到比例 式后相乘得所求式子。 3. 證明方法i. 證法1(作平行線,利用平行線分線段成比例如圖(3,過點C 作直線DF 平行線,交AB 與點G 。

3、由平行線分線段成比例得:ii. 證法2(作高創(chuàng)造平行,利用比例線段如圖(4,過點ABC 作直線DF 垂線,垂足為點I 、J 、H 。 BJ DF ,AI DF BJ AI 3=4又1=2 AFI BFJ得同理 BD DC =FB GF ,CE EA =GF AF AF FB ×BD DC ×CE EA =AF FB ×FB GF ×GF AF =1圖(3 圖(4 AF FB ×BD DC ×CE EA=1AFFB×BDDC×CEEA AEFBFD=AF×EF FB×DF,BFDCDE=BD

4、15;DFDC×DE,DE×CEEA×EF1=AF×EF×BD×DF×DE× CEFB×DF×DC×DE×EA×EF=AFFB×BDDC×CEEAAFFB×BDDC×CEEA=AF×BD×CEEA×FB×DC=SinAEF×SinBFD×SinEDCSinAFE×SinBDF×SinECDAFFB×BDDC×CEEA=1iii.證法3(利用共邊定理如圖(5,聯(lián)結BE、AD由共邊定理得:iv.證法4(利用共角定理如圖(6,由共角定理得:三式相乘,得:v.證法5(利用正弦定理同圖(6,在AEF、BDF、CDE中,由正弦定理得:AEF=ECD,EDC=FDBBFD+AFE=

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